ในคณิตศาสตร์ กฎผลคูณ ของแคลคูลัส ซึ่งเราอาจเรียกว่า กฎของไลบ์นิซ (ดูการอนุพัทธ์ ) ควบคุมอนุพันธ์ ของผลคูณของฟังก์ชัน ที่หาอนุพันธ์ได้
ซึ่งอาจเขียนได้ดังนี้
(
f
g
)
′
=
f
′
g
+
f
g
′
{\displaystyle \,\!(fg)'=f'g+fg'}
หรือด้วยสัญกรณ์ไลบ์นิซดังนี้
d
d
x
(
u
v
)
=
u
d
v
d
x
+
v
d
u
d
x
{\displaystyle {d \over dx}(uv)=u{dv \over dx}+v{du \over dx}}
ค้นพบโดยไลบ์นิซ [ แก้ ] ไลบ์นิซได้ชื่อว่าเป็นผู้ค้นพบกฎนี้ ซึ่งพิสูจน์โดยใช้คณิตศาสตร์ดิฟเฟอเรนเชียล สมมุติให้ u (x ) และ v (x ) เป็นฟังก์ชันซึ่งหาอนุพันธ์ได้ของ x ดิฟเฟอเรนเชียลของ uv คือ
d
(
u
v
)
{\displaystyle d(uv)\,}
=
(
u
+
d
u
)
(
v
+
d
v
)
−
u
v
{\displaystyle =(u+du)(v+dv)-uv\,}
=
u
(
d
v
)
+
v
(
d
u
)
+
(
d
u
)
(
d
v
)
{\displaystyle =u(dv)+v(du)+(du)(dv)\,}
แต่เนื่องจากเทอม (du ) (dv ) มีค่าน้อย (ในรูปควาดราติก ของ du และ dv ) ไลบ์นิซสรุปว่า
d
(
u
v
)
=
(
d
u
)
v
+
u
(
d
v
)
{\displaystyle d(uv)=(du)v+u(dv)\,}
และนี่คือกฎผลคูณในรูปของดิฟเฟอเรนเชียล ถ้าเราหารตลอดด้วยดิฟเฟอเรนเชียล dx เราจะได้
d
d
x
(
u
v
)
=
(
d
u
d
x
)
v
+
u
(
d
v
d
x
)
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}(uv)=\left({\frac {du}{dx}}\right)v+u\left({\frac {dv}{dx}}\right)}
ซึ่งสามารถเขียนอีกรูปหนึ่งได้เป็น
(
u
v
)
′
=
u
′
v
+
u
v
′
{\displaystyle (uv)'=u'v+uv'\,}
ตัวอย่าง [ แก้ ]
สมมุติว่าคุณต้องการหาอนุพันธ์ของ f (x ) = x 2 sin (x ) โดยการใช้กฎผลคูณจะได้คำตอบ f ' (x ) = 2x sin (x ) + x 2 cos (x ) (เนื่องจากอนุพันธ์ของ x 2 คือ 2x และอนุพันธ์ของ sin (x ) คือ cos (x )).
