ลิมิตของลำดับ

n	n sin(1/n)
1	0.841471
2	0.958851
...
10	0.998334
...
100	0.999983

เมื่อจำนวนเต็มบวก $n$ มีค่ามากขึ้น ค่า $n\cdot \sin {\bigg (}{\frac {1}{n}}{\bigg )}$ จะเข้าใกล้ $1$ กล่าวได้ว่า "ลิมิตของลำดับ $n\cdot \sin {\bigg (}{\frac {1}{n}}{\bigg )}$ เท่ากับ $1$"

ในวิชาคณิตศาสตร์ ลิมิตของลำดับเป็นค่าซึ่งพจน์ของลำดับ "โน้มเอียง" (tend to) หากมีลิมิต ลำดับนั้นเรียก ลู่เข้า (convergent) หากลำดับไม่ลู่เข่าจะเรียก ลู่ออก (divergent) มีคำกล่าวว่าลิมิตของลำดับเป็นความคิดมูลฐานซึ่งสุดท้ายเป็นที่ลงเอยของการวิเคราะห์ทั้งหมด

สามารถนิยามลิมิตในปริภูมิเมตริกหรือทอพอโลยีใดก็ได้ แต่ปกติพบในจำนวนจริง

จำนวนจริ

การลงจุดของลำดับลู่เข้า {a_n} แสดงในสีน้ำเงิน จะเห็นได้ว่าลำดับลู่เข้าลิมิตเมื่อ n เพิ่ม

ในจำนวนจริง จำนวน $L$ เป็นลิมิตของลำดับ $(x_{n})$ ถ้าจำนวนในลำดับมีค่าเข้าใกล้ $L$ มากขึ้น ๆ และไม่เข้าใกล้จำนวนอื่น

ตัวอย่าง

• ถ้า $x_{n}=c$ สำหรับค่าคงตัว c แล้ว $x_{n}\to c$
• ถ้า $x_{n}={\frac {1}{n}}$ แล้ว $x_{n}\to 0$
• ถ้า $x_{n}=1/n$ เมื่อ $n$ เป็นคู่ และ $x_{n}={\frac {1}{n^{2}}}$ เมื่อ $n$ เป็นคี่ แล้ว $x_{n}\to 0$ (ข้อเท็จจริงว่า $x_{n+1}>x_{n}$ ต่อเมื่อ $n$ เป็นคู่นั้นไม่เกี่ยวข้องกัน)
• สำหรับจำนวนจริงใด ๆ อาจสามารถสร้างลำดับที่ลู่เข้าจำนวนนั้นได้โดยการใช้การประมาณทศนิยม ตัวอย่างเช่น ลำดับ $0.3,0.33,0.333,0.3333,...$ ลู่เข้า $1/3$ หมายเหตุว่า ตัวแทนทศนิยม $0.3333...$ เป็นลิมิตของลำดับก่อนหน้า นิยามโดย

$0.3333...\triangleq \lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}{\frac {3}{10^{i}}}$

• การค้นหาลิมิตของลำดับอาจไม่ชัดเจนเสมอไป สองตัวอย่างได้แก่ $\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}$ (ซึ่งมีลิมิตเป็น จำนวน e) และ มัชฌิมเลขคณิต–เรขาคณิต (arithmetic–geometric mean) ในกรณีนี้ ทฤษฎีบทบีบ (squeeze theorem) มักมีประโยชน์ในการหาลิมิต

อ้างอิง

• Courant, Richard (1961). "Differential and Integral Calculus Volume I", Blackie & Son, Ltd., Glasgow.
• Frank Morley and James Harkness A treatise on the theory of functions (New York: Macmillan, 1893)