เอกลักษณ์ของออยเลอร์

เอกลักษณ์ของออยเลอร์ (Euler's identity) คือสมการต่อไปนี้:

$e^{i \pi} = -1 \,\!$

ซึ่ง

$e\,\!$ คือ ลอการิทึมธรรมชาติ

$i\,\!$ คือ หน่วยจินตภาพ : หนึ่งในจำนวนเชิงซ้อนที่ยังกำลังสองแล้วได้ −1 (อีกตัวคือ $-i\,\!$)

$\pi\,\!$ คือ พาย : อัตราส่วนระหว่างเส้นรอบวง ต่อ เส้นผ่านศูนย์กลาง ของวงกลม

เอกลักษณ์นี้ บางครั้งเขียนว่า

$e^{i \pi} + 1 = 0 \,\!$

ซึ่งแสดงให้เห็นค่าคงที่ทางคณิตศาสตร์ถึง 5 อย่างด้วยกัน

ที่มา

สมการนี้ ปรากฏอยู่ใน Introduction ของเลออนฮาร์ด ออยเลอร์ ซึ่งตีพิมพ์ใน Lausanne ใน พ.ศ. 2291 (ค.ศ. 1748) เอกลักษณ์นี้เป็นกรณีหนึ่งของสูตรของออยเลอร์ (Euler's formula) ซึ่งกล่าวว่า

$e^{ix} = \cos x + i \sin x \,\!$

สำหรับจำนวนจริง $x$ ถ้าเราให้ $x = \pi$ จะได้

$e^{i \pi} = \cos \pi + i \sin \pi \,\!$

จากนิยามของ

$\cos \pi = -1\,\!$

และ

$\sin \pi = 0\,\!$

เราจะได้

$e^{i \pi} = -1 \,\!$