ระบบพิกัดเชิงขั้ว

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
จุดในระบบพิกัดเชิงขั้วกับขั้ว O และแกนเชิงขั้ว L ในเส้นสีเขียว จุดกับพิกัดรัศมี 3 และพิกัดมุม 60 องศาหรือ (3,60°) ในเส้นสีฟ้า จุด (4,210°)

ในทางคณิตศาสตร์ ระบบพิกัดเชิงขั้ว (อังกฤษ: polar coordinate system) คือระบบค่าพิกัดสองมิติในแต่ละจุดบนระนาบถูกกำหนดโดยระยะทางจากจุดตรึงและมุมจากทิศทางตรึง

จุดตรึง (เหมือนจุดกำเนิดของระบบพิกัดคาร์ทีเซียน) เรียกว่าขั้ว, และลากรังสีจากขั้วเข้ากับทิศทางตรึงคือแกนเชิงขั้ว ระยะทางจากขั้วเรียกว่าพิกัดรัศมีหรือรัศมี และมุมคือพิกัดมุม, มุมเชิงขั้ว, หรือมุมทิศ[1]

ประวัติ[แก้]

มีการนำแนวคิดเรื่องมุมและรัศมีมาใช้ตั้งแต่สมัยโบราณในหนึ่งสหัสวรรษก่อนคริสต์ศักราช นักดาราศาสตร์ชาวกรีกที่ชื่อฮิปปาร์คัส (190-120 BCE) สร้างตารางฟังก์ชันคอร์ดที่ให้ความยาวของคอร์ดสำหรับแต่ละมุม และมีการอ้างอิงว่าเขาใช้ระบบพิกัดเชิงขั้วในการพิสูจน์ตำแหน่งของดวงดาว[2] ใน On Spirals (ว่าด้วยเส้นเกลียว) อาร์คิมิดีสบรรยายถึงวงก้นหอยอาร์คิมิดีสว่ารัศมีของฟังก์ชันขึ้นกับมุม อย่างไรก็ตามสิ่งที่ชาวกรีกเหล่านี้ทำก็ยังไม่ขยายออกไปถึงระบบพิกัดเชิงขั้วที่สมบูรณ์

ในคริสต์ศตวรรษที่ 9 นักคณิตศาสตร์ชาวเปอร์เซียที่ชื่อ ฮะบัซ อัล-ฮะซับ อัล-มาร์วะซิ (Habash al-Hasib al-Marwazi) ใช้วิธีตรีโกณมิติเชิงทรงกลมและการฉายแผนที่เพื่อที่จะแปลงผันพิกัดเชิงขั้วไปเป็นระบบพิกัดที่แตกต่างโดยมุ่งความสนใจไปยังจุดจำเพาะบนรูปทรงกลม ในที่นี้คือกิบลัตมีทิศทางสู่มักกะหฺ[3] นักภูมิศาสตร์ชาวเปอร์เซียที่ชื่อ อะบู รอย์ฮาน บิรูนี (Abū Rayhān Bīrūnī) (973-1048) พัฒนาแนวคิดซึ่งดูเหมือนจะใกล้เคียงกับระบบพิกัดเชิงขั้ว[4] ราวๆคริสต์ศตวรรษ 1025 เขาเป็นคนแรกที่บรรยายถึงการฉายที่ระยะห่างเท่ากันของแอซมัทเท่ากับขั้วของทรงกลมฟ้า[5]

