ข้ามไปเนื้อหา

กฎยกกำลัง

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

ในแคลคูลัส สูตรหรือกฎยกกำลัง (อังกฤษ: power rule) ใช้เพื่อหาอนุพันธ์ฟังก์ชันในรูป เมื่อใดก็ตามที่ เป็นจำนวนจริง เนื่องจากการหาอนุพันธ์เป็นการดำเนินการเชิงเส้นบนปริภูมิของฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้ พหุนามจึงสามารถหาอนุพันธ์ได้โดยใช้กฎนี้ กฎยกกำลังรองรับอนุกรมเทย์เลอร์เนื่องจากเชื่อมโยงอนุกรมกำลังกับอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

ประพจน์ของกฎยกกำลัง

[แก้]

ให้ เป็นฟังก์ชันที่สอดคล้องกับ สำหรับทุก ที่ [a] แล้ว

กฎยกกำลังของการปริพันธ์กล่าวว่า สำหรับจำนวนจริงใด ๆ กฎดังกล่าวสามารถหาได้โดยการย้อนกลับกฎยกกำลัฃสำหรับอนุพันธ์ ในสมการนี้ C เป็นค่าคงตัวใด ๆ

บทพิสูจน์

[แก้]

พิสูจน์โดยใช้การหาอนุพันธ์โดยปริยาย

[แก้]

เป็นวิธีวางนัยทั่วไปตรง ๆ ของกฎยกกำลังไปยังเลขยกกำลังตรรกยะ ใช้การหาอนุพันธ์โดยปริยาย

ให้ เมื่อ ทำให้

แล้ว

อนุพันธ์ทั้งสองข้างของสมการในส่วน

แก้หา

เนื่องาก

ใช้สมบัติของเลขยกกำลัง

ให่้ สามารถสรุปได้ว่า เมื่อ เป็นจำนวนตรรกยะ

การนำไปใช้กับพหุนาม

[แก้]

พหุนามอาจเป็นฟังก์ชันที่ง่ายที่สุดในการทำแคลคูลัส อนุพันธ์ และปริพันธ์เป็นไปตามกฎต่อไปนี้

ดังนั้นอนุพันธ์ของ ก็คือ และปริพันธ์ของ คือ

บทพิสูจน์

[แก้]

เนื่องจากการหาอนุพันธ์เป็น การแปลงเชิงเส้น จะได้

ดังนั้นจะต้องหา สำหรับ จำนวนธรรมชาติ ใดๆ ซึ่งมีการพิสูจน์โดยอุปนัย โดยใช้ กฎผลคูณ ซึ่งขึ้นอยู่กับกรณีที่ เท่านั้น

นัยทั่วไป

[แก้]

เป็นจริงทุกค่า k ที่ xk มีความหมาย หรือ ทุกค่า k ที่เป็นจำนวนตรรกยะที่ xk มีการนิยามไว้

นัยทั่วไปนี้ก็เป็นจริงสำหรับการหาปริพันธ์ของพหุนามเช่นเดียวกัน

ถ้ามีพหุนามที่ตัวคูณไม่ใช่จำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อน (เช่นอาจเป็น จำนวนเต็ม หรือตัวเลขมอดุโลของจำนวนเฉพาะ) ก็สามารถนิยามอนุพันธ์จากความสัมพันธ์ข้างบน

หมายเหตุ

[แก้]
  1. ถ้า เป็นจำนวนตรรกยะซึ่งมีเศษส่วนอย่างต่ำที่ตัวส่วนเป็นจำนวนคี่ แล้วโดเมนของ ได้รับการเข้าใจว่าเป็น . ไม่เช่นนั้นโดเมนจะเป็น .

อ้างอิง

[แก้]
  • Larson, Ron; Hostetler, Robert P.; and Edwards, Bruce H. (2003). Calculus of a Single Variable: Early Transcendental Functions (3rd edition). Houghton Mifflin Company. ISBN 0-618-22307-X.