ผลคูณคาร์ทีเซียน

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
ผลคูณคาร์ทีเซียน \scriptstyle A \times B ของเซต \scriptstyle A=\{x,y,z\} และ \scriptstyle B=\{1,2,3\}

ในวิชาคณิตศาสตร์ ผลคูณคาร์ทีเซียนเป็นการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ซึ่งดำเนินการกับเซตหลายเซตได้ผลเป็นเซต (หรือ เซตผลคูณ) นั่นคือสำหรับเซต A และ B ผลคูณคาร์ทีเซียน A × B เป็นเซตของทุกคู่อันดับ (a, b) ที่ a ∈ A และ b ∈ B

กรณีที่ง่ายที่สุดของผลคูณคาร์ทีเซียนคือจัตุรัสคาร์ทีเซียน ซึ่งดำเนินการกับเซตสองเซตได้เซตหนึ่งเซต เราสามารถสร้างตารางได้โดยหาผลคูณคาร์ทีเซียนของ เซตของแถว กับ เซตของหลัก ถ้าหาผลคูณคาร์ทีเซียน แถว × หลัก เซลล์ของตารางจะประกอบด้วยคู่อันดับในรูปแบบ (ค่าของแถว, ค่าของหลัก)

ผลคูณคาร์ทีเซียนของเซต n เซตสามารถแสดงในรูปทูเพิล n มิติ โดยสมาชิกแต่ละตัวคือค่าของสมาชิกจากแต่ละเซตที่นำมาหาผลคูณคาร์ทีเซียน

ผลคูณคาร์ทีเซียนตั้งชื่อตามแนวคิดของ เรอเน เดการ์ต[1] ผู้ริเริ่มวิชาเรขาคณิตวิเคราะห์

ตัวอย่าง[แก้]

สำรับไพ่[แก้]

ตัวอย่างที่ทำให้เห็นภาพคือไพ่ป๊อก เซตเลขไพ่ {A, K, Q, J, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2} มีสมาชิก 13 ตัว และเซตหน้าไพ่ {♠, ♥, ♦, ♣} มีสมาชิก 4 ตัว ผลคูณคาร์ทีเซียนของเซตทั้งสองคือเซตคู่อันดับ 52 คู่ ซึ่งสัมพันธ์กับไพ่ทั้ง 52 ใบ

เลขไพ่ × หน้าไพ่ ทำให้เกิดเซต {(A, ♠), (A, ♥), (A, ♦), (A, ♣), (K, ♠), ..., (3, ♣), (2, ♠), (2, ♥), (2, ♦), (2, ♣)} หรือ

หน้าไพ่ × เลขไพ่ ทำให้เกิดเซต {(♠, A), (♠, K), (♠, Q), (♠, J), (♠, 10), ..., (♣, 6), (♣, 5), (♣, 4), (♣, 3), (♣, 2)}

ระบบพิกัดสองมิติ[แก้]

ตัวอย่างจากวิชาเรขาคณิตวิเคราะห์คือระบบพิกัดคาร์ทีเซียน ระบบพิกัดคาร์ทีเซียนเป็นผลลัพธ์จากการหาผลคูณคาร์ทีเซียนของเซตสองเซต X และ Y ที่หมายถึงจุดบนแกน x และแกน y ตามลำดับ ผลคูณคาร์ทีเซียนสามารถเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ X × Y ผลคูณนี้เป็นเซตของคู่อันดับทั้งหมดที่เป็นไปได้ แต่ละคู่อันดับมีสมาชิกอันดับที่หนึ่งเป็นสมาชิกของ X และสมาชิกอันดับที่สองเป็นสมาชิกของ Y (แต่ละคู่อันดับประกอบเป็นระนาบ x–y ทั้งระนาบ) ในทางกลับกัน ผลคูณคาร์ทีเซียนอาจเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ Y × X โดยสมาชิกของผลคูณนี้มีสมาชิกอันดับที่หนึ่งจากเซต Y และสมาชิกอันดับที่สองจากเซต X ผลคูณคาร์ทีเซียนจึงไม่มีสมบัติการสลับที่

