กฎผลคูณ

บทความนี้เป็นส่วนหนึ่งของ
แคลคูลัส
ทฤษฎีบทมูลฐาน ลิมิตของฟังก์ชัน ความต่อเนื่อง ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย ทฤษฎีบทของโรลล์
แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ นิยาม อนุพันธ์ (ภาพรวม) ผลต่างอนุพัทธ์ กณิกนันต์ ผลต่างอนุพัทธ์ของฟังก์ชัน ผลต่างอนุพัทธ์รวม แนวคิด สัญกรณ์สำหรับการหาอนุพันธ์ อนุพันธ์อันดับสอง อนุพันธ์อันดับสาม การเปลี่ยนแปลงตัวแปร การหาอนุพันธ์โดยปริยาย อัตราสัมพัทธ์ ทฤษฎีบทของเทย์เลอร์ กฎและเอกลักษณ์ กฎผลรวม กฎผลคูณ กฎลูกโซ่ กฎเลขยกกำลัง กฎผลหาร กฎไลบ์นิซทั่วไป สูตรของฟาดีบรูโน
แคลคูลัสเชิงปริพันธ์ รายชื่อปริพันธ์ นิยาม ปฏิยานุพันธ์ ปริพันธ์ (ไม่ตรงแบบ) ปริพันธ์รีมันน์ ปริพันธ์เลอเบก ปริพันธ์ตามเส้นรอบขอบ การหาปริพันธ์ ทีละส่วน จาน แบบเปลือกทรงกระบอก แทนค่า (แทนค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติ) แยกเป็นเศษส่วนย่อย Order Reduction formulae
อนุกรม อนุกรมเรขาคณิต (ลำดับเลขคณิต–เรขาคณิต) อนุกรมฮาร์มอนิก อนุกรมสลับ อนุกรมกำลัง อนุกรมทวินาม อนุกรมเทย์เลอร์ การทดสอบการลู่เข้า Summand limit (term test) Ratio Root Integral Direct comparison Limit comparison Alternating series Cauchy condensation Dirichlet Abel
แคลคูลัสเวกเตอร์ เกรเดียนต์ ไดเวอร์เจนซ์ เคิร์ล Laplacian Directional derivative Identities ทฤษฎีบท ทฤษฎีบทไดเวอร์เจนซ์ ทฤษฎีบทเกรเดียนต์ ทฤษฎีบทของกรีน ทฤษฎีบทเคลวิน–สโตกส์
แคลคูลัสหลายตัวแปร Formalisms แคลคูลัสเมทริกซ์ แคลคูลัสเทนเซอร์ Exterior แคลคูลัสเชิงเรขาคณิต นิยาม อนุพันธ์ย่อย ปริพันธ์หลายชั้น ปริพันธ์ตามเส้น ปริพันธ์เชิงพื้นผิว ปริพันธ์เชิงปริมาตร Jacobian Hessian matrix
พิเศษ แคลคูลัสเชิงเศษส่วน Malliavin สโทแคสติกแคลคูลัส แคลคูลัสของการแปรผัน

ในคณิตศาสตร์ กฎผลคูณของแคลคูลัส หรือเรียกว่า กฎของไลบ์นิซ เป็นสูตรสำหรับหาอนุพันธ์ของผลคูณของฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้สองฟังก์ชันหรือมากกว่า ซึ่งอาจเขียนในสัญกรณ์ของลากรองจ์ได้ดังนี้

$\,\!(fg)'=f'g+fg'$

หรือด้วยสัญกรณ์ไลบ์นิซดังนี้

${d \over dx}(uv)=u{dv \over dx}+v{du \over dx}$

กฎผลคูณสามารถขยายไปยังผลคูณของฟังก์ชันสามจัวหรือมากกว่าก็ได้ หรือในกรณีอื่น ๆ ที่ไม่ใช่การหาอนุพันธ์โดยตรง

