เซตกำลัง

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
สมาชิกของเซตกำลังของเซต {x, y, z} เรียงลำดับตามการมีสมาชิกในอีกเซตหนึ่งทั้งหมด

ตามหลักวิชาคณิตศาสตร์ เซตกำลัง หรือ เพาเวอร์เซต (อังกฤษ: power set) ของเซต S ใดๆ เขียนแสดงด้วยสัญลักษณ์ \mathcal{P}(S), P(S), ℙ(S), (S) หรือ 2S เป็นเซตของเซตย่อยทั้งหมดของ S รวมทั้งเซตว่าง และเซต S เอง ตามหลักทฤษฎีเซตเชิงสัจพจน์ (เช่นสัจพจน์ ZFC) สัจพจน์แห่งเซตกำลังรองรับการมีอยู่ของเซตกำลังสำหรับเซตใดๆ [1]

เซตย่อยใดๆ ของ\mathcal{P}(S) เรียกว่า ครอบครัวของเซต บน S

ตัวอย่าง[แก้]

ถ้า S เป็นเซต {x, y, z} แล้วเซตย่อยของ S ได้แก่:

  • {} (อาจเขียนแทนด้วย \varnothing เรียกเซตว่าง)
  • {x}
  • {y}
  • {z}
  • {x, y}
  • {x, z}
  • {y, z}
  • {x, y, z}

ดังนั้นเซตกำลังของ S คือ {{}, {x}, {y}, {z}, {x, y}, {x, z}, {y, z}, {x, y, z}} [2]

สมบัติ[แก้]

ถ้า S เป็นเซตจำกัดที่มีสมาชิก |S| = n ตัว แล้วจำนวนของเซตย่อยของ S คือ |\mathcal{P}(S)| = 2^n ทำให้เกิดสัญกรณ์ 2^S สามารถพิสูจน์ได้ดังนี้

เขียนเซตย่อยใดๆ ของ S ในรูปแบบ \{\omega_1, \omega_2, \ldots, \omega_n\} ซึ่ง \omega_i , 1 \le i \le n มีค่า 0 หรือ  1 ถ้า  \omega_i = 1 สมาชิกตัวที่ i ของ S อยู่ในเซตย่อย มิฉะนั้นสมาชิกตัวที่iไม่อยู่ในเซตย่อย ดังนั้นจำนวนของเซตย่อยที่แตกต่างกันทั้งหมดที่สามารถสร้างโดยวิธีนี้คือ 2^n

การอ้างเหตุผลแนวทแยงของคันทอร์ แสดงว่าเซตกำลังของเซต (ทั้งเซตจำกัดและเซตอนันต์) มี ภาวะเชิงการนับ มากกว่าเซตนั้นๆ เสมอ (กล่าวคือเซตกำลังของเซตใดๆ ต้องใหญ่กว่าเซตนั้นๆ) โดยเฉพาะอย่างยิ่งทฤษฎีบทของคันทอร์แสดงว่าเซตกำลังของเซตอนันต์นับได้เป็นเซตอนันต์นับไม่ได้ ตัวอย่าง เช่น เซตกำลังของเซตของจำนวนธรรมชาติมีความสัมพันธ์หนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงกับเซตของจำนวนจริง (ดูหน้า cardinality of the continuum)

เซตกำลังของเซต S และการดำเนินการหายูเนียน อินเตอร์เซกชัน และ ส่วนเติมเต็ม สามารถมองเป็นตัวอย่างต้นแบบของพีชคณิตแบบบูล ที่จริงแล้วยังสามารถแสดงว่าพีชคณิตแบบบูลขนาดจำกัดใดๆ เป็นสมสัณฐานกับพีชคณิตแบบบูลของเซตกำลังของเซตจำกัดบางเซต สำหรับพีชคณิตแบบบูลขนาดอนันต์ ข้อความนี้ไม่เป็นจริง แต่พีชคณิตแบบบูลขนาดอนันต์ทุกโครงสร้างสามารถแทนด้วยโครงสร้างพีชคณิตย่อย ของเซตกำลังของพีชคณิตแบบบูล (ดูหน้า Stone's representation theorem)

