ข้ามไปเนื้อหา

กฎการหาอนุพันธ์

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

บทความนี้เป็นการสรุปสูตรและกฎการหาอนุพันธ์ หรือกฎสำหรับการคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันในแคลคูลัส

กฎการหาอนุพันธ์เบื้องต้น

[แก้]

ฟังก์ชันทั้งหมดเป็นฟังก์ชันของจำนวนจริง (R) ที่ให้ค่าจริง เว้นแต่จะระบุไว้เป็นอย่างอื่น แม้ว่าโดยทั่วไปแล้ว สูตรด้านล่างนี้จะใช้ได้ทุกเมื่อที่มีการนิยามไว้อย่างรัดกุม[1][2] รวมถึงกรณีของจำนวนเชิงซ้อน (C) ด้วย[3]

กฎพจน์ค่าคงที่

[แก้]

สำหรับฟังก์ชั่น และ และจำนวนจริง และ ใด ๆ อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ในส่วน คือ

การพิสูจน์

[แก้]

บทพิสูจน์แสดงอนุพันธ์ของฟังก์ชันคงที่ใดๆ เป็น 0

คำอธิบายททางเรขาคณิต

[แก้]

อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุด ๆ หนึ่งคือความชันของเส้นสัมผัสของเส้นโค้งที่จุดนั้น ความชันของฟังก์ชันคงที่เป็นศูนย์ เนื่องจากเส้นสัมผัสของฟังก์ชันคงที่เป็นแนวนอนและมุมเป็นศูนย์

กล่าวอีกนัยหนึ่งคือค่าของฟังก์ชันคงที่ y จะไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อค่าของ x เพิ่มขึ้นหรือลดลง

ในแต่ละจุดอนุพันธ์คือความชันของเส้นตรงที่สัมผัสกับเส้นโค้งที่จุดนั้น หมายเหตุ อนุพันธ์ที่จุด A เป็นค่าบวก โดยแสดงเป็นเส้นสีเขียวประ–ค่าลบเป็นเส้นสีแดงประ และ เป็นศูนย์ เมื่อเป็นเส้นสีดำทึบ

การหาอนุพันธ์เป็นเชิงเส้น

[แก้]

สำหรับฟังก์ชัน และ และจำนวนจริง และ ใด ๆ อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ที่ส่วน คือ

สัญกรณ์ของไลบ์นิซเขียนในรูป

กรณีพิเศษต่าง ๆ ได้แก่

  • กฎตัวประกอบค่าคงที่
  • กฎผลรวม
  • กฎผลต่าง

กฎผลคูณ

[แก้]

สำหรับฟังก์ชั่น และ ใด ๆ อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ในส่วน คือ

สัญกรณ์ของไลบ์นิซเขียนในรูป

  ไปที่แนวคิดของการจับคู่ และอนุพันธ์ที่เป็นการจับคู่ ซึ่งเขียนได้กระชับยิ่งขึ้นได้ดังนี้

กฎลูกโซ่

[แก้]

อนุพันธ์ของฟังก์ชัน คือ

สัญกรณ์ของไลบ์นิซเขียนในรูป

มักจะย่อเป็น

สำหรับค่า ใดๆ เมื่อ , ถ้า คือฟังก์ชันคงที่ โดยที่ แล้ว [4]

กฎฟังก์ชันผกผัน

[แก้]

ถ้าฟังก์ชัน f มีฟังก์ชันผกผัน g ซึ่งหมายความว่า และ แล้ว

เมื่อ จะเป็นกรณีพิเศษถ้า แล้ว

สัญกรณ์ของไลบ์นิซเขียนในรูป

กฎยกกำลัง พหุนาม ผลหาร และส่วนกลับ

[แก้]

กฎพหุนามหรือกฎยกกำลังเบื้องต้น

[แก้]

ถ้า สำหรับจำนวนจริงใดๆ แล้ว

การรวมกฎยกกำลังเข้ากับกฎผลรวมและกฎการคูณด้วยค่าคงที่ ทำให้สามารถคำนวณอนุพันธ์ของพหุนามใด ๆ ได้

กฎส่วนกลับ

[แก้]

อนุพันธ์ของ สำหรับฟังก์ชัน f (ไม่เป็นศูนย์ที่จุดใด) ใด ๆ คือ

โดยที่ f ไม่เป็นศูนย์

สัญกรณ์ของไลบ์นิซเขียนในรูป

กฎส่วนกลับสามารถได้มาจากกฎผลหาร หรือจากการรวมกันของกฎยกกำลังและกฎลูกโซ่

กฎผลหาร

[แก้]

ถ้า f และ g เป็นฟังก์ชัน แล้ว

โดยที่ g ไม่เป็นศูนย์

ซึ่งสามารถได้มาจากกฎผลคูณและกฎส่วนกลับ

กฎยกกำลังวางนัยทั่วไป

[แก้]

ที่ซึ่งเมื่อทั้งสองฝั่งได้นิยามไว้อย่างรัดกุม

กรณีพิเศษ

  • ถ้า แล้ว เมื่อ a เป็นจำนวนจริงที่ไม่ใช่ศูนย์ และ x เป็นบวก
  • กฎส่วนกลับเป็นกรณีพิเศษโดยที่

อนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลังและลอการิทึม

[แก้]

สมการข้างต้นเป็นจริงสำหรับทุก c แต่อนุพันธ์เมื่อ ให้ผลลัพธ์เป็นจำนวนเชิงซ้อน

สมการข้างต้นเป็นจริงสำหรับทุก c แต่ให้ผลเป็นจำนวนเชิงซ้อนหาก -

เมื่อ คือฟังก์ชันดับเบิลยูลัมแบร์ท

อนุพันธ์เชิงลอการิทึม

[แก้]

