จำนวนเชิงซ้อน

จำนวนเชิงซ้อน (อังกฤษ : complex number) ในทางคณิตศาสตร์ คือ เซตที่ต่อเติมจากเซตของจำนวนจริงโดยเพิ่มจำนวน $i$ ซึ่งทำให้สมการ $i^2+1=0$ เป็นจริง และหลังจากนั้นเพิ่มสมาชิกตัวอื่นๆ เข้าไปจนกระทั่งเซตที่ได้ใหม่มีสมบัติการปิดภายใต้การบวกและการคูณ จำนวนเชิงซ้อน $z$ ทุกตัวสามารถเขียนอยู่ในรูป $x + iy$ โดยที่ $x$ และ $y$ เป็นจำนวนจริง โดยเราเรียก $x$ และ $y$ ว่าส่วนจริง (real part) และส่วนจินตภาพ (imaginary part) ของ $z$ ตามลำดับ

เซตของจำนวนเชิงซ้อนทุกตัวมักถูกแทนด้วยสัญลักษณ์ $\mathbb{C}$ จากนิยามข้างต้นเราได้ว่าเซตของจำนวนจริงเป็นสับเซตของเซตของจำนวนเชิงซ้อน ดังนั้นจำนวนจริงทุกตัวเป็นจำนวนเชิงซ้อน เราสามารถบวก ลบ คูณ และหารสมาชิกสองตัวใดๆ ของเซตของจำนวนเชิงซ้อนได้ (เว้นแต่ในกรณีที่ตัวหารคือศูนย์) และผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นจำนวนเชิงซ้อนเสมอ ดังนั้นในทางคณิตศาสตร์เราจึงกล่าวว่าเซตของจำนวนเชิงซ้อนเป็นฟีลด์ นอกจากนี้เซตของจำนวนเชิงซ้อนยังมีสมบัติการปิดทางพีชคณิต (algebraically closed) กล่าวคือ พหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเชิงซ้อนจะมีราก (พหุนาม)เป็นจำนวนเชิงซ้อนด้วย สมบัตินี้เป็นที่รู้จักในชื่อทฤษฎีบทมูลฐานของพีชคณิต

นอกจากนี้ ในทางคณิตศาสตร์แล้วคำว่า "เชิงซ้อน" ถูกใช้เป็นคำคุณศัพท์ที่มีความหมายว่าฟีลด์ของตัวเลขที่เราสนใจคือฟีลด์ของจำนวนเชิงซ้อน ยกตัวอย่างเช่น การวิเคราะห์เชิงซ้อน, พหุนามเชิงซ้อน, แมทริกซ์เชิงซ้อน, และพีชคณิตลีเชิงซ้อน เป็นต้น

นิยาม

ฟีลด์ของจำนวนเชิงซ้อน

ฟีลด์ของจำนวนเชิงซ้อน $\mathbb{C}$ ประกอบด้วยเซตของคู่ลำดับ $(a,b)$ ทั้งหมดโดยที่ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนจริง และปฏิบัติการสองตัวคือ $+$ (การบวก) และ $\cdot$ (การคูณ) โดยปฏิบัติการทั้งมีนิยามดังต่อไปนี้

ให้ $(a,b)$ และ $(c,d)$ เป็นจำนวนเชิงซ้อนใดๆ

$(a,b)+(c,d) = (a+c, b+d) \,$

$(a,b)\cdot(c,d) = (ac-bd, ad+bc) \,$

เมื่อการบวก การลบ และการคูณภายในคู่ลำดับคือการบวก การลบ และการคูณจำนวนจริง

เซตของจำนวนเชิงซ้อนและปฏิบัติการทั้งสองมีสมบัติเป็นฟีลด์ กล่าวคือ

• การบวกและการคูณมีสมบัติการปิด การสลับที่ การเปลี่ยนกลุ่ม และการแจกแจง
• มีเอกลักษณ์การบวกคือ $(0,0)$
• มีเอกลักษณ์การคูณคือ $(1,0)$
• อินเวอร์สการบวกของ $z=(a,b)$ (เขียนแทนด้วย $-z$) คือ (-a,-b)
• ถ้าหาก $z = (a,b) \neq (0,0)$ อินเวอร์สการคูณของ $z$ (เขียนแทนด้วย $z^{-1}$) คือ $\left( \frac{a}{a^2 + b^2}, \frac{-b}{a^2 + b^2} \right)$

