เอกลักษณ์ของออยเลอร์

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

เอกลักษณ์ของออยเลอร์ (Euler's identity) คือสมการต่อไปนี้:

e^{i \pi} = -1 \,\!

ซึ่ง

e\,\! คือ ลอการิทึมธรรมชาติ
i\,\! คือ หน่วยจินตภาพ : หนึ่งในจำนวนเชิงซ้อนที่ยังกำลังสองแล้วได้ −1 (อีกตัวคือ -i\,\!)
\pi\,\! คือ พาย : อัตราส่วนระหว่างเส้นรอบวง ต่อ เส้นผ่านศูนย์กลาง ของวงกลม

เอกลักษณ์นี้ บางครั้งเขียนว่า

e^{i \pi} + 1 = 0 \,\!

ซึ่งแสดงให้เห็นค่าคงที่ทางคณิตศาสตร์ถึง 5 อย่างด้วยกัน

ที่มา[แก้]

สมการนี้ ปรากฏอยู่ใน Introduction ของเลออนฮาร์ด ออยเลอร์ ซึ่งตีพิมพ์ใน Lausanne ใน พ.ศ. 2291 (ค.ศ. 1748) เอกลักษณ์นี้เป็นกรณีหนึ่งของสูตรของออยเลอร์ (Euler's formula) ซึ่งกล่าวว่า

e^{ix} = \cos x + i \sin x \,\!

สำหรับจำนวนจริง x ถ้าเราให้ x = \pi จะได้

e^{i \pi} = \cos \pi + i \sin \pi \,\!

จากนิยามของ

\cos \pi = -1\,\!

และ

\sin \pi = 0\,\!

เราจะได้

e^{i \pi} = -1 \,\!