กฎยกกำลัง

ในแคลคูลัส สูตรหรือกฎยกกำลัง (อังกฤษ: power rule) ใช้เพื่อหาอนุพันธ์ฟังก์ชันในรูป $f(x)=x^{r}$ เมื่อใดก็ตามที่ $r$ เป็นจำนวนจริง เนื่องจากการหาอนุพันธ์เป็นการดำเนินการเชิงเส้นบนปริภูมิของฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้ พหุนามจึงสามารถหาอนุพันธ์ได้โดยใช้กฎนี้ กฎยกกำลังรองรับอนุกรมเทย์เลอร์เนื่องจากเชื่อมโยงอนุกรมกำลังกับอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

ประพจน์ของกฎยกกำลัง

ให้ $f$ เป็นฟังก์ชันที่สอดคล้องกับ $f(x)=x^{r}$ สำหรับทุก $x$ ที่ $r\in \mathbb {R}$ แล้ว

$$f'(x)=rx^{r-1}\,$$ กฎยกกำลังของการปริพันธ์กล่าวว่า $$\int \!x^{r}\,dx={\frac {x^{r+1}}{r+1}}+C$$ สำหรับจำนวนจริงใด ๆ $r\neq -1$ กฎดังกล่าวสามารถหาได้โดยการย้อนกลับกฎยกกำลัฃสำหรับอนุพันธ์ ในสมการนี้ C เป็นค่าคงตัวใด ๆ

บทพิสูจน์

พิสูจน์โดยใช้การหาอนุพันธ์โดยปริยาย

เป็นวิธีวางนัยทั่วไปตรง ๆ ของกฎยกกำลังไปยังเลขยกกำลังตรรกยะ ใช้การหาอนุพันธ์โดยปริยาย

ให้ $y=x^{r}=x^{p/q}$ เมื่อ $p,q\in \mathbb {Z}$ ทำให้ $r\in \mathbb {Q}$

แล้ว

$y^{q}=x^{p}$

อนุพันธ์ทั้งสองข้างของสมการในส่วน $x$

$qy^{q-1}\cdot {\frac {dy}{dx}}=px^{p-1}$

แก้หา ${\frac {dy}{dx}}$

${\frac {dy}{dx}}={\frac {px^{p-1}}{qy^{q-1}}}$

เนื่องาก $y=x^{p/q}$

${\frac {d}{dx}}x^{p/q}={\frac {px^{p-1}}{qx^{p-p/q}}}$

ใช้สมบัติของเลขยกกำลัง

${\frac {d}{dx}}x^{p/q}={\frac {p}{q}}x^{p-1}x^{-p+p/q}={\frac {p}{q}}x^{p/q-1}$

ให่้ $r={\frac {p}{q}}$ สามารถสรุปได้ว่า ${\frac {d}{dx}}x^{r}=rx^{r-1}$ เมื่อ $r$ เป็นจำนวนตรรกยะ

การนำไปใช้กับพหุนาม

พหุนามอาจเป็นฟังก์ชันที่ง่ายที่สุดในการทำแคลคูลัส อนุพันธ์ และปริพันธ์เป็นไปตามกฎต่อไปนี้

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{k}=\sum _{k=0}^{n}ka_{k}x^{k-1}$

$\int \sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{k}\;\mathrm {d} x=\sum _{k=0}^{n}{\frac {a_{k}x^{k+1}}{k+1}}+c.$

ดังนั้นอนุพันธ์ของ $x^{100}$ ก็คือ $100x^{99}$ และปริพันธ์ของ $x^{100}$ คือ ${\frac {x^{101}}{101}}+c$

บทพิสูจน์

เนื่องจากการหาอนุพันธ์เป็น การแปลงเชิงเส้น จะได้

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(\sum _{r=0}^{n}a_{r}x^{r}\right)=\sum _{r=0}^{n}{\frac {\mathrm {d} \left(a_{r}x^{r}\right)}{\mathrm {d} x}}=\sum _{r=0}^{n}a_{r}{\frac {\mathrm {d} \left(x^{r}\right)}{\mathrm {d} x}}.$

ดังนั้นจะต้องหา ${\frac {\mathrm {d} \left(x^{r}\right)}{\mathrm {d} x}}$ สำหรับ จำนวนธรรมชาติ $r$ ใดๆ ซึ่งมีการพิสูจน์โดยอุปนัย โดยใช้ กฎผลคูณ ซึ่งขึ้นอยู่กับกรณีที่ $r=1$ เท่านั้น

นัยทั่วไป

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(ax^{k}\right)=akx^{k-1}$

เป็นจริงทุกค่า k ที่ x^k มีความหมาย หรือ ทุกค่า k ที่เป็นจำนวนตรรกยะที่ x^k มีการนิยามไว้

นัยทั่วไปนี้ก็เป็นจริงสำหรับการหาปริพันธ์ของพหุนามเช่นเดียวกัน

ถ้ามีพหุนามที่ตัวคูณไม่ใช่จำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อน (เช่นอาจเป็น จำนวนเต็ม หรือตัวเลขมอดุโลของจำนวนเฉพาะ) ก็สามารถนิยามอนุพันธ์จากความสัมพันธ์ข้างบน

อ้างอิง

• Larson, Ron; Hostetler, Robert P.; and Edwards, Bruce H. (2003). Calculus of a Single Variable: Early Transcendental Functions (3rd edition). Houghton Mifflin Company. ISBN 0-618-22307-X.