บทความนี้เป็นการสรุปสูตรและกฎการหาอนุพันธ์ หรือกฎสำหรับการคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันในแคลคูลัส
กฎการหาอนุพันธ์เบื้องต้น
[แก้]
ฟังก์ชันทั้งหมดเป็นฟังก์ชันของจำนวนจริง (R) ที่ให้ค่าจริง เว้นแต่จะระบุไว้เป็นอย่างอื่น แม้ว่าโดยทั่วไปแล้ว สูตรด้านล่างนี้จะใช้ได้ทุกเมื่อที่มีการนิยามไว้อย่างรัดกุม[1][2] รวมถึงกรณีของจำนวนเชิงซ้อน (C) ด้วย[3]
สำหรับฟังก์ชั่น และ และจำนวนจริง และ ใด ๆ อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ในส่วน คือ
บทพิสูจน์แสดงอนุพันธ์ของฟังก์ชันคงที่ใดๆ เป็น 0
คำอธิบายททางเรขาคณิต
[แก้]
อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุด ๆ หนึ่งคือความชันของเส้นสัมผัสของเส้นโค้งที่จุดนั้น ความชันของฟังก์ชันคงที่เป็นศูนย์ เนื่องจากเส้นสัมผัสของฟังก์ชันคงที่เป็นแนวนอนและมุมเป็นศูนย์
กล่าวอีกนัยหนึ่งคือค่าของฟังก์ชันคงที่ y จะไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อค่าของ x เพิ่มขึ้นหรือลดลง
การหาอนุพันธ์เป็นเชิงเส้น
[แก้]
สำหรับฟังก์ชัน และ และจำนวนจริง และ ใด ๆ อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ที่ส่วน คือ
สัญกรณ์ของไลบ์นิซเขียนในรูป
กรณีพิเศษต่าง ๆ ได้แก่
- กฎตัวประกอบค่าคงที่
- กฎผลรวม
- กฎผลต่าง
สำหรับฟังก์ชั่น และ ใด ๆ อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ในส่วน คือ
สัญกรณ์ของไลบ์นิซเขียนในรูป
ไปที่แนวคิดของการจับคู่ และอนุพันธ์ที่เป็นการจับคู่ ซึ่งเขียนได้กระชับยิ่งขึ้นได้ดังนี้
อนุพันธ์ของฟังก์ชัน คือ
สัญกรณ์ของไลบ์นิซเขียนในรูป
มักจะย่อเป็น
สำหรับค่า ใดๆ เมื่อ , ถ้า คือฟังก์ชันคงที่ โดยที่ แล้ว [4]
ถ้าฟังก์ชัน f มีฟังก์ชันผกผัน g ซึ่งหมายความว่า และ แล้ว
เมื่อ จะเป็นกรณีพิเศษถ้า แล้ว
สัญกรณ์ของไลบ์นิซเขียนในรูป
กฎยกกำลัง พหุนาม ผลหาร และส่วนกลับ
[แก้]
กฎพหุนามหรือกฎยกกำลังเบื้องต้น
[แก้]
ถ้า สำหรับจำนวนจริงใดๆ แล้ว
การรวมกฎยกกำลังเข้ากับกฎผลรวมและกฎการคูณด้วยค่าคงที่ ทำให้สามารถคำนวณอนุพันธ์ของพหุนามใด ๆ ได้
อนุพันธ์ของ สำหรับฟังก์ชัน f (ไม่เป็นศูนย์ที่จุดใด) ใด ๆ คือ
- โดยที่ f ไม่เป็นศูนย์
สัญกรณ์ของไลบ์นิซเขียนในรูป
กฎส่วนกลับสามารถได้มาจากกฎผลหาร หรือจากการรวมกันของกฎยกกำลังและกฎลูกโซ่
ถ้า f และ g เป็นฟังก์ชัน แล้ว
- โดยที่ g ไม่เป็นศูนย์
ซึ่งสามารถได้มาจากกฎผลคูณและกฎส่วนกลับ
กฎยกกำลังวางนัยทั่วไป
[แก้]
ที่ซึ่งเมื่อทั้งสองฝั่งได้นิยามไว้อย่างรัดกุม
กรณีพิเศษ
- ถ้า แล้ว เมื่อ a เป็นจำนวนจริงที่ไม่ใช่ศูนย์ และ x เป็นบวก
- กฎส่วนกลับเป็นกรณีพิเศษโดยที่
อนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลังและลอการิทึม
[แก้]
สมการข้างต้นเป็นจริงสำหรับทุก c แต่อนุพันธ์เมื่อ ให้ผลลัพธ์เป็นจำนวนเชิงซ้อน
สมการข้างต้นเป็นจริงสำหรับทุก c แต่ให้ผลเป็นจำนวนเชิงซ้อนหาก -
- เมื่อ คือฟังก์ชันดับเบิลยูลัมแบร์ท
-
อนุพันธ์เชิงลอการิทึม
[แก้]
อนุพันธ์เชิงลอการิทึมเป็นอีกวิธีหนึ่งในการระบุกฎสำหรับการหาอนุพันธ์ลอการิทึมของฟังก์ชัน (โดยใช้กฎลูกโซ่):
- โดยที่ f เป็นบวก
อนุพันธ์เชิงลอการิทึม เป็นเทคนิคที่ใช้ลอการิทึมและกฎการหาอนุพันธ์เพื่อทำให้นิพจน์บางอย่างง่ายขึ้นก่อนที่จะนำอนุพันธ์ไปใช้จริง[ต้องการอ้างอิง][ จำเป็นต้องอ้างอิง ]