มีรายงานที่ต่างกันของการเริ่มต้นของพิกัดเชิงขั้วตามส่วนหนึ่งของรูปนัยระบบพิกัด Origin of Polar Coordinates (กำเนิดพิกัดเชิงขั้ว) ประวัติของพิกัดนี้ถูกบรรยายโดยจูเลียน โลเวล โคล์ลิดจ์ (Julian Lowell Coolidge) ศาสตราจารย์ฮาร์วาร์ด[6] เกรกัวร์ เดอ แชง-แวงซอง (Grégoire de Saint-Vincent) และ โบนาเวนตูรา คาวาลิเอริ (Bonaventura Cavalieri) ต่างเริ่มนำแนวคิดมาใช้ในกลางคริสต์ศตวรรษที่ 7 แชง-แวงซองเขียนถึงพิกัดเชิงขั้วโดยการส่วนตัวในปี ค.ศ. 1625 และตีพิมพ์งานของเขาในปี ค.ศ. 1647 ขณะที่คาวาลิเอริตีพิมพ์ในปี ค.ศ. 1635 และฉบับที่ถูกต้องในปี ค.ศ. 1653 คาวาลิเอริเป็นบุคคลแรกที่ใช้พิกัดเชิงขั้วแก้ปัญหาเกี่ยวกับพื้นที่ในวงก้นหอยอาร์คิมิดีส ต่อมาแบลส ปาสกาลได้ใช้พิกัดเชิงขั้วคำนวณหาความยาวของส่วนโค้งของรูปพาราโบลา

ใน Method of Fluxions (วิธีการไหล) (เขียนขึ้นในปี ค.ศ. 1671, ตีพิมพ์ในปี ค.ศ. 1736) เซอร์ไอแซก นิวตันพิเคราะห์การแปลงระหว่างพิกัดเชิงขั้วซึ่งเขาได้อิงตาม "รูปแบบที่ 7 สำหรับวงก้นหอย" และพิกัดอื่นๆอีกเก้าพิกัด[7] ในวารสาร Acta Eruditorum (1691), เจคอบ เบอร์โนลลี (Jacob Bernoulli) ใช้ระบบร่วมกับจุดบนเส้นที่เรียกว่า ขั้ว และ แกนเชิงขั้ว ตามลำดับ พิกัดเป็นระยะทางจากขั้วและมุมจากแกนเชิงขั้ว งานของเบอร์โนลลีครอบคลุมไปถึงการพบรัศมีความโค้งของเส้นโค้งที่อยู่ในพิกัดนี้

คำว่า พิกัดเชิงขั้ว โดยแท้จริงแล้วน่าจะมาจากเกโกรีโอ ฟอนตานา (Gregorio Fontana) นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลีในสมัยคริสต์ศตวรรษที่ 18 และคำนี้ปรากฏเป็นภาษาอังกฤษในงานแปลของ จอร์จ พีคอก (George Peacock) ที่ชื่อ แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์และปริพันธ์ ของลากรัซ (Lacroix) ในปี ค.ศ. 1816[8][9] อเล็กซิส คลาเราต์เป็นคนแรกที่คิดพิกัดเชิงขั้วในรูปแบบสามมิติ และเลออนฮาร์ด ออยเลอร์เป็นคนแรกที่นำมาใช้งานจริง[6]

สัญนิยม[แก้]

เส้นกริดขั้วและแถบบอกมุมในแต่ละองศา

พิกัดรัศมีมักใช้ r แสดงแทนและพิกัดมุมใช้ θ หรือ t แสดงแทน

มุมในเครื่องหมายขั้ว ทั่วไปถูกแสดงอยู่ในรูปแบบองศาหรือเรเดียน (2π rad เท่ากับ 360°) องศาถูกใช้ในการเดินเรือ, การสำรวจ, และมีการนำไปประยุกต์ใช้ในหลายสาขา ขณะที่เรเดียนโดยทั่วไปอยู่ในคณิตศาสตร์และคณิตศาสตร์ฟิสิกส์[10]

ในหลายๆบริบท พิกัดมุมบวกหมายความว่ามุม θ ถูกวัดในทิศทวนเข็มนาฬิกาจากแกนและมีค่าพิกัดมุมลบเมื่อวัดในทิศตามเข็มนาฬิกา ในเอกสารทางคณิตศาสตร์ บ่อยครั้งแกนเชิงขั้วถูกลากในแนวนอนและไปทางทางขวา

