ควอเทอร์เนียน

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

ควอเทอร์เนียน (Quaternion) ถูกสร้างขึ้นโดย เซอร์วิลเลียม โรแวน แฮมิลทัน (Sir William Rowan Hamilton) ราวปี ค.ศ. 1805-1885 นักคณิตศาสตร์ชาวไอร์แลนด์ มีผลงานในด้านพีชคณิต ดาราศาสตร์ และฟิสิกส์ ซึ่งในปี ค.ศ. 1843 เขาได้สร้างจำนวนชนิดใหม่ขึ้นเรียกว่า ควอเทอร์เนียน

ควอเทอร์เนียน เป็นจำนวนที่เขียนได้ในรูป w+ix+jy+kz โดยที่ w, x, y และ z เป็นจำนวนจริง และ i^2 = j^2 = k^2 = -1, ij = k = -ji ซึ่งแสดงว่าควอเทอร์เนียนไม่มีคุณสมบัติการสลับที่


[แก้] นิยาม

ควอเทอร์เนียน H คือเซตที่เท่ากับปริภูมิเวกเตอร์ 4 มิติของจำนวนจริง (R4) การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ในควอเทอร์เนียนมี 3 แบบคือ การบวก, การคูณด้วยปริมาณสเกลาร์ และการคูณด้วยควอเทอร์เนียน ผลรวมระหว่างจำนวนควอเทอร์เนียนสองจำนวนจะมีค่าเท่ากับการรวมของจำนวนสองจำนวนในปริภูมิ R4 และเช่นเดียวกัน การคูณควอเทอร์เนียนด้วยจำนวนจริงจะใช้นิยามเดียวกันกับการคูณเวกเตอร์ใน R4 ด้วยจำนวนจริง สำหรับการคูณระหว่างจำนวนควอเทอร์เนียนสองจำนวนนั้น ก่อนอื่นจะต้องนิยามฐานหลัก (basis) ของ R4 ก่อน โดยปกติพื้นฐาน ฐานหลักที่นิยมใช้ก็คือ 1, i, j และ k ดังนั้นสมาชิกใดๆก็ตามใน H ย่อมสามารถเขียนให้อยู่ในรูปผลรวมเชิงเส้น (linear combination) ของฐานหลักเหล่านั้นได้เสมอโดยไม่ซ้ำแบบกัน ยกตัวอย่างเช่น ควอเทอร์เนียน a1 + bi + cj + dk เป็นการเขียนในรูปฐานหลัก โดยที่ a, b, c และ d เป็นจำนวนจริง และมี 1, i, j และ k เป็นฐานหลัก เป็นต้น ควอเทอร์เนียนมีเอกลักษณ์การคูณ คือ 1 ดังนั้นการคูณควอเทอร์เนียนด้วย 1 จึงไม่เปลี่ยนแปลงควอเทอร์เนียน ด้วยเหตุนี้จำนวนควอเทอร์เนียนใดๆ มักเขียนในรูป a + bi + cj + dk ดังนั้นนิยามการคูณระหว่างจำนวนควอเทอร์เนียนสองจำนวนจึงประกอบไปด้วยการคูณกันระหว่างสมาชิก และการใช้กฏการกระจาย

[แก้] การคูณระหว่างฐานหลัก

ฐานหลักขอควอเทอร์เนียนมีคุณสมบัติ คือ i^2 = j^2 = k^2 = i j k = -1\ โดย i, j และ k เป็นจำนวนจินตภาพ เราสามารถหาผลคูณระหว่างฐานหลักแต่ละคู่ได้ ยกตัวอย่างเช่น หากต้องการแสดงว่า k = i j \ สามารถทำได้โดยเริ่มจากพิจารณาสมการ

-1 = i j k \

จากนั้นคูณทั้งสองด้านของสมการด้วย k จะได้


\begin{align}
-k & = i j k k \\
-k & = i j (-1) \\
 k & = i j 
\end{align}

สำหรับผลคูณระหว่างฐานหลักคู่อื่นๆสามารถพิสูจน์ได้ด้วยวิธีการเดียวกัน ซึ่งจะได้ผลลัพท์ ดังนี้

\begin{alignat}{2}
ij & = k, & \qquad ji & = -k, \\
jk & = i, & kj & = -i, \\
ki & = j, & ik & = -j 
\end{alignat}

[แก้] ผลคูณฮามิลตัน (Hamilton product)

สำหรับจำนวนควอเทอร์เนียนสองจำนวน a1 + b1i + c1j + d1k และ a2 + b2i + c2j + d2k ผลคูณฮามิลตัน (a1 + b1i + c1j + d1k)(a2 + b2i + c2j + d2k) สามารถหาได้โดยการใช้คุณสมบัติการกระจาย จากนั้นหาผลรวมระหว่างผลคูณของฐานหลักแต่ละคู่ ดังต่อไปนี้

a1a2 + a1b2i + a1c2j + a1d2k + b1a2i + b1b2i2 + b1c2ij + b1d2ik + c1a2j + c1b2ji + c1c2j2 + c1d2jk + d1a2k + d1b2ki + d1c2kj + d1d2k2

เมื่อจัดหมู่ ผลลัพธ์ที่ได้คือ

(a1a2b1b2c1c2d1d2) + (a1b2 + b1a2 + c1d2d1c2)i + (a1c2b1d2 + c1a2 + d1b2)j + (a1d2 + b1c2c1b2 + d1a2)k
ควอเทอร์เนียน เป็นบทความเกี่ยวกับ คณิตศาสตร์ ที่ยังไม่สมบูรณ์ ต้องการตรวจสอบ เพิ่มเนื้อหาหรือเพิ่มแหล่งอ้างอิง คุณสามารถช่วยเพิ่มเติมหรือแก้ไข เพื่อให้สมบูรณ์มากขึ้น
ข้อมูลเกี่ยวกับ ควอเทอร์เนียน ในภาษาอื่น อาจสามารถหาอ่านได้จากเมนู ภาษาอื่น ด้านซ้ายมือ หรือ ดูเพิ่มที่ สถานีย่อย:คณิตศาสตร์

เครื่องมือส่วนตัว