กฎการคูณด้วยค่าคงที่ (Constant Multiple Rule) ซึ่งเป็นกรณีพิเศษของกฎผลคูณ กล่าวไว้ว่า: ถ้า c เป็น จำนวนจริง และ f (x ) เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ จะได้ว่า cf (x ) ก็หาอนุพันธ์ได้เช่นกัน และมีอนุพันธ์เป็น (c × f ) ' (x ) = c × f ' (x ). (นี่เป็นผลจากกฎการคูณ เนื่องจากอนุพันธ์ของค่าคงที่ มีค่าเป็นศูนย์) เมื่อนำผลที่ได้นี้รวมเข้ากับกฎผลบวกจะได้ว่า การหาอนุพันธ์เป็นกระบวนการเชิงเส้น
กฎผลคูณสามารถใช้พิสูจน์การหาปริพันธ์ทีละส่วน และกฎผลหาร
ข้อผิดพลาดโดยทั่วไป [ แก้ ] ความผิดพลาดของผู้ที่เริ่มศึกษาแคลคูลัสบ่อย ๆ คือการสมมุติว่าอนุพันธ์ของ uv เท่ากับ (u' ) (v) (ไลบ์นิซก็คิดเช่นนั้นในตอนแรก) แต่ว่าเราสามารถหาตัวอย่างมาโต้แย้งได้ง่าย ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชัน f ซึ่งมีอนุพันธ์ f ' ( x) ฟังก์ชันนี้สามารถเขียนได้อีกรูปหนึ่งเป็น f ( x) · 1 เพราะ 1 เป็นเอกลักษณ์การคูณ ถ้าสมมุติฐานข้างบนซึ่งผิดพลาดเป็นจริง กล่าวคือได้ ( u ) (v) ซึ่งก็คือ ผลคูณ f (x ) · 0 มีค่าเป็น ศูนย์ เนื่องจากอนุพันธ์ของค่าคงที่ (เช่น 1) เป็นศูนย์เสมอ
การพิสูจน์กฎผลคูณ [ แก้ ] กฎผลคูณสามารถพิสูจน์ได้โดยอาศัยคุณสมบัติของลิมิต และนิยามของอนุพันธ์จากผลหารผลต่างของนิวตัน :
สมมุติว่า
f
(
x
)
=
g
(
x
)
h
(
x
)
{\displaystyle f(x)=g(x)h(x)\,}
และสมมุติต่อไปว่า g และ h หาอนุพันธ์ได้ที่จุด x ดังนั้น
f
′
(
x
)
=
lim
Δ
x
→
0
f
(
x
+
Δ
x
)
−
f
(
x
)
Δ
x
=
lim
Δ
x
→
0
g
(
x
+
Δ
x
)
h
(
x
+
Δ
x
)
−
g
(
x
)
h
(
x
)
Δ
x
{\displaystyle f'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {g(x+\Delta x)h(x+\Delta x)-g(x)h(x)}{\Delta x}}}
เนื่องจาก
g
(
x
+
Δ
x
)
h
(
x
+
Δ
x
)
−
g
(
x
)
h
(
x
)
=
g
(
x
)
(
h
(
x
+
Δ
x
)
−
h
(
x
)
)
+
h
(
x
+
Δ
x
)
(
g
(
x
+
Δ
x
)
−
g
(
x
)
)
,
{\displaystyle g(x+\Delta x)h(x+\Delta x)-g(x)h(x)=g(x)(h(x+\Delta x)-h(x))+h(x+\Delta x)(g(x+\Delta x)-g(x)),\,}
จะได้ว่า
f
′
(
x
)
=
lim
Δ
x
→
0
g
(
x
)
(
h
(
x
+
Δ
x
)
−
h
(
x
)
)
+
h
(
x
+
Δ
x
)
(
g
(
x
+
Δ
x
)
−
g
(
x
)
)
Δ
x
{\displaystyle f'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {g(x)(h(x+\Delta x)-h(x))+h(x+\Delta x)(g(x+\Delta x)-g(x))}{\Delta x}}}
=
lim
Δ
x
→
0
[
g
(
x
)
(
(
h
(
x
+
Δ
x
)
−
h
(
x
)
)
Δ
x
)
+
h
(
x
+
Δ
x
)
(
(
g
(
x
+
Δ
x
)
−
g
(
x
)
)
Δ
x
)
]
{\displaystyle =\lim _{\Delta x\to 0}\left[g(x)\left({\frac {(h(x+\Delta x)-h(x))}{\Delta x}}\right)+h(x+\Delta x)\left({\frac {(g(x+\Delta x)-g(x))}{\Delta x}}\right)\right]}
เนื่องจาก h มีค่าต่อเนื่องที่จุด x เราได้
lim
Δ
x
→
0
h
(
x
+
Δ
x
)
=
h
(
x
)
{\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}h(x+\Delta x)=h(x)}
และอาศัยนิยามของอนุพันธ์ และการหาอนุพันธ์ได้ของ h และ g ที่จุด x จะได้ว่า
