การยกกำลัง

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

การยกกำลัง คือการดำเนินการทางคณิตศาสตร์อย่างหนึ่ง เขียนอยู่ในรูป aⁿ ซึ่งประกอบด้วยสองจำนวนคือ ฐาน a และ เลขชี้กำลัง n โดยพื้นฐานแล้วการยกกำลังจะมีความหมายเหมือนกับการคูณ a ซ้ำๆ เป็นจำนวน n ตัว เมื่อ n เป็นจำนวนเต็ม บวก

$a^n = \underbrace{a \times \cdots \times a}_n$

โดยปกติเลขชี้กำลังจะแสดงให้เห็นเป็นตัวยกทางขวาของฐาน จำนวน aⁿ อ่านว่า a ยกกำลัง n หรือเพียงแค่ a กำลัง n ในภาษาอังกฤษอาจเรียกการยกกำลังบางตัวต่างออกไปเช่น a² จะเรียกว่า square และ a³ เรียกว่า cube เป็นต้น

เลขยกกำลัง aⁿ อาจสามารถนิยามให้ n เป็นจำนวนเต็มลบก็ได้ เพราะการยกกำลังได้นิยามสำหรับเลขชี้กำลัง n ที่เป็นจำนวนจริงหรือแม้แต่จำนวนเชิงซ้อนไว้แล้วสำหรับ a ที่เป็นจำนวนจริงบวก ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง e^x ก็เป็นตัวอย่างหนึ่งของนิยามดังกล่าว ซึ่งทำให้ฟังก์ชันตรีโกณมิติสามารถเขียนให้อยู่ในรูปของการยกกำลังได้ อย่างไรก็ตาม เมื่อฐาน a ไม่เป็นจำนวนจริงบวก และเลขชี้กำลัง n ก็ไม่ใช่จำนวนเต็ม จำนวน aⁿ จะไม่สามารถหาค่าได้ด้วยฟังก์ชันต่อเนื่องของ a

เนื้อหา

1 การยกกำลังเมื่อเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็ม
2 เลขยกกำลังของจำนวนจริง

[แก้] การยกกำลังเมื่อเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็ม

การดำเนินการยกกำลังด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นจำนวนเต็ม เป็นข้อกำหนดที่จำเป็นของพีชคณิตมูลฐานเท่านั้น

[แก้] เลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มบวก

เมื่อเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มบวก เลขชี้กำลังจะเป็นตัวบ่งบอกว่าจะนำฐานมาคูณกันกี่ตัว (ไม่ใช่คูณกันกี่ครั้ง) ตัวอย่างเช่น 3⁵ = 3·3·3·3·3 = 243 เนื่องจากเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มบวกคือ 5 จำนวน 3 ที่เป็นฐานจึงปรากฏ 5 ครั้งในการคูณ และ 243 เป็นผลลัพธ์ที่ได้จากการยกกำลัง 5 ของ 3

การยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มบวก อาจนิยามได้จากความสัมพันธ์เวียนเกิด aⁿ⁺¹ = a·aⁿ โดยให้เงื่อนไขเริ่มต้นเป็น a¹ = a

[แก้] เลขชี้กำลังเป็นศูนย์หรือหนึ่ง

เนื่องจาก 3¹ หมายถึงผลคูณของ 3 เพียง 1 ตัว นั่นหมายความว่าจะได้คำตอบเป็น 3 คือตัวฐานนั้นเอง

และจากความสัมพันธ์เวียนเกิดข้างต้น ทำให้ 3⁵ = 3·3⁴ และ 3⁴ = 3·3³ เรื่อยไปจนถึง

3¹ = 3·3⁰

ดังนั้น 3⁰ จึงต้องมีค่าเป็น 1 เพื่อทำให้ความสัมพันธ์ข้างต้นเป็นจริง

กำหนดให้ n, m, และ n−m เป็นจำนวนเต็มบวก โดยที่ x ไม่เท่ากับศูนย์ เราสามารถนับจำนวนการปรากฏของ x จาก

$\frac{x^n}{x^m} = x^{n - m}$

ในกรณีที่ n และ m มีค่าเท่ากัน สมการดังกล่าวจะกลายเป็น

$1 = \frac{x^n}{x^n} = x^{n - n} = x^0$

เพราะว่าตัวเศษและตัวส่วนมีค่าเท่ากัน x⁰ จึงมีค่าเท่ากับ 1 นั่นหมายความว่า 3⁰ ก็มีค่าเท่ากับ 1 เช่นกัน