จำนวนเชิงซ้อนในฐานะปริภูมิเวกเตอร์และฟีลด์ต่อเติม

อนึ่ง เราอาจมองเซตของจำนวนเชิงซ้อนเป็นปริภูมิเวกเตอร์สองมิติบนเซตของจำนวนจริง เราสามารถใช้การบวกจำนวนเชิงซ้อนแทนการบวกเวกเตอร์ และการคูณด้วยสเกลาร์สามารถนิยามได้ดังต่อไปนี้

$c(a,b) = (ca,cb) = (a,b)c \,$ เมื่อ $c$ เป็นจำนวนจริงและ $(a,b)$ เป็นจำนวนเชิงซ้อนใดๆ

ด้วยเหตุนี้เราได้ว่าฐานหลักหนึ่งของเซตของจำนวนเชิงซ้อนประกอบด้วยเวกเตอร์ $(1,0)$ และ $(0,1)$ กล่าวคือเราสามารถเขียนจำนวนเชิงซ้อนทุกตัวในรูปของผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์ทั้งสอง:

$(a,b) = a(1,0) + b(0,1) \,$

ตามความนิยม เรามักแปลความหมายของ $(a,0) = a(1,0)$ ว่าเป็นจำนวนจริง $a$ (ด้วยเหตุนี้เราจึงกล่าวว่าเซตจำนวนจริงเป็นสับเซตของเซตจำนวนเชิงซ้อน) และมักใช้สัญลักษณ์ $i$ แทน $(0,1)$ จำนวนเชิงซ้อน $(a,b)$ จึงเขียนได้อีกแบบหนึ่งว่า $a+bi$ ซึ่งเป็นที่นิยมใช้มากกว่าแบบคู่ลำดับ

จากนิยามการคูณจำนวนเชิงซ้อนข้างต้น เราได้ว่า $i^2 = (-1,0) = -1$ นั่นคือ $i$ เป็นคำตอบของสมการ $x^2 + 1 = 0$ ซึ่งไม่สามารถหาคำตอบได้ในเซตของจำนวนจริง ดังนั้น เซตของจำนวนเชิงซ้อนจึงเป็นฟีลด์ต่อเติม (field extension) ของเซตของจำนวนจริงโดยการเพิ่มรากของพหุนาม $x^2 +1$ อีกนัยหนึ่ง เซตของจำนวนเชิงซ้อนคือริงผลหาร (quotient ring) ของริงพหุนาม $\mathbb{R}[x]$ กับไอดีล $(x^2+1)$ เขียนเป็นประโยคสัญลักษณ์ได้ว่า

$\mathbb{C} = \mathbb{R}[x]/(x^2+1)$

สัญลักษณ์และคำศัพท์ที่เกี่ยวข้อง

ส่วนจริงและส่วนจินตภาพ

ถ้า $z = a+bi \,$ เราเรียก $a$ ว่า ส่วนจริง ของ $z$ เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ $\Re(z)$ และเราเรียก $b$ ว่า ส่วนจินตภาพ ของ $z$ เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ $\Im(z)$ เราเรียกจำนวนเชิงซ้อนที่มีส่วนจริงเป็น 0 และส่วนจินตภาพไม่เป็น 0 ว่าจำนวนจินตภาพ (imaginary number)

สังยุคเชิงซ้อน

ถ้า $z=a+bi\,$ เป็นจำนวนเชิงซ้อน สังยุคของ $z$ คือ $a-bi\,$ เราเขียนแทนสังยุคของ $z$ ด้วย $\bar{z}$ สังยุคของจำนวนเชิงซ้อนมีสมบัติสำคัญๆ ดังต่อไปนี้