X\times Y = \{\,(x,y)\mid x\in X \ \and \ y\in Y\,\} [2]
Y\times X = \{\,(y,x)\mid y\in Y \ \and \ x\in X\,\}
X\times Y \neq Y\times X

การประยุกต์ใช้ทั่วไปในทฤษฎีเซต[แก้]

นิยามของผลคูณคาร์ทีเซียนตามหลักการของทฤษฎีเซตเป็นผลของนิยามของคู่อันดับ นิยามของคู่อันดับที่ใช้โดยทั่วไป คือนิยามของ Kuratowski ดังนี้ (x, y) = \{\{x\},\{x, y\}\} ข้อสังเกตภายใต้นิยามนี้ X\times Y \subseteq \mathcal{P}(\mathcal{P}(X \cup Y)) โดย \mathcal{P} เป็น เพาเวอร์เซต เพราะฉะนั้น การมีอยู่ของผลคูณคาร์ทีเซียนของสองเซตใดๆ ใน ZFC เป็นผลจากสัจพจน์แห่งการจับคู่ ยูเนียน เพาเวอร์เซต และ การเจาะจง เพราะว่าฟังก์ชัน มักนิยามเป็นกรณีพิเศษของ ความสัมพันธ์ และความสัมพันธ์มักนิยามเป็นสับเซตของผลคูณคาร์ทีเซียน นิยามของผลคูณคาร์ทีเซียนของเซตสองเซตสำคัญมากกว่านิยามอื่น ๆ เป็นส่วนใหญ่

การคูณคาร์ทีเซียนไม่มีสมบัติการสลับที่และเปลี่ยนหมู่[แก้]

ให้ A B และ C เป็นเซต ผลคูณคาร์ทีเซียน  A \times B ไม่สามารถสลับที่ได้ นั่นคือ  A \times B \neq B \times A เพราะคู่อันดับถูกสลับอันดับ เว้นแต่เงื่อนไข [3]

เป็นจริงอย่างน้อย 1 ข้อ

ตัวอย่าง

A = \{1,2\} และ B = \{1,3\}
 A \times B = \{1,2\} \times \{1,3\}= \{ (1,1), (1,3), (2,1), (2,3) \}
B \times A = \{1,3\} \times \{1,2\} = \{(1,1), (1,2), (3,1), (3,2) \}
 A \times B \neq B \times A
A = B = \{1,2\}
 A \times B = B \times A = \{1,2\} \times \{1,2\}= \{ (1,1), (1,2), (2,1), (2,2) \}
 A = \{1,2\} และ B = \{ \}
 A \times B = \{1,2\} \times \{ \} = \{ \}
 B \times A = \{ \} \times \{1,2\} = \{ \}
 A \times B = B \times A

ผลคูณคาร์ทีเซียนโดยทั่วไปไม่มีสมบัติการเปลี่ยนหมู่ เว้นแต่เซตใดเซตหนึ่งเป็นเซตว่าง เพราะการเปลี่ยนหมู่เปลี่ยนลำดับการสร้างคู่อันดับ

ตัวอย่าง
A = \{a\} B = \{b\} และ C= \{c\}
(A \times B) \times C = ( \{a\}  \times  \{b\} )  \times  \{c\} =  \{(a,b)\}\times  \{c\} = \{((a,b),c)\}
 A \times (B \times C) = \{a\}  \times ( \{b\}  \times  \{c\} ) = \{a\} \times  \{(b,c)\} = \{(a,(b,c))\}
 (A \times B) \times C \neq A\times ( B \times C)

สมบัติเกี่ยวกับอินเตอร์เซกชันและยูเนียน[แก้]

ให้ A B C และ D เป็นเซต

การหาผลคูณคาร์ทีเซียนก่อนหาอินเตอร์เซกชัน ได้ผลลัพธ์เท่ากับการหาอินเตอร์เซกชันก่อนหาผลคูณคาร์ทีเซียน

(A \times C) \cap (B \times D) = (A \cap B) \times (C \cap D)[4]

แต่การหาผลคูณคาร์ทีเซียนก่อนหายูเนียน ได้ผลลัพธ์ไม่เท่ากับการหายูเนียนก่อนหาผลคูณคาร์ทีเซียน

