ลำดับ

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

ลำดับ (อังกฤษ: Sequence) คือ ฟังก์ชันที่มีโดเมนของเซตเป็นจำนวนเต็มบวก และถ้าลำดับในเซต A คือ ลำดับที่มีเรนจ์เป็นสับเซต ของ A ถ้าโดเมนมีจำนวนจำกัด เรียกว่า "ลำดับจำกัด" ถ้าโดเมนมีจำนวนไม่จำกัด เรียกว่า "ลำดับอนันต์" ถ้าให้ f เป็นเซตของจำนวนเต็มบวกไปยังเซตของจำนวนจริง เราจะเรียก f(1),f(2),f(3),... ว่า ลำดับของจำนวนจริง


ลำดับเลขคณิต (arithmetic sequence หรือ arithmetic progression)[แก้]

ดูบทความหลักที่ การก้าวหน้าเลขคณิต

บทนิยาม ลำดับเลขคณิต คือลำดับที่มีผลต่างระหว่างพจน์ที่ n+1 กับพจน์ที่ n มีค่าคงตัว ค่าคงตัวนี้เรียกว่า ผลต่างร่วม (common difference) สามารถเขียนสูตรของพจน์ที่ n ในรูปของพจน์ที่ 1 ได้ดังสมการ

a_n = a_1 + (n-1) d

โดยที่ d คือ ผลต่างร่วม

ตัวอย่างของลำดับเลขคณิตเช่น 2, 4, 6, 8, ... ในที่นี้ a_1 = 2,\ a_2 = 4,\ ... และสามารถเขียนพจน์ทั่วไปอยู่ในรูป a_n = 2 + (n-1)=2n

ลำดับเรขาคณิต (geometric sequence or geometric progression)[แก้]

ดูบทความหลักที่ การก้าวหน้าเรขาคณิต

บทนิยาม ลำดับเรขาคณิตคือ อัตราส่วนระหว่างพจน์ที่ n +1 กับ พจน์ที่ n มีค่าคงตัว ค่าคงตัวนี้เรียกว่า อัตราส่วนร่วม (common ratio) สามารถเขียนพจน์ที่ n ใดๆ ในรูปของพจน์ที่ 1 ดังนี้

a_n = a_1 *r^{n-1}

ตัวอย่างลำดับเรขาคณิตเช่น 1, 2, 4, 8, ... โดยที่ a_1 = 1,\ a_2 = 2,\ ... และ a_n = 1 * 2^{n-1} = 2^{n-1}


ลำดับฮาร์มอนิก (harmonic sequence)[แก้]

บทนิยาม ลำดับฮาร์มอนิกหมายถึง ลำดับที่มีพจน์แต่ละพจน์เป็นส่วนกลับของพจน์ในลำดับเลขคณิต ตัวอย่างเช่น 1,\ 1/2,\ 1/3,\ 1/4,\ ...

พจน์กลางของลำดับต่างๆ[แก้]

1. ถ้า a,\ A,\ b เป็นสามพจน์เรียงกันในลำดับเลขคณิตแล้ว

สูตร พจน์กลาง A = \frac{a+b}{2}

2. ถ้า a,\ G,\ b เป็นสามพจน์เรียงกันในลำดับเรขาคณิตแล้ว

สูตร พจน์กลาง G = \sqrt{ab}

3. ถ้า a,\ H,\ b เป็นสามพจน์เรียงกันในลำดับฮาร์มอนิกแล้ว

สูตร พจน์กลาง H = \tfrac{2ab}{a+b}

ลำดับสลับ (alternating sequence)[แก้]

ลำดับสลับคือ ลำดับซึ่งพจน์ที่ n กับพจน์ที่ n + 1 มีเครื่องหมายตรงกันข้ามกัน

ลำดับฟีโบนักชี (Fibonacci sequence)[แก้]

ดูบทความหลักที่ จำนวนฟีโบนัชชี

ลำดับฟีโบนักชีคือลำดับของจำนวนเต็มบวก ซึ่งมีสมบัติว่า a_n=a_{n-1}+a_{n-2} สำหรับ a_{1}=a_{2}=1 โดยที่ n>2

ลำดับโคชี (Cauchy sequence)[แก้]

ลำดับโคชีคือลำดับซึ่ง |a_n - a_{n-1}| มีค่าเข้าใกล้ 0 เมื่อ n มีค่ามากขึ้นโดยไม่มีที่สิ้นสุด