h
′
(
x
)
=
lim
Δ
x
→
0
(
h
(
x
+
Δ
x
)
−
h
(
x
)
)
Δ
x
{\displaystyle h'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {(h(x+\Delta x)-h(x))}{\Delta x}}}
และ
g
′
(
x
)
=
lim
Δ
x
→
0
(
g
(
x
+
Δ
x
)
−
g
(
x
)
)
Δ
x
{\displaystyle g'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {(g(x+\Delta x)-g(x))}{\Delta x}}}
เมื่อรวมทุกอย่างเข้าด้วยกันจะได้
f
′
(
x
)
=
lim
Δ
x
→
0
[
g
(
x
)
(
(
h
(
x
+
Δ
x
)
−
h
(
x
)
)
Δ
x
)
+
h
(
x
+
Δ
x
)
(
(
g
(
x
+
Δ
x
)
−
g
(
x
)
)
Δ
x
)
]
{\displaystyle f'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}\left[g(x)\left({\frac {(h(x+\Delta x)-h(x))}{\Delta x}}\right)+h(x+\Delta x)\left({\frac {(g(x+\Delta x)-g(x))}{\Delta x}}\right)\right]}
=
[
lim
Δ
x
→
0
g
(
x
)
]
[
lim
Δ
x
→
0
(
h
(
x
+
Δ
x
)
−
h
(
x
)
)
Δ
x
]
+
[
lim
Δ
x
→
0
h
(
x
+
Δ
x
)
]
[
lim
Δ
x
→
0
(
g
(
x
+
Δ
x
)
−
g
(
x
)
)
Δ
x
]
{\displaystyle =\left[\lim _{\Delta x\to 0}g(x)\right]\left[\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {(h(x+\Delta x)-h(x))}{\Delta x}}\right]+\left[\lim _{\Delta x\to 0}h(x+\Delta x)\right]\left[\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {(g(x+\Delta x)-g(x))}{\Delta x}}\right]}
=
g
(
x
)
h
′
(
x
)
+
h
(
x
)
g
′
(
x
)
{\displaystyle =g(x)h'(x)+h(x)g'(x)\,}
จบการพิสูจน์
นัยทั่วไป [ แก้ ] ดูเพิ่ม [ แก้ ]
![{\displaystyle =\lim _{\Delta x\to 0}\left[g(x)\left({\frac {(h(x+\Delta x)-h(x))}{\Delta x}}\right)+h(x+\Delta x)\left({\frac {(g(x+\Delta x)-g(x))}{\Delta x}}\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a97b5870aa2eecae3a3644dcac9c4e407ef7188b)
![{\displaystyle f'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}\left[g(x)\left({\frac {(h(x+\Delta x)-h(x))}{\Delta x}}\right)+h(x+\Delta x)\left({\frac {(g(x+\Delta x)-g(x))}{\Delta x}}\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03427fd70902afbe35aba6f8acdaee5d5c12c0f0)
![{\displaystyle =\left[\lim _{\Delta x\to 0}g(x)\right]\left[\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {(h(x+\Delta x)-h(x))}{\Delta x}}\right]+\left[\lim _{\Delta x\to 0}h(x+\Delta x)\right]\left[\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {(g(x+\Delta x)-g(x))}{\Delta x}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02cc708cdd89fdf2b56cf9f8af91fbede8dcb132)
![[icon]](/wiki/%E0%B9%84%E0%B8%9F%E0%B8%A5%E0%B9%8C:Wiki_letter_w_cropped.svg){kind=small}
บทความเกี่ยวกับคณิตศาสตร์นี้ยังเป็นโครง คุณสามารถช่วยวิกิพีเดียได้โดยเพิ่มข้อมูล ดูเพิ่มที่ สถานีย่อย:คณิตศาสตร์