1. $\overline{z_{1}+z_{2}}=\bar{z}_{1}+\bar{z}_{2}$
2. $\overline{z_{1}z_{2}}=\bar{z}_{1}\bar{z}_{2}$
3. $z + \bar{z} = 2\Re(z)$
4. $z - \bar{z} = 2\Im(z)$

เมื่อ $z$, $z_1$, $z_2$ เป็นจำนวนเชิงซ้อนใดๆ

ขนาดของจำนวนเชิงซ้อน

ขนาดของจำนวนเชิงซ้อน $z=a+bi \,$ เขียนแทนด้วย $|z|$ คือจำนวนจริงบวก $\sqrt{a^2 + b^2}$ เราอาจแปลความหมายของขนาดของจำนวนเชิงซ้อนได้ว่าเป็นความยาวของเส้นตรงที่ลากจากจุด (0,0) ไปยังจุด (a,b) บนระนาบคาร์ทีเชียน ขนาดของจำนวนเชิงซ้อนมีสมบัติสำคัญๆ ดังต่อไปนี้

1. $\left|z\right\vert=\left|\bar z\right\vert$
2. $\left|z\right\vert^2=z \bar{z}$
3. $\left|z_1z_2\right\vert=\left|z_1\right\vert\left|z_2\right\vert$
4. $\left|z_1+z_2\right\vert\le\;\left|z_1\right\vert+\left|z_2\right\vert$ (อสมการสามเหลี่ยม)
5. $\left|z_1-z_2\right\vert\ge\;\big|\left|z_1\right\vert-\left|z_2\right\vert\big|$
6. $\left|z\right\vert=0$ ก็ต่อเมื่อ $z=0\,$

เมื่อ $z$, $z_1$, และ $z_2$ เป็นจำนวนเชิงซ้อนใดๆ จากสมบัติข้อที่สองและการแทนจำนวนจริง $a$ ด้วยจำนวนเชิงซ้อน $(a,0)$ ทำให้เราได้ว่าถ้า $z \neq 0$

$z^{-1} = \frac{\bar{z}}{|z|^2}$

ระนาบเชิงซ้อน

เรายังสามารถมองจำนวนเชิงซ้อนเป็นจุดหรือเวกเตอร์บนระนาบคาร์ทีเซียนสองมิติ และมักจะเรียกระนาบนี้ว่าระนาบเชิงซ้อน (complex plane) หรือผังของอาร์กานด์ ตามชื่อของ ชอง-โรแบร์ต อาร์กานด์ ผู้ค้นพบ

พิกัดคาร์ทีเซียนของจำนวนเชิงซ้อน $z = a+bi \,$ คือ $(a,b)$ ในขณะที่พิกัดเชิงขั้วคิอ $(r,\varphi) \,$ เมื่อ $r = |z|$ และ $\varphi \,$ เป็นมุมที่เวกเตอร์ $(a,b)$ ทำกับแกน $x$ ในหน่วยเรเดียน เราเรียก $\varphi \,$ ว่า อาร์กิวเมนต์ของ $z$ และเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ $\arg(z)$ สังเกตว่าจำนวนเชิงซ้อนที่มีอาร์กิวเมนต์ต่างกันเท่ากับผลคูณของจำนวนเต็มกับ $2\pi$ จะมีค่าเท่ากัน

สูตรของออยเลอร์ช่วยแสดงความสัมพันธ์ระหว่างพิกัดคาร์ทีเซียนและพิกัดเชิงขั้ว อีกทั้งยังช่วยให้เราสามารถเขียนจำนวนเชิงซ้อนได้อีกรูปแบบหนึ่งดังต่อไปนี้

$z = a+bi = r(\cos \varphi + i \sin \varphi) = re^{i\varphi}\,$

และเรายังสามารถพิสูจน์ได้ว่า

$r_1 e^{i\varphi_1} \cdot r_2 e^{i\varphi_2} = r_1r_2e^{i(\varphi_1 + \varphi_2)} = r_1r_2(\cos (\varphi_1+\varphi_2) + i\sin(\varphi_1+\varphi_2))$