ความพิเศษของพิกัดเชิงขั้ว[แก้]

ทุกตัวเลขของการหมุนครบรอบ (360°) พิกัดมุมจะไม่เปลี่ยนทิศทาง และพิกัดรัศมีลบแสดงถึงระยะทางซึ่งได้จากการวัดเหมือนพิกัดรัศมีบวกแต่มีทิศทางตรงข้าม ดังนั้นในจุดเดียวกันสามารถแสดงด้วยตัวเลขไม่สิ้นสุดที่มีพิกัดเชิงขั้วต่างกัน (r, θ ± n×360°) หรือ (−r, θ ± (2n + 1) 180°) เมื่อ n คือจำนวนเต็มใดๆ[11] ยิ่งไปกว่านั้น ขั้วเองสามารถแสดงแทนด้วย (0, θ) สำหรับมุม θ ใดๆ[12]

เมื่อต้องการแสดงแทนจุดใดๆ ปกติใช้ r เป็นจำนวนไม่เป็นลบ (r ≥ 0) และ θ ในช่วง [0, 360°) หรือ (−180°, 180°] (ในเรเดียน, [0, 2π) หรือ (−π, π]) [13] และต้องเลือกแอซิมัทสำหรับขั้ว เช่น θ = 0

ความสัมพันธ์ระหว่างพิกัดคาร์ทีเซียนกับพิกัดเชิงขั้ว[แก้]

แผนภาพความสัมพันธ์ระหว่างพิกัดเชิงขั้วและพิกัดคาร์ทีเซียน

ค่าของพิกัดเชิงขั้ว r และ θ สามารถแปลงเป็นพิกัดคาร์ทีเซียน x and y โดยใช้ฟังก์ชันตรีโกณมิติไซน์และโคไซน์:

x = r \cos \theta \,
y = r \sin \theta \,

ขณะที่ค่าของพิกัดคาร์ทีเซียน x และ y ก็สามารถแปลงเป็นพิกัดเชิงขั้ว r โดย

r = \sqrt{y^2 + x^2} \quad (ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส) และ
\theta =
\begin{cases}
0 & \mbox{if } x = 0 \mbox{ and } y = 0\\
\arcsin (\frac{y}{r}) & \mbox{if } x \geq 0 \\
-\arcsin (\frac{y}{r}) + \pi & \mbox{if } x < 0\\
\end{cases}

ทุกสูตรเหล่านี้สมมุติว่าขั้วคือจุดกำเนิดคาร์ทีเซียน (0,0) แกนเชิงขั้วคือแกนคาร์ทีเซียน x และทิศทางของแกนคาร์ทีเซียน y มีแอซิมัท +π/2 rad = +90° (แทนที่ −π/2) ฟังก์ชันอาร์กไซน์คือส่วนกลับของฟังก์ชันไซน์ซึ่งสมมุติแทนที่ด้วยมุมในพิสัย [−π/2,+π/2] = [−90°,+90°]

สูตรสำหรับ θ นอกเหนือจากการแทนที่ด้วยมุมในพิสัย [-π/2,+3π/2) = [−90°,+270°)

θ ในช่วง [0, 2π) อาจใช้

\theta =
\begin{cases}
\arctan (\frac{y}{x}) & \mbox{if } x > 0 \mbox{ and } y \ge 0\\
\arctan (\frac{y}{x}) + 2\pi & \mbox{if } x > 0 \mbox{ and } y < 0\\
\arctan (\frac{y}{x}) + \pi & \mbox{if } x < 0\\
\frac{\pi}{2} & \mbox{if } x = 0 \mbox{ and } y > 0\\
\frac{3\pi}{2} & \mbox{if } x = 0 \mbox{ and } y < 0\\
0 & \mbox{if } x = 0 \mbox{ and } y = 0
\end{cases}

ฟังก์ชันอาร์กแทนเป็นส่วนกลับของฟังก์ชันแทนเจนต์ซึ่งสมมุติแทนที่ด้วยมุมในพิสัย (−π/2,+π/2) = (−90°,+90°)

