สัญกรณ์ลูกศรของคนูธ

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

ในทางคณิตศาสตร์ สัญกรณ์ลูกศรของคนูธ (อังกฤษ: Knuth's up-arrow notation) เป็นสัญลักษณ์ที่ใช้เขียนแสดงจำนวนที่มีค่ามาก ๆ คิดค้นโดย โดนัลด์ คนูธ เมื่อปี พ.ศ. 2519

นิยาม[แก้]

การคูณของจำนวนนับสามารถนิยามโดยใช้การบวกได้ดังนี้


  \begin{matrix}
   a b & = & \underbrace{a+a+\dots+a} \\
   & & b\mbox{ copies of }a
  \end{matrix}

เช่น


  \begin{matrix}
   3\times 2 & = & \underbrace{3+3} & = & 6\\
   & & 2\mbox{ copies of }3
  \end{matrix}

การยกกำลังก็สามารถนิยามโดยใช้การคูณได้ดังนี้


  \begin{matrix}
   a\uparrow b= a^b = & \underbrace{a\times a\times\dots\times a}\\
   & b\mbox{ copies of }a
  \end{matrix}

เช่น


  \begin{matrix}
   3\uparrow 2= 3^2 = & \underbrace{3\times 3} & = & 9\\
   & 2\mbox{ copies of }3
  \end{matrix}

ซึ่งเป็นที่มาของการนิยามสัญลักษณ์ลูกศรสองตัว ซึ่งนิยามโดย


  \begin{matrix}
   a\uparrow\uparrow b & = {\ ^{b}a}  = & \underbrace{a^{a^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^a}}}}}} & 
   = & \underbrace{a\uparrow a\uparrow\dots\uparrow a} 
\\  
    & & b\mbox{ copies of }a
    & & b\mbox{ copies of }a
  \end{matrix}

เช่น


  \begin{matrix}
   3\uparrow\uparrow 2 & = {\ ^{2}3}  = & \underbrace{3^3} & 
   = & \underbrace{3\uparrow 3} & = & 27
\\  
    & & 2\mbox{ copies of }3
    & & 2\mbox{ copies of }3
  \end{matrix}

ตัวอย่างของการเขียนสัญลักษณ์ลูกศรสองตัว ได้แก่

3\uparrow\uparrow2=3^3=27
3\uparrow\uparrow3=3^{3^3}=3^{27}=7625597484987
3\uparrow\uparrow4=3^{3^{3^3}}=3^{7625597484987}
3\uparrow\uparrow5=3^{3^{3^{3^3}}} = 3^{3^{7625597484987}}

สัญลักษณ์ลูกศรสามตัว นิยามโดย


  \begin{matrix}
   a\uparrow\uparrow\uparrow b= &
    \underbrace{a_{}\uparrow\uparrow a\uparrow\uparrow\dots\uparrow\uparrow a}\\
    & b\mbox{ copies of }a
  \end{matrix}

สัญลักษณ์ลูกศรสี่ตัว นิยามโดย


  \begin{matrix}
   a\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow b= &
    \underbrace{a_{}\uparrow\uparrow\uparrow a\uparrow\uparrow\uparrow\dots\uparrow\uparrow\uparrow a}\\
    & b\mbox{ copies of }a
  \end{matrix}

และนิยามเช่นนี้ไปเรื่อย ๆ นั่นคือ


  \begin{matrix}
   a\ \underbrace{\uparrow_{}\uparrow\!\!\dots\!\!\uparrow}\ b=
    a\ \underbrace{\uparrow\!\!\dots\!\!\uparrow}
    \ a\ \underbrace{\uparrow_{}\!\!\dots\!\!\uparrow}
    \ a\ \dots
    \ a\ \underbrace{\uparrow_{}\!\!\dots\!\!\uparrow}
    \ a
  \\
   \quad\ \ \,n\qquad\ \ \ \underbrace{\quad n_{}\!-\!\!1\quad\ \,n\!-\!\!1\qquad\quad\ \ \ \,n\!-\!\!1\ \ \ }
  \\
   \qquad\qquad\quad\ \ b\mbox{ copies of }a
  \end{matrix}

เช่น

3\uparrow\uparrow\uparrow2 = 3\uparrow\uparrow3 = 3^{3^3} = 3^{27}=7\,625\,597\,484\,987

  \begin{matrix}
    3\uparrow\uparrow\uparrow3 = 3\uparrow\uparrow3\uparrow\uparrow3 = 3\uparrow\uparrow(3\uparrow3\uparrow3) = &
    \underbrace{3_{}\uparrow 3\uparrow\dots\uparrow 3} \\
   & 3\uparrow 3\uparrow 3\mbox{ copies of }3
  \end{matrix}
  \begin{matrix}
   = & \underbrace{3_{}\uparrow 3\uparrow\dots\uparrow 3} \\
   & 7\,625\,597\,484\,987 \mbox{ copies of }3
  \end{matrix}