เซตกำลังของเซต S ก่อให้เกิด อาบีเลียนกรุป เมื่อพิจารณาด้วยการดำเนินการหาผลต่างสมมาตร (โดยมีเซตว่างเป็นสมาชิกเอกลักษณ์และแต่ละเซตเป็นตัวผกผันกับเซตนั้นๆ) เซตกำลังของเซต S ยังก่อให้เกิดโมนอยด์สลับที่ เมื่อพิจารณาด้วยการดำเนินการหาอินเตอร์เซกชัน การพิสูจน์กฎการแจกแจงสามารถแสดงว่าเซตกำลังกับการดำเนินการทั้งสองนี้สร้างริงแบบบูล

แสดงเซตย่อยในรูปฟังก์ชัน[แก้]

ในวิชาทฤษฎีเซต XY เป็นเซตของฟังก์ชันทั้งหมดจาก Y ไป X เพราะว่า "2" อาจนิยามเป็น {0,1} (ดูหน้า จำนวนธรรมชาติ) ดังนั้น 2S (นั่นคือ {0,1}S) เป็นเซตของฟังก์ชันทั้งหมดจาก S ไปยัง {0,1} เมื่อจำแนกฟังก์ชันตัวใดตัวหนึ่งใน 2S กับบุพภาพที่สอดคล้องกันของฟังก์ชันนั้น จะเห็นว่ามีความสัมพันธ์หนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงระหว่าง 2S กับ \mathcal{P}(S) โดยแต่ละฟังก์ชันเป็นฟังก์ชันบ่งชี้ของเซตย่อยที่เป็นสมาชิกของ\mathcal{P}(S) กับสิ่งที่ฟังก์ชันบ่งชี้บ่งชี้ ฉะนั้น 2S และ \mathcal{P}(S) ถือว่าเท่ากันทุกประการเชิงทฤษฎีเซตได้ (ดังนั้นจึงมีมูลเหตุสำหรับการเขียนแทนเซตกำลังด้วย 2S สองประการ ได้แก่ การเขียนสับเซตแทนด้วยฟังก์ชันเป็นกรณีพิเศษของสัญกรณ์ XY และสมบัติของเซตกำลังข้างต้นว่า |2S| = 2|S|)

สัญกรณ์สามารถประยุกต์ใช้กับตัวอย่างข้างต้นที่ S = \{x, y, z\} เพื่อให้เห็นสมสัณฐานกับจำนวนฐานสองตั้งแต่ 0 จนถึง 2n−1 โดย n เป็นจำนวนสมาชิกของเซต 1 ในตำแหน่งที่สอดคล้องกันกับตำแหน่งสมาชิกที่ปรากฏใน S บ่งชี้ถึงการมีสมาชิกตัวนั้นๆ ดังนั้น {x, y} = 110

สำหรับเซตกำลังทั้งหมดของ S จะได้

  • { } = 000 (ฐานสอง) = 0 (ฐานสิบ)
  • {x} = 100 = 4
  • {y} = 010 = 2
  • {z} = 001 = 1
  • {x, y} = 110 = 6
  • {x, z} = 101 = 5
  • {y, z} = 011 = 3
  • {x, y, z} = 111 = 7

ความสัมพันธ์กับทฤษฎีบททวินาม[แก้]

เซตกำลังมีความสัมพันธ์กับทฤษฎีบททวินาม จำนวนของเซตที่มีสมาชิก k ตัวในเซตกำลังของเซตที่มีสมาชิก n ตัวจะเท่ากับการจัดหมู่ C(n,k) เรียกอีกชื่อว่าสัมประสิทธิ์ทวินาม

ตัวอย่าง เซตกำลังของเซตขนาด 3 มี:

  • เซตขนาด 0 C(3, 0) = 1 เซต
  • เซตขนาด 1 C(3, 1) = 3 เซต
  • เซตขนาด 2 C(3, 2) = 3 เซต
  • เซตขนาด 3 C(3, 3) = 1 เซต

อ้างอิง[แก้]

  1. Devlin (1979) หน้า 50
  2. Puntambekar (2007), หน้า 1-2

รายชื่อหนังสืออ้างอิง[แก้]