θ ในช่วง (−π, π] อาจใช้[14]

\theta =
\begin{cases}
\arctan (\frac{y}{x}) & \mbox{if } x > 0\\
\arctan (\frac{y}{x}) + \pi & \mbox{if } x < 0 \mbox{ and } y \ge 0\\
\arctan (\frac{y}{x}) - \pi & \mbox{if } x < 0 \mbox{ and } y < 0\\
\frac{\pi}{2} & \mbox{if } x = 0 \mbox{ and } y > 0\\
-\frac{\pi}{2} & \mbox{if } x = 0 \mbox{ and } y < 0\\
0 & \mbox{if } x = 0 \mbox{ and } y = 0
\end{cases}

ในภาษาโปรแกรมสมัยใหม่มีฟังก์ชันที่จะคำนวณหาพิกัดมุม θ เพียงให้ค่า x และ y โดยไม่ต้องให้อะไรเพิ่มเติม เช่น ฟังก์ชัน atan2 (y,x) ในภาษาซี และ atan (y,x) ในคอมมอน ลิซ์ป (Common Lisp) ในทั้งสองกรณีนั้น ผลที่ได้เป็นมุมในเรเดียนในพิสัย (−π, π]

สมการเชิงขั้วของเส้นโค้ง[แก้]

สมการที่นิยามเส้นโค้งพืชคณิตแสดงในพิกัดเชิงขั้วหรือที่เรียกว่าสมการเชิงขั้ว ในหลายกรณี สมการสามารถถูกกำหนดง่ายๆโดยนิยาม r ตามฟังก์ชันของ θ (r = f(θ) หรือ F(r, θ) = 0) เส้นโค้งที่ได้ประกอบด้วยจุดในรูปแบบ (r(θ), θ) และสามารถถือว่าเป็นเส้นกราฟของฟังกชันขั้ว r

รูปแบบสมมาตรที่ต่างกันสามารถอนุมานจากสมการของฟังกชันขั้ว r ถ้า r(−θ) = r(θ) เส้นโค้งจะสมมาตรกับรังสีแนวนอน (0°/180°) ถ้า r(π − θ) = r(θ) จะสมมาตรกับรังสีแนวตั้ง (90°/270°) และถ้า r(θ − α°) = r(θ) จะสมมาตรแบบหมุน α° ทวนเข็มนาฬิกา รอบขั้ว

เพราะธรรมชาติของวงกลมที่มีอยู่ในระบบพิกัดเชิงขั้ว เส้นโค้งหลายๆเส้นสามารถอธิบายโดยสมการเชิงขั้วง่ายๆ เพราะว่ารูปแบบในพิกัดคาร์ทีเซียนของเส้นเหล่านั้นเป็นเรื่องที่ซับซ้อนมาก เส้นโค้งที่เรารู้จักกันดีได้แก่กลีบกุหลาบ, วงก้นหอย, ริบบิ้น, ลีมาซอง และ หัวใจ

วงกลม[แก้]

วงกลมตามสมการ r (θ) = 1

โดยทั่วไปสมการวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่ (r0, φ) และรัศมี a คือ

r^2 - 2 r r_0 \cos (\theta - \varphi) + r_0^2 = a^2\,

สมการนี้สามารถทำให้อยู่ในรูปแบบที่ง่ายขึ้นได้หลายทางโดยปรับเปลี่ยนให้เข้าสู่กรณีเฉพาะ เช่นสมการ

r (\theta) =a \,

สำหรับวงกลมที่จุดศูนย์กลางอยู่ที่ขั้วและรัศมี a[15]

เส้นตรง[แก้]

