ลำดับ

ลำดับ (อังกฤษ: Sequence) คือ ฟังก์ชันที่มีโดเมนของเซตเป็นจำนวนเต็มบวก และถ้าลำดับในเซต A คือ ลำดับที่มีเรนจ์เป็นสับเซต ของ A ถ้าโดเมนมีจำนวนจำกัด เรียกว่า "ลำดับจำกัด" ถ้าโดเมนมีจำนวนไม่จำกัด เรียกว่า "ลำดับอนันต์" ถ้าให้ f เป็นเซตของจำนวนเต็มบวกไปยังเซตของจำนวนจริง เราจะเรียก f(1),f(2),f(3),... ว่า ลำดับของจำนวนจริง

ลำดับเลขคณิต (arithmetic sequence หรือ arithmetic progression)

ดูบทความหลักที่ การก้าวหน้าเลขคณิต

บทนิยาม ลำดับเลขคณิต คือลำดับที่มีผลต่างระหว่างพจน์ที่ n+1 กับพจน์ที่ n มีค่าคงตัว ค่าคงตัวนี้เรียกว่า ผลต่างร่วม (common difference) สามารถเขียนสูตรของพจน์ที่ n ในรูปของพจน์ที่ 1 ได้ดังสมการ

$a_n = a_1 + (n-1) d$

โดยที่ $d$ คือ ผลต่างร่วม

ตัวอย่างของลำดับเลขคณิตเช่น 2, 4, 6, 8, ... ในที่นี้ $a_1 = 2,\ a_2 = 4,\ ...$ และสามารถเขียนพจน์ทั่วไปอยู่ในรูป $a_n = 2 + (n-1) \times 2 = 2n$

ลำดับเรขาคณิต (geometric sequence or geometric progression)

ดูบทความหลักที่ การก้าวหน้าเรขาคณิต

บทนิยาม ลำดับเรขาคณิตคือ อัตราส่วนระหว่างพจน์ที่ n +1 กับ พจน์ที่ n มีค่าคงตัว ค่าคงตัวนี้เรียกว่า อัตราส่วนร่วม (common ratio) สามารถเขียนพจน์ที่ $n$ ใดๆ ในรูปของพจน์ที่ 1 ดังนี้

$a_n = a_1 *r^{n-1}$

ตัวอย่างลำดับเรขาคณิตเช่น 1, 2, 4, 8, ... โดยที่ $a_1 = 1,\ a_2 = 2,\ ...$ และ $a_n = 1 * 2^{n-1} = 2^{n-1}$

ลำดับฮาร์มอนิก (harmonic sequence)

บทนิยาม ลำดับฮาร์มอนิกหมายถึง ลำดับที่มีพจน์แต่ละพจน์เป็นส่วนกลับของพจน์ในลำดับเลขคณิต ตัวอย่างเช่น $1,\ 1/2,\ 1/3,\ 1/4,\ ...$

พจน์กลางของลำดับต่างๆ

1. ถ้า $a,\ A,\ b$ เป็นสามพจน์เรียงกันในลำดับเลขคณิตแล้ว

สูตร พจน์กลาง $A = \frac{a+b}{2}$

2. ถ้า $a,\ G,\ b$ เป็นสามพจน์เรียงกันในลำดับเรขาคณิตแล้ว

สูตร พจน์กลาง $G = \sqrt{ab}$

3. ถ้า $a,\ H,\ b$ เป็นสามพจน์เรียงกันในลำดับฮาร์มอนิกแล้ว

สูตร พจน์กลาง $H = \tfrac{2ab}{a+b}$

ลำดับสลับ (alternating sequence)

ลำดับสลับคือ ลำดับซึ่งพจน์ที่ n กับพจน์ที่ n + 1 มีเครื่องหมายตรงกันข้ามกัน

ลำดับฟีโบนักชี (Fibonacci sequence)

ดูบทความหลักที่ จำนวนฟีโบนัชชี

ลำดับฟีโบนักชีคือลำดับของจำนวนเต็มบวก ซึ่งมีสมบัติว่า $a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$ สำหรับ $a_{1}=a_{2}=1$ โดยที่ $n>2$

ลำดับโคชี (Cauchy sequence)

ลำดับโคชีคือลำดับซึ่ง $|a_n$ - $a_{n-1}|$ มีค่าเข้าใกล้ 0 เมื่อ n มีค่ามากขึ้นโดยไม่มีที่สิ้นสุด