รากที่ n

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

ในทางคณิตศาสตร์ รากที่ n ของจำนวน x คือจำนวน r ที่ซึ่งเมื่อยกกำลัง n แล้วจะเท่ากับ x นั่นคือ

r^n = x\,

ตัวแปร n คือจำนวนที่ใส่เข้าไปเป็นดีกรีของราก โดยทั่วไปรากของดีกรี n จะเรียกว่ารากที่ n เช่นรากของดีกรีสองเรียกว่ารากที่สอง รากของดีกรีสามเรียกว่ารากที่สาม เป็นอาทิ

ตัวอย่างเช่น

  • 2 คือรากที่สองของ 4 เนื่องจาก 22 = 4
  • −2 ก็คือรากที่สองของ 4 เช่นกันเนื่องจาก (−2)2 = 4

รากที่ n ของจำนวนหนึ่งอาจมีหลายคำตอบก็ได้และไม่จำเป็นต้องเป็นจำนวนจริง

รากเหล่านี้โดยปกติเขียนแทนด้วยเครื่องหมายกรณฑ์ ซึ่งมีลักษณะดังนี้ \sqrt{\,\,} โดยส่วนบนจะยาวคลุมตัวถูกดำเนินการโดยตลอด (เสมือนเป็นวงเล็บในตัว) รากที่สองของ x เขียนแทนด้วย \sqrt{x} รากที่สามเขียนแทนด้วย \sqrt[3]{x} รากที่สี่เขียนแทนด้วย \sqrt[4]{x} เช่นนี้เรื่อยไป เมื่อจำนวนหนึ่งเขียนอยู่ภายใต้กรณฑ์ มันต้องให้ค่าออกมาเพียงค่าเดียวเหมือนฟังก์ชัน ดังนั้นรากที่เป็นจำนวนจริงไม่เป็นลบ ซึ่งเรียกว่า รากที่ n มุขสำคัญ (principal n-th root) จะเป็นจำนวนที่ถูกเลือกมากกว่ารากอื่น จำนวนติดกรณฑ์ที่ไม่ได้แจงค่าหรือหาค่ามิได้ บ่อยครั้งที่ถูกเรียกว่าเสิร์ด (surd)[1] หรือราก (radical) [2] ไปอย่างนั้น ในภาษาไทยนิยมเรียกสั้น ๆ ว่ารูต (root)

ในแคลคูลัส รากต่าง ๆ ถือว่าเป็นกรณีพิเศษของยกกำลังซึ่งมีเลขชี้กำลังเป็นเศษส่วนดังนี้

\sqrt[n]{x} \,=\, x^{(1/n)}

รากต่าง ๆ มีความสำคัญโดยเฉพาะกับทฤษฎีของอนุกรมอนันต์ ซึ่งการทดสอบโดยรากเป็นตัวพิจารณารัศมีของการลู่เข้าของอนุกรมกำลัง รากที่ n อาจสามารถนิยามสำหรับจำนวนเชิงซ้อนและรากเชิงซ้อนของ 1 (รากปฐมฐาน) ซึ่งมีบทบาทสำคัญในคณิตศาสตร์ชั้นสูง ทฤษฎีกาลัวจำนวนมากที่เกี่ยวข้องกับการพิจารณาว่าจำนวนเชิงพีชคณิตสามารถเขียนแทนในรูปของกรณฑ์ได้ นำไปสู่ทฤษฎีบทอาเบล-รัฟฟินีที่ว่าพหุนามดีกรีห้าขึ้นไปโดยทั่วไปไม่สามารถหาคำตอบได้โดยใช้รากเพียงอย่างเดียว

ประวัติ[แก้]

ต้นกำเนิดเกี่ยวกับเครื่องหมายกรณฑ์ (radical symbol, root symbol) \sqrt{\,\,} นั้นยังเป็นที่สงสัยอยู่ โดยเลออนฮาร์ด ออยเลอร์,[3] เชื่อว่ามันมีที่มาจากอักษรตัว r, ซึ่งเป็นตัวอักษรขึ้นต้นของคำว่า radix ในภาษาลาตินอันมีความหมายเช่นเดียวกับการกระทำทางคณิตศาสตร์ที่เหมือนเดิม. ซึ่งเครื่องหมายนี้ถูกตีพิมพ์ครั้งแรกโดยไม่ปรากฏเส้นลากข้างบนในปี ค.ศ. 1525 ในหนังสือ Die Coss โดย คริสตอฟ รูดอล์ฟ นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน.