และ

$\frac{r_1 e^{i\varphi_1}}{r_2 e^{i\phi_2}} = \frac{r_1}{r_2}e^{i(\varphi_1 - \varphi_2)} = \frac{r_1}{r_2}(\cos (\varphi_1-\varphi_2) + i\sin(\varphi_1-\varphi_2))$

เมื่อ $r_2 \neq 0$ ด้วยเหตุนี้เราจึงสามารถมองการคูณจำนวนเชิงซ้อนตัวหนึ่งๆ ว่าเป็นการหมุนและการยืด (หรือหด) เวกเตอร์ด้วยอาร์กิวเมนต์และขนาดของจำนวนเชิงซ้อนตัวนั้นตามลำดับ

การคูณด้วย $i = e^{i\pi/2}$ จึงสมมูลกับการหมุนเวกเตอร์ 90 องศาทวนเข็มนาฬิกา สมการ ฉะนั้นเราสามารถเข้าใจความหมายของสมการ $i^2 = -1$ ได้อีกนัยหนึ่งว่า "การหมุน 90 องศาสองครั้งมีค่าเท่ากับการหมุน 180 องศา" หรือ "เมื่อหมุนเวกเตอร์ $(0,1)$ ไป 90 องศา ผลลัพธ์ที่ได้คือเวกเตอร์ (-1,0)"

สมบัติต่างๆ

การเรียงลำดับ

$\mathbb{C}$ ไม่เป็นฟีลด์อันดับ กล่าวคือเราไม่สามารถเรียงลำดับจำนวนเชิงซ้อนโดยที่การเรียงลำดับนั้นสอดคล้องกับการบวกและการคูณจำนวนเชิงซ้อนได้เลย

ปริภูมิเวกเตอร์

อย่างที่ได้กล่าวไว้ข้างต้น $\mathbb{C}$ เป็นปริภูมิเวกเตอร์สองมิติบน $\mathbb{R}$ เราได้ว่าการแปลงเชิงเส้นบน $\mathbb{R}$ ($\mathbb{R}$-linear map) ทุกตัวจะสามารถเขียนได้ในรูป

$f(z) = az + b\bar{z}$

เมื่อ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนเชิงซ้อนใดๆ เราได้ว่าฟังก์ชัน $f_1(z) = a(z)$ เป็นการหมุนและการยืดเวกเตอร์ ส่วนฟังก์ชัน $f_2(z) = b\bar{z}$ นั้นประกอบด้วยการหมุน การพลิก และการยืดเวกเตอร์ในฟังก์ชันเดียว สังเกตว่า $f_1$ เท่านั้นที่เป็นการแปลงเชิงเส้นบน $\mathbb{C}$ และเป็นฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิก เราสามารถหาอนุพันธ์ของ $f_2$ ได้ในเซตของจำนวนจริง แต่อนุพันธ์นั้นไม่สอดคล้องกับสมการโคชี-รีมันน์

สมบัติเชิงพีชคณิต

$\mathbb{C}$ (หรือฟีลด์อื่นที่สมสัณฐานกับ $C$) จะมีลักษณะจำเพาะสามประการ ดังนี้

• มีแคแรกเทอริสติก 0
• มีดีกรีอดิศัยเมื่อเทียบกับฟีลด์เฉพาะใดๆ เท่ากับขนาดของเซตจำนวนจริง
• มีสมบัติการปิดเชิงพีชคณิต (ดู ทฤษฎีบทมูลฐานของพีชคณิต)

ด้วยเหตุนี้ $\mathbb{C}$ จึงมีฟีลด์ย่อยแท้ที่สมสัณฐานกับตัวมันเองอยู่เป็นจำนวนมาก นอกจากนี้กาลอยด์กรุปของ $\mathbb{C}$ บนเชตของจำนวนตรรกยะมีขนาดเท่ากับเซตกำลังของเซตของจำนวนจริง