หน่วยจินตภาพ

ในทางคณิตศาสตร์ หน่วยจินตภาพ คือหน่วยที่ใช้ขยายระบบจำนวนจริงออกไปเป็นระบบจำนวนเชิงซ้อน เขียนแทนด้วย i หรือบางครั้งใช้ j หรืออักษรกรีก ไอโอตา (ι) นิยามของหน่วยจินตภาพขึ้นอยู่กับวิธีการขยายผลลัพธ์จากจำนวนจริง โดยทั่วไปแล้วอาจกำหนดหน่วยจินตภาพให้มีค่าเท่ากับ รากที่สองของลบหนึ่ง

นิยาม

เหตุผลหลักในการสร้างหน่วยจินตภาพขึ้นมา สืบเนื่องมาจากข้อเท็จจริงที่ว่า สมการพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริง f (x) = 0 ไม่ได้มีคำตอบเป็นจำนวนจริงในทุกๆ สมการ เช่นสมการ x² + 1 = 0 เป็นต้น ดังนั้นเราสามารถให้จำนวนเชิงซ้อนเป็นคำตอบของสมการ ซึ่งจะทำให้สมการพหุนามทุกสมการมีคำตอบ

จากการหาคำตอบของสมการกำลังสองนี้ x² + 1 = 0 หรือเทียบเท่ากับ x² = −1 ซึ่งไม่มีจำนวนจริงใดๆ ที่ยกกำลังสองแล้วได้จำนวนลบ เราจึงถือเอาสัญลักษณ์ i ให้เป็นคำตอบของสมการดังกล่าว การกระทำทางคณิตศาสตร์บนจำนวนจริง สามารถขยายไปบนจำนวนจินตภาพและจำนวนเชิงซ้อนได้ โดยใช้ i เป็นตัวแทนของปริมาณที่ไม่ทราบค่าในนิพจน์ต่างๆ ดังนั้นเราจึงสามารถกำหนดความสัมพันธ์ให้ i² = −1

ข้อควรระวัง

ในบางครั้งหน่วยจินตภาพสามารถเขียนแทนได้ด้วย $\sqrt{-1}$ แต่ก็ควรระมัดระวังในการคำนวณเป็นอย่างมาก เนื่องจากฟังก์ชันรากที่สองสงวนไว้ให้เฉพาะจำนวนจริงที่ไม่น้อยกว่าศูนย์ การพยายามคำนวณโดยนอกเหนือจากเงื่อนไขอาจทำให้ผลลัพธ์ผิดพลาดได้ ดังตัวอย่างต่อไปนี้

$-1 = i \cdot i = \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} = \sqrt{(-1) \cdot (-1)} = \sqrt{1} = 1$

ซึ่งกฎของการคำนวณ

$\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$

จะเป็นจริงก็ต่อเมื่อ ค่า a และ b เป็นจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบเท่านั้น

และเพื่อให้หลีกเลี่ยงการแปลความหมายจำนวนเชิงซ้อนผิด กลยุทธ์หนึ่งคือเราจะไม่เขียนจำนวนลบภายใต้รากที่สองโดยเด็ดขาด ตัวอย่างเช่น $\sqrt{-7}$ ควรเขียนเป็น $i\sqrt{7}$ แทน ซึ่งเป็นจุดประสงค์ของการใช้หน่วยจินตภาพตั้งแต่แรก