คุณสมบัติทั่วไป[แก้]

  1. ค่าในกรณฑ์ต้องไม่เป็นจำนวนจริงลบจึงจะยังคงเป็นจำนวนจริง แต่หากค่าในกรณฑ์ติดลบ ถือว่าเป็นจำนวนจินตภาพ
  2. ค่าในกรณฑ์หากเป็นทศนิยมไปเรื่อยๆ อย่างเช่น \sqrt{2} =  1.414213562373095048... จะไม่พบตำแหน่งที่เริ่มมีการซ้ำได้
  3. \sqrt[n]{a} \cdot\sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}
  4. \sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}
  5. \sqrt[n]{a\sqrt[n]{a\sqrt[n]{a\sqrt[n]{...}}}} = \sqrt[n-1]{a}
  6. \sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{+...}}}} = \frac{1+\sqrt{4a+1}}{2}
  7. \sqrt{a+\sqrt{a-\sqrt{a+\sqrt{-...}}}} = \frac{1+\sqrt{4a-3}}{2}
  8. \sqrt{a}^2   \neq    \pm \left| a \right| เมื่อ  a < 0

ปฏิบัติการมูลฐาน[แก้]

  • การใช้งานเครื่องหมายกรณฑ์นั้นมีดังนี้:

\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \sqrt[n]{b} \qquad ; a \ge 0, b \ge 0
\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} \qquad ; a \ge 0, b > 0

\sqrt[n]{a^m} = \left (\sqrt[n]{a}\right) ^m = \left (a^{\frac{1}{n}}\right) ^m = a^{\frac{m}{n}},
 ; a > 0, b > 0
  • ขณะที่ a และ b ต่างเป็นจำนวนบวก.

และทุกๆ a เป็นจำนวนเชิงซ้อนที่ไม่ใช่ศูนย์ , จะทำให้มี b เป็นจำนวนเชิงซ้อนที่แตกต่างกัน n จำนวนซึ่ง bn = a, ดังนั้นการใช้ \sqrt[n]{a} จึงไม่อาจใช้อย่างกำกวมได้. รากที่ n ของ รากของเอกภพ จึงมีความสำคัญยิ่ง.

จำนวนสามาถเปลี่ยนไปอยู่ในรูปเอกซ์โปเนนเชียลได้, โดยให้รากที่ต้องการอยู่ในรูปของส่วนในเศษส่วนเลขยกกำลังได้ ดังนี้

a^m a^n = a^{m+n} \,
\left ({\frac{a}{b}}\right) ^m = \frac{a^m}{b^m}
 (a^m) ^n = a^{mn} \,

ตัวอย่าง:

\sqrt[3]{a^5}\sqrt[5]{a^4} = a^\frac{5}{3} a^\frac{4}{5} = a^\frac{25 + 12}{15} = a^\frac{37}{15}
\frac{\sqrt{a}}{\sqrt[4]{a}} = a^\frac{1}{2}a^\frac{-1}{4}= a^\frac{4 - 2}{8} = a^\frac{2}{8} = a^\frac{1}{4}
  • การที่จะนลตั踇เ�8�ขเข้ఐ伫รือออกเครื่องหมายกรณฑ์นั้นมีความสำคัญ โดยจะต้องยึดหลักดังต่อไปนี้.
\sqrt[3]{a^5} = \sqrt[3]{aaaaa} = \sqrt[3]{a^3a^2} = a\sqrt[3]{a^2}

เมื่อเข้าใจหลักการพื้นฐานในการนำตัวเลขเข้าและออกเครื่องหมายกรณฑ์แล้ว ก็จะสามารถจัดกลุ่มพหุนามได้ เช่น

\sqrt[3]{a^5}+\sqrt[3]{a^8}
=\sqrt[3]{a^3a^2}+\sqrt[3]{a^6 a^2}
=a\sqrt[3]{a^2}+a^2\sqrt[3]{a^2}
= ({a+a^2}) \sqrt[3]{a^2}

ดูเพิ่ม[แก้]

อ้างอิง[แก้]

  1. Bansal, R K (2006). New Approach to CBSE Mathematics IX. Laxmi Publications. p. 25. ISBN 9788131800133. 
  2. Silver, Howard A. (1986). Algebra and trigonometry. Englewood Cliffs, N.J.: Prentice-Hall. ISBN 0130212709. 
  3. Leonhard Euler (1755). Institutiones calculi differentialis (ใน Latin).