เส้นรัศมี (ที่วิ่งผ่านขั้ว) แทนด้วยสมการ

\theta = \varphi \,,

เมื่อ φ คือมุมของการยกตัวของเส้น; φ = arctan m เมื่อ m คือความชันของเส้นในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน เส้นตรงที่ไม่ใช่รัศมีที่ตัดกับรัศมี θ = φ ตั้งฉากที่จุด (r0, φ) มีสมการดังนี้

r(\theta) = {r_0}\sec(\theta-\varphi) \,

กลีบกุหลาบ[แก้]

กลีบกุหลาบตามสมการ r(θ) = 2 sin 4θ

กลีบกุหลาบเป็นเส้นโค้งทางคณิตศาสตร์ที่รู้จักกันดี ที่มองดูเหมือนกลีบดอกไม้ สามารถแสดงแทนในรูปสมการเชิงขั้วทั่วไปดังนี้

r(\theta) = a \cos (k\theta + \phi_0)\,

สำหรับทุกๆค่าคงที่ φ0 (รวมถึงค่า 0) ถ้า k คือจำนวนเต็ม สมการจะสร้างกลีบดอกไม้ k กลีบถ้า k คือ จำนวนคี่ หรือ 2k กลีบถ้า k คือจำนวนคู่ ถ้า k คือเลขเศษส่วนแต่ไม่ใช่จำนวนเต้ม เส้นโค้งจากสมการอาจเป็นรูปกลีบดอกไม้แต่กลีบอาจจะซ้อนทับกัน จากที่กล่าวมาข้างต้นทำให้สมการนี้ไม่สามารถกำหนดกลีบดอกไม้เป็นเป็น 2, 6, 10, 14, และอื่นๆ กลีบได้ ตัวแปร a จะแทนความยาวของกลีบดอกไม้

วงก้นหอยแบบอาร์คีมีดีส[แก้]

แขนมุมของวงก้นหอยแบบอาร์คีมีดีสตามสมการ r(θ) = θ เมื่อ 0 < θ < 6π

เส้นโค้งก้นหอยแบบอาร์คีมีดีสเป็นวงก้นหอยที่ถูกค้นพบโดยอาร์คิมิดีส ซึ่งสามารถแทนได้ด้วยสมการเชิงขั้ว

r(\theta) = a+b\theta. \,

จำนวนเชิงซ้อน[แก้]

ภาพแสดงเลขเชิงซ้อน z ลงจุดบนระนาบเชิงซ้อน
ภาพแสดงเลขเชิงซ้อนลงจุดบนระนาบเชิงซ้อนเมื่อใช้สูตรของออยเลอร์

ทุกๆจำนวนเชิงซ้อนสามารถแทนได้ด้วยจุดในระนาบเชิงซ้อน ดังนั้นจึงสามารถแสดงด้วยจุดในพิกัดคาร์ทีเซียน (เรียกว่าแบบมุมฉากหรือแบบคาร์ทีเซียน) หรือจุดในพิกัดเชิงขั้ว (เรียกว่าแบบเชิงขั้ว)

เลขเชิงซ้อน z สามารถแทนในรูปแบบมุมฉากดังนี้

z = x + iy\,

เมื่อ i คือหน่วยจินตภาพ หรือสามารถเลือกเขียนในแบบเชิงขั้ว (ตามสูตรการแปรผันข้างบน) ดังนี้

z = r\cdot(\cos\theta+i\sin\theta)

และลดรูปเป็น

z = re^{i\theta} \,

เมื่อ e คือตัวเลขของออยเลอร์ซึ่งสมมูลตามที่แสดงโดยสูตรของออยเลอร์[16] (มุม θ ถูกแสดงในหน่วยเรเดียน)

สำหรับการคูณ, การหาร, และการยกกำลังของเลขเชิงซ้อน ทั่วไปแล้วจะกระทำในแบบเชิงขั้วมากกว่าแบบมุมฉาก จากกฎของการยกกำลัง:

  • การคูณ:
r_0 e^{i\theta_0} \cdot r_1 e^{i\theta_1}=r_0 r_1 e^{i(\theta_0 + \theta_1)} \,
  • การหาร:
\frac{r_0 e^{i\theta_0}}{r_1 e^{i\theta_1}}=\frac{r_0}{r_1}e^{i(\theta_0 - \theta_1)} \,
(re^{i\theta})^n=r^ne^{in\theta} \,