ลอการิทึมสามารถใช้เพื่อลบเลขยกกำลัง แปลงการคูณเป็นการรวม และแปลงการหารเป็นการลบ ซึ่งแต่ละค่าอาจนำไปสู่นิพจน์ที่ง่ายขึ้นในการหาอนุพันธ์
อนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
[แก้]
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ค่าสัมบูรณ์ในตารางด้านบนมีไว้สำหรับเมื่อช่วงของซีแคนต์ผกผันเป็น และเมื่อช่วงของโคซีแคนต์ผกผันเป็น
เป็นเรื่องปกติที่จะกำหนดฟังก์ชันแทนเจนต์ผกผันที่มีอาร์กิวเมนต์สองตัว ค่าของฟังก์ชันอยู่ในช่วง และสะท้อนจตุภาคของจุด สำหรับจตุภาคที่หนึ่งและสี่ (เช่น ) มี อนุพันธ์ย่อยขอฟังก์ชันคือ
- และ
อนุพันธ์ของฟังก์ชันไฮเพอร์โบลิก
[แก้]
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ดูฟังก์ชันไฮเพอร์โบลิกสำหรับข้อจำกัดเกี่ยวกับอนุพันธ์เหล่านี้
อนุพันธ์ของฟังก์ชันพิเศษ
[แก้]
- ฟังก์ชันแกมมา
- กับ เป็น ฟังก์ชันไดแกมม่า ซึ่งแสดงโดยนิพจน์ที่อยู่ในวงเล็บทางด้านขวาของ ในบรรทัดด้านบน
- ฟังก์ชันซีตาของรีมันน์
สมมติว่าจำเป็นต้องหาอนุพันธ์ในส่วน x ของฟังก์ชัน
ที่ฟังก์ชั่น และ ต่อเนื่องทั้ง และ ในบางบริเวณของระนาบ รวมทั้ง และฟังก์ชัน และ ต่อเนื่องและหาค่าอนุพันธ์ต่อเนื่องได้สำหรับ - แล้วเมื่อ -
สูตรนี้เป็นรูปแบบทั่วไปของ กฎอินทิกรัลของไลบ์นิซ และสามารถหาได้โดยใช้ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัส
อนุพันธ์อันดับดับที่ n
[แก้]
มีกฎบางกฎมีขึ้นสำหรับการคำนวณอนุพันธ์อับดับที่ n ของฟังก์ชัน โดยที่ n เป็นจำนวนเต็มบวก ซึ่งรวมถึง
ถ้า f และ g สามารถหาอนุพันธ์ได้ n ครั้ง เมื่อ และเซต ประกอบด้วยคำตอบจำนวนเต็มไม่เป็นลบทั้งหมดของสมการไดโอแฟนไทน์ -
ถ้า f และ g สามารถหาอนุพันธ์ได้ n ครั้ง
- ↑ Calculus (5th edition), F. Ayres, E. Mendelson, Schaum's Outline Series, 2009, ISBN 978-0-07-150861-2.
- ↑ Advanced Calculus (3rd edition), R. Wrede, M.R. Spiegel, Schaum's Outline Series, 2010, ISBN 978-0-07-162366-7.
- ↑ Complex Variables, M.R. Spiegel, S. Lipschutz, J.J. Schiller, D. Spellman, Schaum's Outlines Series, McGraw Hill (USA), 2009, ISBN 978-0-07-161569-3
- ↑ "Differentiation Rules". University of Waterloo – CEMC Open Courseware. สืบค้นเมื่อ 3 May 2022.
ที่มาและอ่านเพิ่มเติม
[แก้]
กฎเหล่านี้มีอยู่ในหนังสือหลายเล่ม ทั้งแคลคูลัสพื้นฐานและขั้นสูง ในวิชาคณิตศาสตร์บริสุทธิ์และคณิตศาสตร์ประยุกต์ สิ่งที่อยู่ในบทความนี้ (นอกเหนือจากอ้างอิงข้างต้น) สามารถพบได้ใน
- คู่มือคณิตศาสตร์ของสูตรและตาราง (ฉบับที่ 3), S. Lipschutz, MR Spiegel, J. Liu, Schaum's Outline Series, 2009,ISBN 978-0-07-154855-7 .
- คู่มือสูตรฟิสิกส์ของเคมบริดจ์, G. Woan, สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์, 2010,ISBN 978-0-521-57507-2 .
- วิธีทางคณิตศาสตร์สำหรับฟิสิกส์และวิศวกรรม, KF Riley, MP Hobson, SJ Bence, สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์, 2010,ISBN 978-0-521-86153-3
- คู่มือ NIST ของฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์, FWJ Olver, DW Lozier, RF Boisvert, CW Clark, สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์, 2010,ISBN 978-0-521-19225-5 .