สัญกรณ์ลูกศรของคนูธ

ในทางคณิตศาสตร์ สัญกรณ์ลูกศรของคนูธ (อังกฤษ: Knuth's up-arrow notation) เป็นสัญลักษณ์ที่ใช้เขียนแสดงจำนวนที่มีค่ามาก ๆ คิดค้นโดย โดนัลด์ คนูธ เมื่อปี พ.ศ. 2519

นิยาม

การคูณของจำนวนนับสามารถนิยามโดยใช้การบวกได้ดังนี้

$\begin{matrix} a b & = & \underbrace{a+a+\dots+a} \\ & & b\mbox{ copies of }a \end{matrix}$

เช่น

$\begin{matrix} 3\times 2 & = & \underbrace{3+3} & = & 6\\ & & 2\mbox{ copies of }3 \end{matrix}$

การยกกำลังก็สามารถนิยามโดยใช้การคูณได้ดังนี้

$\begin{matrix} a\uparrow b= a^b = & \underbrace{a\times a\times\dots\times a}\\ & b\mbox{ copies of }a \end{matrix}$

เช่น

$\begin{matrix} 3\uparrow 2= 3^2 = & \underbrace{3\times 3} & = & 9\\ & 2\mbox{ copies of }3 \end{matrix}$

ซึ่งเป็นที่มาของการนิยามสัญลักษณ์ลูกศรสองตัว ซึ่งนิยามโดย

$\begin{matrix} a\uparrow\uparrow b & = {\ ^{b}a} = & \underbrace{a^{a^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^a}}}}}} & = & \underbrace{a\uparrow a\uparrow\dots\uparrow a} \\ & & b\mbox{ copies of }a & & b\mbox{ copies of }a \end{matrix}$

เช่น

$\begin{matrix} 3\uparrow\uparrow 2 & = {\ ^{2}3} = & \underbrace{3^3} & = & \underbrace{3\uparrow 3} & = & 27 \\ & & 2\mbox{ copies of }3 & & 2\mbox{ copies of }3 \end{matrix}$

ตัวอย่างของการเขียนสัญลักษณ์ลูกศรสองตัว ได้แก่

$3\uparrow\uparrow2=3^3=27$

$3\uparrow\uparrow3=3^{3^3}=3^{27}=7625597484987$

$3\uparrow\uparrow4=3^{3^{3^3}}=3^{7625597484987}$

$3\uparrow\uparrow5=3^{3^{3^{3^3}}} = 3^{3^{7625597484987}}$

สัญลักษณ์ลูกศรสามตัว นิยามโดย

$\begin{matrix} a\uparrow\uparrow\uparrow b= & \underbrace{a_{}\uparrow\uparrow a\uparrow\uparrow\dots\uparrow\uparrow a}\\ & b\mbox{ copies of }a \end{matrix}$

สัญลักษณ์ลูกศรสี่ตัว นิยามโดย

$\begin{matrix} a\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow b= & \underbrace{a_{}\uparrow\uparrow\uparrow a\uparrow\uparrow\uparrow\dots\uparrow\uparrow\uparrow a}\\ & b\mbox{ copies of }a \end{matrix}$

และนิยามเช่นนี้ไปเรื่อย ๆ นั่นคือ

$\begin{matrix} a\ \underbrace{\uparrow_{}\uparrow\!\!\dots\!\!\uparrow}\ b= a\ \underbrace{\uparrow\!\!\dots\!\!\uparrow} \ a\ \underbrace{\uparrow_{}\!\!\dots\!\!\uparrow} \ a\ \dots \ a\ \underbrace{\uparrow_{}\!\!\dots\!\!\uparrow} \ a \\ \quad\ \ \,n\qquad\ \ \ \underbrace{\quad n_{}\!-\!\!1\quad\ \,n\!-\!\!1\qquad\quad\ \ \ \,n\!-\!\!1\ \ \ } \\ \qquad\qquad\quad\ \ b\mbox{ copies of }a \end{matrix}$

เช่น

$3\uparrow\uparrow\uparrow2 = 3\uparrow\uparrow3 = 3^{3^3} = 3^{27}=7\,625\,597\,484\,987$

$\begin{matrix} 3\uparrow\uparrow\uparrow3 = 3\uparrow\uparrow3\uparrow\uparrow3 = 3\uparrow\uparrow(3\uparrow3\uparrow3) = & \underbrace{3_{}\uparrow 3\uparrow\dots\uparrow 3} \\ & 3\uparrow 3\uparrow 3\mbox{ copies of }3 \end{matrix} \begin{matrix} = & \underbrace{3_{}\uparrow 3\uparrow\dots\uparrow 3} \\ & 7\,625\,597\,484\,987 \mbox{ copies of }3 \end{matrix}$