แคลคูลัส[แก้]

แคลคูลัสสามารถประยุกต์สมการไปใช้พิกัดเชิงขั้วได้[17][18]

พิกัดมุม θ ถูกแสดงในเรเดียนตลอดจนภาคตัดนี้ ซึ่งเป็นทางเลือกหนึ่งในการทำแคลคูลัส

แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์[แก้]

ให้ x = r cos(θ) และ y = r sin(θ) ซึ่งได้จากความสัมพันธ์ของพิกัดคาร์ทีเซียนและพิกัดเชิงขั้ว ให้ฟังก์ชัน u(x,y) ตามสมการ

r \tfrac{\partial u}{\partial r} = r \tfrac{\partial u}{\partial x}\tfrac{\partial x}{\partial r} + r \tfrac{\partial u}{\partial y}\tfrac{\partial y}{\partial r},
\tfrac{\partial u}{\partial \theta} = \tfrac{\partial u}{\partial x}\tfrac{\partial x}{\partial \theta} + \tfrac{\partial u}{\partial y}\tfrac{\partial y}{\partial \theta},

หรือ

r \tfrac{\partial u}{\partial r} = r \tfrac{\partial u}{\partial x} \cos(\theta) + r \tfrac{\partial u}{\partial y} \sin(\theta)  = x \tfrac{\partial u}{\partial x} + y \tfrac{\partial u}{\partial y},
\tfrac{\partial u}{\partial \theta} = - \tfrac{\partial u}{\partial x} r \sin(\theta) + \tfrac{\partial u}{\partial y} r \cos(\theta) = -y \tfrac{\partial u}{\partial x} + x \tfrac{\partial u}{\partial y}

เพราะฉะนั้น จะได้สมการ:

r \tfrac{\partial}{\partial r}= x \tfrac{\partial}{\partial x} + y \tfrac{\partial}{\partial y} \,
\tfrac{\partial}{\partial \theta} = -y \tfrac{\partial}{\partial x} + x \tfrac{\partial}{\partial y}

หาความชันคาร์ทีเซียนของเส้นสัมผัสเส้นโค้งเชิงขั้ว r(θ) ในทุกๆจุดที่ให้ เส้นโค้งนั้นอยู่ในรูประบบสมการอิงตัวแปรเสริม

x=r(\theta)\cos\theta \,
y=r(\theta)\sin\theta \,

ทำอนุพันธ์ในเทอมของ θ ทั้งสองสมการ

\frac{dx}{d\theta}=r'(\theta)\cos\theta-r(\theta)\sin\theta \,
\frac{dy}{d\theta}=r'(\theta)\sin\theta+r(\theta)\cos\theta \,

หารสมการที่สองด้วยสมการแรกให้ความชันคาร์ทีเซียนของเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุด (r, r(θ)):

\frac{dy}{dx}=\frac{r'(\theta)\sin\theta+r(\theta)\cos\theta}{r'(\theta)\cos\theta-r(\theta)\sin\theta}

แคลคูลัสเวกเตอร์[แก้]

แคลคูลัสเวกเตอร์สามารถใช้กับพิกัดเชิงขั้วได้ด้วยเช่นกัน ให้ \mathbf{r} เป็นเวกเตอร์ตำแหน่ง (rcos(θ) rsin(θ)), r และ θ ขึ้นกับเวลา t

ใช้เวกเตอร์หนึ่งหน่วย

\hat{\mathbf{r}}=(\cos(\theta),\sin(\theta))

ในทิศทางของ r และ

\hat{\boldsymbol\theta}=(-\sin(\theta),\cos(\theta))