การค้นพบโดยไลบ์นิซ

ไลบ์นิซได้ชื่อว่าเป็นผู้ค้นพบกฎนี้ ซึ่งพิสูจน์โดยใช้คณิตศาสตร์ดิฟเฟอเรนเชียล แต่ J. M. Child ผู้แปลผลงานของไลบ์นิซ์เสนอว่า ไอแซค บาร์โรว์ เป็นผู้ค้นพบกฎผลคูณก่อน การพิสูจน์ของไลบ์นิซ์เริ่มต้นโดยสมมติให้ u(x) และ v(x) เป็นฟังก์ชันซึ่งหาอนุพันธ์ได้ของ x ดิฟเฟอเรนเชียลของ uv คือ

$d(uv)\,$	$=(u+du)(v+dv)-uv\,$
	$=u(dv)+v(du)+(du)(dv)\,$

แต่เนื่องจากเทอม (du) (dv) มีค่าน้อย ไลบ์นิซสรุปว่า

$d(uv)=(du)v+u(dv)\,$

และนี่คือกฎผลคูณในรูปของดิฟเฟอเรนเชียล ถ้าเราหารตลอดด้วยดิฟเฟอเรนเชียล dx เราจะได้

${\frac {d}{dx}}(uv)=\left({\frac {du}{dx}}\right)v+u\left({\frac {dv}{dx}}\right)$

ซึ่งสามารถเขียนอีกรูปหนึ่งได้เป็น

$(uv)'=u'v+uv'\,$

ตัวอย่าง

• สมมุติว่าคุณต้องการหาอนุพันธ์ของ f (x) = x² sin(x) โดยการใช้กฎผลคูณจะได้คำตอบ f' (x) = 2x sin (x) + x²cos (x) (เนื่องจากอนุพันธ์ของ x² คือ 2x และอนุพันธ์ของ sin (x) คือ cos (x)).
• กฎการคูณด้วยค่าคงที่ (Constant Multiple Rule) ซึ่งเป็นกรณีพิเศษของกฎผลคูณ กล่าวไว้ว่า: ถ้า c เป็น จำนวนจริง และ f (x) เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ จะได้ว่า cf (x) ก็หาอนุพันธ์ได้เช่นกัน และมีอนุพันธ์เป็น (c × f) ' (x) = c × f ' (x). (นี่เป็นผลจากกฎการคูณ เนื่องจากอนุพันธ์ของค่าคงที่ มีค่าเป็นศูนย์) เมื่อนำผลที่ได้นี้รวมเข้ากับกฎผลบวกจะได้ว่า การหาอนุพันธ์เป็นกระบวนการเชิงเส้น
• กฎผลคูณสามารถใช้พิสูจน์การหาปริพันธ์ทีละส่วน และกฎผลหารแบบ"อ่อน" (เพราะกฎผลคูณไม่ได้พิสูจน์ว่าผลหารของฟังก์ชันสองฟังก์ชันจะหาอนุพันธ์ได้ แต่พิสูจน์ว่าหากอนุพันธ์หาได้ จะมีค่าเท่าใดเท่านั้น)

การพิสูจน์กฎผลคูณ

กฎผลคูณสามารถพิสูจน์ได้โดยอาศัยคุณสมบัติของลิมิต นิยามของอนุพันธ์ และทฤษฎีบทที่ว่าฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง:

พิสูจน์ —

สมมุติว่า $f(x)=g(x)h(x)\,$ โดยที่ $g$ และ $h$ หาอนุพันธ์ได้ที่ $x$ พิจารณาลิมิตของเศษส่วนในนิยามของอนุพันธ์

$\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {g(x+\Delta x)h(x+\Delta x)-g(x)h(x)}{\Delta x}}$

เนื่องจาก

$g(x+\Delta x)h(x+\Delta x)-g(x)h(x)=g(x)(h(x+\Delta x)-h(x))+h(x+\Delta x)(g(x+\Delta x)-g(x)),\,$

จะได้ว่า

${\begin{aligned}f'(x)&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {g(x)(h(x+\Delta x)-h(x))+h(x+\Delta x)(g(x+\Delta x)-g(x))}{\Delta x}}\\&=\lim _{\Delta x\to 0}\left[g(x)\left({\frac {(h(x+\Delta x)-h(x))}{\Delta x}}\right)+h(x+\Delta x)\left({\frac {(g(x+\Delta x)-g(x))}{\Delta x}}\right)\right]\end{aligned}}$