อนุพันธ์เชิงลอการิทึมเป็นอีกวิธีหนึ่งในการระบุกฎสำหรับการหาอนุพันธ์ลอการิทึมของฟังก์ชัน (โดยใช้กฎลูกโซ่):

โดยที่ f เป็นบวก

อนุพันธ์เชิงลอการิทึม เป็นเทคนิคที่ใช้ลอการิทึมและกฎการหาอนุพันธ์เพื่อทำให้นิพจน์บางอย่างง่ายขึ้นก่อนที่จะนำอนุพันธ์ไปใช้จริง[ต้องการอ้างอิง][ จำเป็นต้องอ้างอิง ]

ลอการิทึมสามารถใช้เพื่อลบเลขยกกำลัง แปลงการคูณเป็นการรวม และแปลงการหารเป็นการลบ ซึ่งแต่ละค่าอาจนำไปสู่นิพจน์ที่ง่ายขึ้นในการหาอนุพันธ์

อนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

[แก้]

ค่าสัมบูรณ์ในตารางด้านบนมีไว้สำหรับเมื่อช่วงของซีแคนต์ผกผันเป็น และเมื่อช่วงของโคซีแคนต์ผกผันเป็น

เป็นเรื่องปกติที่จะกำหนดฟังก์ชันแทนเจนต์ผกผันที่มีอาร์กิวเมนต์สองตัว ค่าของฟังก์ชันอยู่ในช่วง และสะท้อนจตุภาคของจุด สำหรับจตุภาคที่หนึ่งและสี่ (เช่น ) มี อนุพันธ์ย่อยขอฟังก์ชันคือ

และ

อนุพันธ์ของฟังก์ชันไฮเพอร์โบลิก

[แก้]

ดูฟังก์ชันไฮเพอร์โบลิกสำหรับข้อจำกัดเกี่ยวกับอนุพันธ์เหล่านี้

อนุพันธ์ของฟังก์ชันพิเศษ

[แก้]
ฟังก์ชันแกมมา
กับ เป็น ฟังก์ชันไดแกมม่า ซึ่งแสดงโดยนิพจน์ที่อยู่ในวงเล็บทางด้านขวาของ ในบรรทัดด้านบน
ฟังก์ชันซีตาของรีมันน์

อนุพันธ์ของปริพันธ์

[แก้]

สมมติว่าจำเป็นต้องหาอนุพันธ์ในส่วน x ของฟังก์ชัน

ที่ฟังก์ชั่น และ ต่อเนื่องทั้ง และ ในบางบริเวณของระนาบ รวมทั้ง และฟังก์ชัน และ ต่อเนื่องและหาค่าอนุพันธ์ต่อเนื่องได้สำหรับ - แล้วเมื่อ -

สูตรนี้เป็นรูปแบบทั่วไปของ กฎอินทิกรัลของไลบ์นิซ และสามารถหาได้โดยใช้ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัส

อนุพันธ์อันดับดับที่ n

[แก้]

มีกฎบางกฎมีขึ้นสำหรับการคำนวณอนุพันธ์อับดับที่ n ของฟังก์ชัน โดยที่ n เป็นจำนวนเต็มบวก ซึ่งรวมถึง

สูตรของฟาอาดิบรูโน

[แก้]

ถ้า f และ g สามารถหาอนุพันธ์ได้ n ครั้ง เมื่อ และเซต ประกอบด้วยคำตอบจำนวนเต็มไม่เป็นลบทั้งหมดของสมการไดโอแฟนไทน์ -

กฎทั่วไปของไลบ์นิซ

[แก้]

ถ้า f และ g สามารถหาอนุพันธ์ได้ n ครั้ง

ดูเพิ่ม

[แก้]

อ้างอิง

[แก้]
  1. Calculus (5th edition), F. Ayres, E. Mendelson, Schaum's Outline Series, 2009, ISBN 978-0-07-150861-2.
  2. Advanced Calculus (3rd edition), R. Wrede, M.R. Spiegel, Schaum's Outline Series, 2010, ISBN 978-0-07-162366-7.
  3. Complex Variables, M.R. Spiegel, S. Lipschutz, J.J. Schiller, D. Spellman, Schaum's Outlines Series, McGraw Hill (USA), 2009, ISBN 978-0-07-161569-3
  4. "Differentiation Rules". University of Waterloo – CEMC Open Courseware. สืบค้นเมื่อ 3 May 2022.

ที่มาและอ่านเพิ่มเติม

[แก้]

กฎเหล่านี้มีอยู่ในหนังสือหลายเล่ม ทั้งแคลคูลัสพื้นฐานและขั้นสูง ในวิชาคณิตศาสตร์บริสุทธิ์และคณิตศาสตร์ประยุกต์ สิ่งที่อยู่ในบทความนี้ (นอกเหนือจากอ้างอิงข้างต้น) สามารถพบได้ใน

  • คู่มือคณิตศาสตร์ของสูตรและตาราง (ฉบับที่ 3), S. Lipschutz, MR Spiegel, J. Liu, Schaum's Outline Series, 2009,ISBN 978-0-07-154855-7 .
  • คู่มือสูตรฟิสิกส์ของเคมบริดจ์, G. Woan, สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์, 2010,ISBN 978-0-521-57507-2 .
  • วิธีทางคณิตศาสตร์สำหรับฟิสิกส์และวิศวกรรม, KF Riley, MP Hobson, SJ Bence, สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์, 2010,ISBN 978-0-521-86153-3
  • คู่มือ NIST ของฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์, FWJ Olver, DW Lozier, RF Boisvert, CW Clark, สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์, 2010,ISBN 978-0-521-19225-5 .

แหล่งข้อมูลอื่น

[แก้]