ที่มุมฉากถึง r อนุพันธ์อันดับหนึ่งและสองของตำแหน่งเป็น

\frac{d\mathbf{r}}{dt} = \dot r\hat{\mathbf{r}} + r\dot\theta\hat{\boldsymbol\theta},
\frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2} = (\ddot r - r\dot\theta^2)\hat{\mathbf{r}} + (r\ddot\theta + 2\dot r \dot\theta)\hat{\boldsymbol\theta} = (\ddot r - r\dot\theta^2)\hat{\mathbf{r}} +
 \frac{1}{r}\quad \dot {\overbrace{r^2\dot\theta}}\quad \hat{\boldsymbol\theta}

การเชื่อมโยงกับพิกัดทรงกลมและกระบอก[แก้]

ระบบพิกัดเชิงขั้วสามารถขยายออกไปถึงสามมิติกับระบบพิกัดที่แตกต่งกันอีกสองระบบได้คือระบบพิกัดทรงกลมและระบบพิกัดกระบอก

การประยุกต์[แก้]

ดูเพิ่ม[แก้]

อ้างอิง[แก้]

  1. Brown, Richard G. (1997). Andrew M. Gleason, ed. Advanced Mathematics: Precalculus with Discrete Mathematics and Data Analysis. Evanston, Illinois: McDougal Littell. ISBN 0-395-77114-5. 
  2. Friendly, Michael. "Milestones in the History of Thematic Cartography, Statistical Graphics, and Data Visualization". สืบค้นเมื่อ 2006-09-10. 
  3. T. Koetsier, L. Bergmans (2005), Mathematics and the Divine, Elsevier, p. 169, ISBN 0444503285 
  4. O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Abu Arrayhan Muhammad ibn Ahmad al-Biruni", MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews .
  5. David A. King (1996), "Astronomy and Islamic society: Qibla, gnomics and timekeeping", in Roshdi Rashed (ed.), Encyclopedia of the History of Arabic Science, Vol. 1, pp. 128–184 [153], Routledge, London and New York
  6. 6.0 6.1 Coolidge, Julian (1952). "The Origin of Polar Coordinates". American Mathematical Monthly 59: 78–85. doi:10.2307/2307104. 
  7. Boyer, C. B. (1949). "Newton as an Originator of Polar Coordinates". American Mathematical Monthly 56: 73–78. doi:10.2307/2306162. 
  8. Miller, Jeff. "Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics". Archived from the original on 1999-10-03. สืบค้นเมื่อ 2006-09-10. 
  9. Smith, David Eugene (1925). History of Mathematics, Vol II. Boston: Ginn and Co. p. 324. 
  10. Serway, Raymond A.; Jewett, Jr., John W. (2005). Principles of Physics. Brooks/Cole—Thomson Learning. ISBN 0-534-49143-X. 
  11. "Polar Coordinates and Graphing" (PDF). 2006-04-13. สืบค้นเมื่อ 2006-09-22. 
  12. Lee, Theodore; David Cohen, David Sklar (2005). Precalculus: With Unit-Circle Trigonometry (Fourth Edition ed.). Thomson Brooks/Cole. ISBN 0534402305. 
  13. Stewart, Ian; David Tall (1983). Complex Analysis (the Hitchhiker's Guide to the Plane). Cambridge University Press. ISBN 0521287634. 
  14. Torrence, Bruce Follett; Eve Torrence (1999). The Student's Introduction to Mathematica. Cambridge University Press. ISBN 0521594618. 
  15. Claeys, Johan. "Polar coordinates". สืบค้นเมื่อ 2006-05-25. 
  16. Smith, Julius O. (2003). "Euler's Identity". Mathematics of the Discrete Fourier Transform (DFT). W3K Publishing. ISBN 0-9745607-0-7. สืบค้นเมื่อ 2006-09-22. 
  17. Husch, Lawrence S. "Areas Bounded by Polar Curves". สืบค้นเมื่อ 2006-11-25. 
  18. Lawrence S. Husch. "Tangent Lines to Polar Graphs". สืบค้นเมื่อ 2006-11-25.