(A \times C) \cup (B \times D) \neq (A \cup B) \times (C \cup D)
(A \times C) \cup (B \times D) \subseteq (A \cup B) \times (C \cup D)

มีกฎเกี่ยวกับการแจกแจงอื่น ๆ ดังนี้:[3]

A \times (B \cap C) = (A \times B) \cap (A \times C)
A \times (B \cup C) = (A \times B) \cup (A \times C)
A \times (B \setminus C) = (A \times B) \setminus (A \times C)
(A \times B)^c = (A^c \times B^c) \cup (A^c \times B) \cup (A \times B^c)[4]

สมบัติเกี่ยวกับเซตย่อยได้แก่:

ถ้า  A \subseteq B แล้ว  A \times C \subseteq B \times C
ถ้าทั้งAและB ไม่เป็นเซตว่าง แล้ว  ( A \times B \subseteq C \times D \iff A \subseteq C \and B \subseteq D )[5]

ภาวะเชิงการนับ[แก้]

ภาวะเชิงการนับของเซตคือจำนวนสมาชิกของเซต เช่น กำหนดเซตสองเซต A = \{m, n\} และ B = \{0, 1\} ทั้งเซต A และเซต B ต่างประกอบด้วยสมาชิกเซตละสองตัว ผลคูณคาร์ทีเซียนของสองเซตนี้ที่เขียนแทนด้วย A \times B เป็นเซตใหม่ที่มีสมาชิกดังนี้:

A \times B = \{(m,0), (m,1), (n,0), (n,1)\}

สมาชิกแต่ละตัวของ A จับคู่กับสมาชิกแต่ละตัวของ B แต่ละคู่เป็นสมาชิกตัวหนึ่งของเซตผลลัพธ์ จำนวนของค่าในแต่ละหลายสิ่งอันดับเท่ากับจำนวนเซตที่นำมาหาผลคูณคาร์ทีเซียน สำหรับกรณีตัวอย่าง ค่านี้เป็น 2 ภาวะเชิงการนับของเซตผลลัพธ์เท่ากับผลคูณของภาวะเชิงการนับของทุกเซตที่นำมาดำเนินการ นั่นคือ

|A \times B| = |A||B|

และสามารถแสดงโดยการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ว่า

|A_1 \times A_2 \times A_3 \times ... \times A_n| = |A_1||A_2||A_3|...|A_n|

ภาวะเชิงการนับของ A \times B เป็นอนันต์ถ้าเซต A หรือเซต B เซตใดเซตหนึ่งมีสมาชิกอนันต์และอีกเซตหนึ่งไม่ใช่เซตว่าง[6]

จัตุรัสคาร์ทีเซียนและกำลังคาร์ทีเซียน[แก้]

จัตุรัสคาร์ทีเซียน (หรือ ผลคูณคาร์ทีเซียนเชิงคู่) ของเซต X คือผลคูณคาร์ทีเซียน X2 = X × X ตัวอย่างคือระนาบ R2 = R × R เมื่อ R เป็นเซตของจำนวนจริง ซึ่งหมายถึงทุกจุด(x,y) ที่ x และ y เป็นจำนวนจริง (ดูหน้า ระบบพิกัดคาร์ทีเซียน)

อ้างอิง[แก้]

  1. cartesian (2014) ในพจนานุกรมออน์ไลน์ Merriam-Webster Online Dictionary เปิดเมื่อวันที่ 17 กุมภาพันธ์ 2014 จาก http://www.merriam-webster.com/dictionary/cartesian
  2. Warner, S: Modern Algebra, page 6. Dover Press, 1990.
  3. 3.0 3.1 Singh, S. (2009, August 27). Cartesian product. Retrieved from the Connexions Web site: http://cnx.org/content/m15207/1.5/
  4. 4.0 4.1 CartesianProduct on PlanetMath
  5. Cartesian Product of Subsets. (2011, February 15). ProofWiki. Retrieved 05:06, August 1, 2011 from http://www.proofwiki.org/w/index.php?title=Cartesian_Product_of_Subsets&oldid=45868
  6. Peter S. (1998). A Crash Course in the Mathematics Of Infinite Sets. St. John's Review, 44(2), 35–59. Retrieved August 1, 2011, from http://www.mathpath.org/concepts/infinity.htm