เนื่องจาก h หาอนุพันธ์ได้ที่ x ดังนั้นจึงต่อเนื่องที่ x ด้วย เราได้

$\lim _{\Delta x\to 0}h(x+\Delta x)=h(x)$

และจาก $g$ และ $h$ หาอนุพันธ์ได้ที่ $x$ จะได้ว่า

$h'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}}$ และ $g'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}}$

เมื่อรวมทุกอย่างเข้าด้วยกันจะได้

${\begin{aligned}f'(x)&=\lim _{\Delta x\to 0}g(x)\left({\frac {(h(x+\Delta x)-h(x))}{\Delta x}}\right)+h(x+\Delta x)\left({\frac {(g(x+\Delta x)-g(x))}{\Delta x}}\right)\\&=\left[\lim _{\Delta x\to 0}g(x)\right]\left[\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {(h(x+\Delta x)-h(x))}{\Delta x}}\right]+\left[\lim _{\Delta x\to 0}h(x+\Delta x)\right]\left[\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {(g(x+\Delta x)-g(x))}{\Delta x}}\right]\\&=g(x)h'(x)+h(x)g'(x)\end{aligned}}$

เป็นการแสดงว่า $f$ หาอนุพันธ์ได้ที่ $x$ และอนุพันธ์ของ $f$ เท่ากับ $g(x)h'(x)+h(x)g'(x)$

นัยทั่วไป

ผลคูณมากกว่าสองฟังก์ชัน

กฏผลคูณสามารถวางนัยทั่วไปให้กับกรณีที่มีตัวประกอบคูณกันมากกว่าสองตัวได้ อย่างเช่น หากมีตัวประกอบสามตัวจะได้

${\frac {d(uvw)}{dx}}={\frac {du}{dx}}vw+u{\frac {dv}{dx}}w+uv{\frac {dw}{dx}}$

และสำหรับเซตของฟังก์ชัน $f_{1},\dots ,f_{k}$ จะได้ว่า

${\frac {d}{dx}}\left[\prod _{i=1}^{k}f_{i}(x)\right]=\sum _{i=1}^{k}\left(\left({\frac {d}{dx}}f_{i}(x)\right)\prod _{j=1,j\neq i}^{k}f_{j}(x)\right)=\left(\prod _{i=1}^{k}f_{i}(x)\right)\left(\sum _{i=1}^{k}{\frac {f'_{i}(x)}{f_{i}(x)}}\right)$

พีชคณิตนามธรรม

ในพีชคณิตนามธรรม กฎผลคูณใช้เป็นนิยามของการดำเนินการอนุพันธ์

แคลคูลัสเวกเตอร์

กฎผลคูณขยายไปยังการคูณด้วยสเกลาร์ ผลคูณจุด และผลคูณไขว้ของฟังก์ชันเวกเตอร์ดังต่อไปนี้

สำหรับการคูณด้วยสเกลาร์: $(f\cdot \mathbf {g} )'=f'\cdot \mathbf {g} +f\cdot \mathbf {g} '$

สำหรับผลคูณจุด: $(\mathbf {f} \cdot \mathbf {g} )'=\mathbf {f} '\cdot \mathbf {g} +\mathbf {f} \cdot \mathbf {g} '$

สำหรับผลคูณไขว้: $(\mathbf {f} \times \mathbf {g} )'=\mathbf {f} '\times \mathbf {g} +\mathbf {f} \times \mathbf {g} '$

นอกจากนี้ยังมีกฎผลคูณสำหรับกระบวนการอื่นที่คล้ายคลึงกับการหาอนุพันธ์: ถ้า f และ g เป็นฟีลด์สเกลาร์แล้วเกรเดียนต์จะสอดคล้องกับกฎผลคูณ

$$\nabla (f\cdot g)=\nabla f\cdot g+f\cdot \nabla g$$

ดูเพิ่ม

• กฎผลหาร
• การหาปริพันธ์เป็นส่วน
• ดิฟเฟอเรนเชียล