ดังนั้นจึงสามารถสรุปได้สองประการว่า

จำนวนใดๆ ยกกำลัง 1 จะได้ตัวมันเอง
จำนวนใดๆ ที่ไม่เป็นศูนย์ ยกกำลัง 0 จะได้ 1; สำหรับจำนวน 0⁰ จะกล่าวถึงในภายหลัง

[แก้] ความหมายทางคณิตศาสตร์เชิงการจัด

สำหรับ n และ m ที่เป็นจำนวนเต็มไม่เป็นลบ (จำนวนเต็มบวกรวมทั้งศูนย์) เลขยกกำลัง n^m จะหมายถึงภาวะเชิงการนับ (cardinality) ของเซตของ m สิ่งอันดับ (m-tuple) ที่ได้จากเซตที่มีสมาชิก n ตัว หรือพูดอีกนัยหนึ่งคือ เป็นจำนวนของคำที่มีตัวอักษร m ตัว จากชุดตัวอักษร n ตัว

0⁵ = | {} | = 0 — ไม่มี ห้าสิ่งอันดับ จากเซตว่าง

1⁴ = | { (1,1,1,1) } | = 1 — มี สี่สิ่งอันดับ 1 ชุด จากเซตที่มีสมาชิก 1 ตัว

2³ = | { (1,1,1), (1,1,2), (1,2,1), (1,2,2), (2,1,1), (2,1,2), (2,2,1), (2,2,2) } | = 8 — มี สามสิ่งอันดับ 8 ชุด จากเซตที่มีสมาชิก 2 ตัว

3² = | { (1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3) } | = 9 — มี สองสิ่งอันดับ หรือ คู่อันดับ 9 ชุด จากเซตที่มีสมาชิก 3 ตัว

4¹ = | { (1), (2), (3), (4) } | = 4 — มี หนึ่งสิ่งอันดับ 4 ชุด จากเซตที่มีสมาชิก 4 ตัว

5⁰ = | { () } | = 1 — มี ศูนย์สิ่งอันดับ 1 ชุด จากเซตที่มีสมาชิก 5 ตัว

[แก้] เลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มลบ

จำนวนใดๆ ที่ไม่เป็นศูนย์ เมื่อยกกำลังด้วย −1 จะทำให้เกิดส่วนกลับหรือตัวผกผันการคูณ

$a^{-1} = \frac{1}{a}$

ดังนั้น

$a^{-n} = (a^n)^{-1} = \frac{1}{a^n}$

สำหรับ 0 ที่ยกกำลังด้วยจำนวนลบ จะทำให้เกิดกรณีการหารด้วยศูนย์ จึงไม่มีการนิยาม

การยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มลบ อาจสามารถเขียนให้อยู่ในรูปของการหารซ้ำๆ ด้วยฐานก็ได้ ตัวอย่างเช่น

$3^{-4} = (((1/3)/3)/3)/3 = \frac{1}{81} = \frac{1}{3^{4}}$

[แก้] สมบัติของการยกกำลัง

สมบัติที่สำคัญของการยกกำลัง โดยมีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มมีดังนี้

$a^{m + n} = a^m \cdot a^n$

$a^{m - n} =\frac{a^m}{a^n}; \quad a \neq 0$

$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$

$(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$

ในขณะที่การบวกและการคูณมีสมบัติการสลับที่ เช่น 2+3 = 5 = 3+2 และ 2·3 = 6 = 3·2 แต่การยกกำลังไม่มีสมบัติการสลับที่ เช่น 2³ = 8 แต่ 3² = 9

และเช่นเดียวกัน ในขณะที่การบวกและการคูณมีสมบัติการเปลี่ยนหมู่ เช่น (2+3)+4 = 9 = 2+(3+4) และ (2·3)·4 = 24 = 2·(3·4) แต่การยกกำลังไม่มีสมบัติการเปลี่ยนหมู่ ตัวอย่างเช่น "2³ ยกกำลัง 4" จะได้ผลลัพธ์เป็น 8⁴ หรือเท่ากับ 4,096 แต่ "2 ยกกำลัง 3⁴" จะได้ผลลัพธ์เป็น 2⁸¹ หรือ 2,417,851,639,229,258,349,412,352 ถ้าหากเขียนเลขยกกำลังซ้อนกันโดยไม่ใส่วงเล็บ ลำดับของการคำนวณจะทำจากตัวบนสุดมาก่อน นั่นคือ

