จำนวนตรรกยะ

ในทางคณิตศาสตร์ จำนวนตรรกยะ (หรือเศษส่วน) คืออัตราส่วนของจำนวนเต็มสองจำนวน มักเขียนอยู่ในรูปเศษส่วน a/b เมื่อ a และ b เป็นจำนวนเต็ม และ b ไม่เท่ากับศูนย์

จำนวนตรรกยะแต่ละจำนวนสามารถเขียนได้ในรูปแบบที่หลากหลาย ตัวอย่างเช่น $3/6 = 2/4 = 1/2$ รูปแบบที่เรียกว่า เศษส่วนอย่างต่ำ a และ b นั้น a และ b จะต้องไม่มีตัวหารร่วม และจำนวนตรรกยะทุกจำนวนสามารถเขียนได้ในรูปเศษส่วนอย่างต่ำนี้

นอกจากนี้ จำนวนตรรกยะทุกจำนวนยังสามารถเขียนได้ในรูปของทศนิยมรู้จบหรือทศนิยมซ้ำอย่างใดอย่างหนึ่ง เช่น $1/2 = 0.5$ เป็นทศนิยมรู้จบ, $2/3 = 0.666...$ และ $1/7 = 0.142857142857...$ เป็นทศนิยมซ้ำ เป็นต้น

จำนวนจริงที่ไม่ใช่จำนวนตรรกยะ เรียกว่า จำนวนอตรรกยะ

ในทางคณิตศาสตร์ "...ตรรกยะ" หมายถึง การจำกัดขอบเขตให้อยู่ในระบบจำนวนตรรกยะเท่านั้น เช่น พหุนามตรรกยะ

เซตของจำนวนตรรกยะทั้งหมดเราใช้สัญลักษณ์ Q หรือ Blackboard Bold $\mathbb{Q}$ โดยใช้เซตเงื่อนไข ได้ดังนี้

$\mathbb{Q} = \left\{\frac{m}{n} : m \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{Z}, n \ne 0 \right\}$

เลขคณิต

การบวกและการคูณจำนวนตรรกยะสามารถทำได้โดยหลักต่อไปนี้

$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad+bc}{bd}$

 

$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$

 

จำนวนตรรกยะสองจำนวน $\frac{a}{b}$ และ $\frac{c}{d}$ จะเท่ากัน ก็ต่อเมื่อ $ad = bc$

การบวกและการคูณจำนวนตรรกยะกับจำนวนตรงข้ามสามารถทำได้โดย

$- \left ( \frac{a}{b} \right) = \frac{-a}{b}$

 

$\left (\frac{a}{b}\right) ^{-1} = \frac{b}{a} \mbox{ if } a \neq 0$

ประวัติศาสตร์

เศษส่วนอียิปต์

จำนวนตรรกยะใดๆ สามารถเขียนให้อยู่ในรูปผลรวมของส่วนกลับของจำนวนเต็มบวก

เช่น $\frac{5}{7} = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{21}$

สำหรับจำนวนตรรกยะบวกใดๆ จะสามารถเขียนได้หลายรูปแบบ เราเรียกรูปแบบนี้ว่า เศษส่วนอียิปต์ เพราะชาวอียิปต์สมัยโบราณใช้จำนวนและรูปแบบเหล่านี้ เนื่องจากอักษรอียิปต์โบราณจะใช้สัญลักษณ์ที่มีรูปร่างคล้ายปาก (ออกเสียงเหมือน R) ในการเขียนจำนวนเหล่านี้ เศษส่วนด้านบนจะสามารถเขียนได้ว่า R2R6R21 หรือใช้อักษรอียิปต์โบราณ เขียนจากซ้ายไปขวา ได้ดังนี้

½ เป็นหนึ่งในสามข้อยกเว้น ซึ่งสามารถเขียนได้ตามอักษรอียิปต์โบราณด้านบน ส่วนข้อยกเว้นที่เหลืออีกสองจำนวน คือ

$= \frac{2}{3}$

$= \frac{3}{4}$

ชาวอียิปต์ยังมีรูปแบบการเขียนที่แตกต่างออกไปสำหรับเศษส่วนไดแอดิก ดูเพิ่มเติมที่ตัวเลขอียิปต์.

รูปแบบมาตรฐาน

ในทางคณิตศาสตร์ เรากำหนดให้จำนวนตรรกยะเป็นคู่ลำดับของจำนวนเต็ม $\left (a, b\right)$ เมื่อ $b$ ไม่เท่ากับศูนย์ เรากำหนดนิยามการบวกและการคูณของคู่ลำดับเหล่านี้โดย

$\left (a, b\right) + \left (c, d\right) = \left (ad + bc, bd\right)$

$\left (a, b\right) \times \left (c, d\right) = \left (ac, bd\right)$

เพื่อให้เป็นไปตามหลักสากล ซึ่ง $2/4 = 1/2$, เราใช้สมบัติการเท่ากัน $\sim$ โดยใช้กฎดังนี้

$\left (a, b\right) \sim \left (c, d\right) \mbox{ iff } ad = bc$

สมบัติการเท่ากันนี้ใช้ได้ทั้งการบวกและการคูณตามที่กำหนดไว้ด้านบน และเราอาจกำหนด Q ให้เป็นเซตการหารของ ~ เช่น เรากำหนดคู่ลำดับสองคู่ (a, b) และ (c, d) โดยคู่ลำดับทั้งสองเท่ากันตามหลักด้านบน

เราอาจกำหนดกฎการเรียงลำดับใน Q โดย

$\left (a, b\right) \le \left (c, d\right) \mbox{ iff } ad \le bc$

สมบัติของจำนวนตรรกยะ

จำนวนตรรกยะ คือ จำนวนที่สามารถเขียนในรูปเศษส่วน a/b เมื่อ a และ b เป็นจำนวนเต็มโดยที่ b ไม่เท่ากับ 0 จำนวนตรรกยะ จำแนกได้เป็น 3 ประเภทใหญ่ ๆ คือ

1. จำนวนเต็ม (Integer) ประกอบไปด้วยจำนวนธรรมชาติ จำนวนลบ และจำนวนศูนย์ เซตของจำนวนเต็มมักเขียนอยู่ในรูป Z ซึ่งมาจากคำว่า Zahlen (ภาษาเยอรมัน)
2. เศษส่วน (Fraction)
3. ทศนิยม (Repeating decimal)

ดูเพิ่ม

• Blackboard Bold