$a^{b^c} = a^{(b^c)} \ne (a^b)^c$

[แก้] เลขยกกำลังของ 10

ดูเพิ่มที่ สัญกรณ์วิทยาศาสตร์

ในระบบเลขฐานสิบ เลขยกกำลังจำนวนเต็มของ 10 สามารถเขียนแทนได้ด้วยเลข 1 ตามด้วยหรือนำโดยเลข 0 จำนวนหนึ่ง ซึ่งพิจารณาจากเครื่องหมายและขนาดของเลขชี้กำลัง ตัวอย่างเช่น 10³ = 1000 และ 10⁻⁴ = 0.0001 เป็นต้น

การยกกำลังด้วยฐาน 10 ถูกใช้ในสัญกรณ์วิทยาศาสตร์ เพื่อใช้อธิบายจำนวนขนาดใหญ่หรือเล็กมาก ยกตัวอย่าง จำนวน 299,792,458 (ความเร็วแสงในสุญญากาศ หน่วยเป็นเมตรต่อวินาที) สามารถเขียนได้เป็น 2.99792458·10⁸ หรือเท่ากับประมาณ 2.998·10⁸

คำอุปสรรคในหน่วยเอสไอที่มีพื้นฐานบนเลขยกกำลังของ 10 ก็ถูกใช้อธิบายปริมาณที่ใหญ่หรือเล็กมากได้เช่นกัน เช่น คำอุปสรรค กิโล หมายถึง 10³ = 1000 ดังนั้น กิโลเมตร จึงหมายถึง 1000 เมตร

[แก้] เลขยกกำลังของ 2

ดูเพิ่มที่ เลขฐานสอง

เลขยกกำลังจำนวนเต็มบวกของ 2 เป็นสิ่งที่สำคัญในวิทยาการคอมพิวเตอร์ เพราะว่าตัวแปรขนาด n บิต จะมีค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมด 2ⁿ ค่า และก็เป็นสิ่งสำคัญในทฤษฎีเซต เนื่องจากเซตเซตหนึ่งที่มีสมาชิก n ตัว จะมีเซตกำลังที่มีสมาชิก 2ⁿ ตัว (เซตกำลังคือเซตของเซตย่อยทั้งหมดจากเซตต้นแบบ)

ในระบบเลขฐานสอง เลขยกกำลังจำนวนเต็มของ 2 ก็สามารถแสดงได้ด้วยเลข 1 แล้วตามด้วยหรือนำโดยเลข 0 เหมือนเช่นระบบเลขฐานสิบ ตัวอย่าง 2³ = 1000₂ เป็นต้น

[แก้] เลขยกกำลังของ 1

เลขยกกำลังจำนวนเต็มของ 1 ทุกจำนวนมีค่าเท่ากับ 1 นั่นคือ 1ⁿ = 1

[แก้] เลขยกกำลังของ 0

ถ้าเลขชี้กำลังเป็นจำนวนบวก เลขยกกำลังของ 0 จะได้ 0 นั่นคือ 0ⁿ = 0; n > 0

ถ้าเลขชี้กำลังเป็นจำนวนลบ เลขยกกำลังของ 0 จะไม่นิยาม เนื่องจากจะทำให้เกิดการหารด้วยศูนย์

ถ้าเลขชี้กำลังเป็นศูนย์ ผู้แต่งตำราบางท่านได้นิยามว่า 0⁰ = 1 ในขณะที่บางท่านก็คงไว้ว่าไม่นิยาม สำหรับเรื่องนี้โปรดดูหัวข้อถัดไป

[แก้] เลขยกกำลังของ −1

เลขยกกำลังของ −1 มีประโยชน์อย่างยิ่งในการแสดงลำดับที่สลับเครื่องหมาย

ถ้าเลขชี้กำลังเป็นจำนวนคู่ เลขยกกำลังของ −1 จะเท่ากับ 1 นั่นคือ (−1)²ⁿ = 1

ในทางตรงข้าม หากเลขชี้กำลังเป็นจำนวนคี่ เลขยกกำลังของ −1 จะยังคงเท่ากับ −1 นั่นคือ (−1)²ⁿ⁺¹ = −1

[แก้] เลขยกกำลังของหน่วยจินตภาพ

เลขยกกำลังของหน่วยจินตภาพ i มีประโยชน์ในการแสดงลำดับที่มีการสลับเครื่องหมาย 4 ช่วง นั่นคือ

$i^{4n+1}=i\,\!$

[แก้] เลขยกกำลังของ e

ดูบทความหลักที่ ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

จำนวนธรรมชาติ e ซึ่งเป็นฐานของลอการิทึมธรรมชาติ เป็นค่าคงตัวมีค่าเท่ากับประมาณ 2.718 สามารถคำนวณได้จากการประมาณค่าของเลขยกกำลังจำนวนเต็มบวกหรือจำนวนเต็มลบขนาดใหญ่ ของฐานที่มีค่าเข้าใกล้ 1 ดังเช่น

$e \approx1.001^{1000}\,$

หรือ

$e \approx0.999^{-1000}\,$

จึงนิยามเป็นลิมิตได้ว่า

$e = \lim_{|n| \rightarrow \infty} \left(1+\frac 1 n \right) ^n\,$

สำหรับเลขยกกำลังของ e ที่เลขชี้กำลัง k ไม่เป็นศูนย์ จึงสามารถคำนวณได้ดังนี้

$e^k = \left(\lim_{|n| \rightarrow \infty} \left(1+\frac{1}{n} \right) ^n\right)^k = \lim_{|n| \rightarrow \infty} \left(\left(1+\frac{1}{n} \right) ^n\right)^k = \lim_{|n| \rightarrow \infty} \left(1+\frac k {n\cdot k} \right)^{n \cdot k} = \lim_{|m| \rightarrow \infty} \left(1+\frac k m \right)^m$

ฟังก์ชันเลขชี้กำลังซึ่งนิยามเป็น

$e^x =\lim_{|n| \rightarrow \infty} \left(1+\frac x n \right)^n$

มีการประยุกต์ใช้ในคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์หลายสาขา นิยามของ e^x เหมือนกันกับ e^k ด้านบน เมื่อ x เป็นจำนวนเต็ม แต่ค่าของ x สามารถเป็นเศษส่วน จำนวนจริง หรือจำนวนเชิงซ้อนก็ได้ หรือแม้แต่ x ที่เป็นเมทริกซ์จัตุรัส ซึ่งมีการใช้ในสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ (ordinary differential equation)

อีกสูตรหนึ่งในรูปอนุกรมกำลังที่นิยมใช้อธิบายฟังก์ชันเลขชี้กำลังคือ

$e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}\ = 1 + x+ \frac{x^2}2+ \frac{x^3}6+\cdots$

[แก้] เลขยกกำลังของจำนวนจริง

การยกกำลังจำนวนจริงด้วยเลขชี้กำลังที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม สามารถคำนวณหาได้สองวิธีนั่นคือ

เลขชี้กำลังจำนวนตรรกยะ สามารถนิยามให้เป็นรากที่ n และเลขชี้กำลังที่ไม่เป็นศูนย์สามารถนิยามได้จากความต่อเนื่องของฟังก์ชัน
เลขชี้กำลังจำนวนจริง สามารถนิยามให้เป็นลอการิทึมธรรมชาติ ผ่านทางฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

คุณสมบัติทั้งหมดที่กล่าวไว้ในหัวข้อก่อน ซึ่งเลขชี้กำลังที่เป็นจำนวนเต็ม จะส่งผลมาถึงจำนวนจริงด้วย

การยกกำลัง เป็นบทความเกี่ยวกับ คณิตศาสตร์ ที่ยังไม่สมบูรณ์ ต้องการตรวจสอบ เพิ่มเนื้อหาหรือเพิ่มแหล่งอ้างอิง คุณสามารถช่วยเพิ่มเติมหรือแก้ไข เพื่อให้สมบูรณ์มากขึ้น
ข้อมูลเกี่ยวกับ การยกกำลัง ในภาษาอื่น อาจสามารถหาอ่านได้จากเมนู ภาษาอื่น ด้านซ้ายมือ หรือ ดูเพิ่มที่ สถานีย่อย:คณิตศาสตร์