กฎผลคูณ

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
ไปยังการนำทาง ไปยังการค้นหา

ในคณิตศาสตร์ กฎผลคูณของแคลคูลัส หรือเรียกว่า กฎของไลบ์นิซ[1] เป็นสูตรสำหรับหาอนุพันธ์ของผลคูณของฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้สองฟังก์ชันหรือมากกว่า ซึ่งอาจเขียนในสัญกรณ์ของลากรองจ์ได้ดังนี้

หรือด้วยสัญกรณ์ไลบ์นิซดังนี้

กฎผลคูณสามารถขยายไปยังผลคูณของฟังก์ชันสามจัวหรือมากกว่าก็ได้ หรือในกรณีอื่น ๆ ที่ไม่ใช่การหาอนุพันธ์โดยตรง

การค้นพบโดยไลบ์นิซ[แก้]

ไลบ์นิซได้ชื่อว่าเป็นผู้ค้นพบกฎนี้ ซึ่งพิสูจน์โดยใช้คณิตศาสตร์ดิฟเฟอเรนเชียล[2] แต่ J. M. Child ผู้แปลผลงานของไลบ์นิซ์เสนอว่า ไอแซค บาร์โรว์ เป็นผู้ค้นพบกฎผลคูณก่อน[3] การพิสูจน์ของไลบ์นิซ์เริ่มต้นโดยสมมติให้ u(x) และ v(x) เป็นฟังก์ชันซึ่งหาอนุพันธ์ได้ของ x ดิฟเฟอเรนเชียลของ uv คือ

แต่เนื่องจากเทอม (du) (dv) มีค่าน้อย ไลบ์นิซสรุปว่า

และนี่คือกฎผลคูณในรูปของดิฟเฟอเรนเชียล ถ้าเราหารตลอดด้วยดิฟเฟอเรนเชียล dx เราจะได้

ซึ่งสามารถเขียนอีกรูปหนึ่งได้เป็น

ตัวอย่าง[แก้]

  • สมมุติว่าคุณต้องการหาอนุพันธ์ของ f (x) = x2 sin(x) โดยการใช้กฎผลคูณจะได้คำตอบ f' (x) = 2x sin (x) + x2cos (x) (เนื่องจากอนุพันธ์ของ x2 คือ 2x และอนุพันธ์ของ sin (x) คือ cos (x)).
  • กฎการคูณด้วยค่าคงที่ (Constant Multiple Rule) ซึ่งเป็นกรณีพิเศษของกฎผลคูณ กล่าวไว้ว่า: ถ้า c เป็น จำนวนจริง และ f (x) เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ จะได้ว่า cf (x) ก็หาอนุพันธ์ได้เช่นกัน และมีอนุพันธ์เป็น (c × f) ' (x) = c × f ' (x). (นี่เป็นผลจากกฎการคูณ เนื่องจากอนุพันธ์ของค่าคงที่ มีค่าเป็นศูนย์) เมื่อนำผลที่ได้นี้รวมเข้ากับกฎผลบวกจะได้ว่า การหาอนุพันธ์เป็นกระบวนการเชิงเส้น
  • กฎผลคูณสามารถใช้พิสูจน์การหาปริพันธ์ทีละส่วน และกฎผลหารแบบ"อ่อน" (เพราะกฎผลคูณไม่ได้พิสูจน์ว่าผลหารของฟังก์ชันสองฟังก์ชันจะหาอนุพันธ์ได้ แต่พิสูจน์ว่าหากอนุพันธ์หาได้ จะมีค่าเท่าใดเท่านั้น)

การพิสูจน์กฎผลคูณ[แก้]

กฎผลคูณสามารถพิสูจน์ได้โดยอาศัยคุณสมบัติของลิมิต นิยามของอนุพันธ์ และทฤษฎีบทที่ว่าฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง:

พิสูจน์ —

สมมุติว่า โดยที่ และ หาอนุพันธ์ได้ที่ พิจารณาลิมิตของเศษส่วนในนิยามของอนุพันธ์

เนื่องจาก

จะได้ว่า

เนื่องจาก h หาอนุพันธ์ได้ที่ x ดังนั้นจึงต่อเนื่องที่ x ด้วย เราได้

และจาก และ หาอนุพันธ์ได้ที่ จะได้ว่า

และ

เมื่อรวมทุกอย่างเข้าด้วยกันจะได้

เป็นการแสดงว่า หาอนุพันธ์ได้ที่ และอนุพันธ์ของ เท่ากับ

นัยทั่วไป[แก้]

ผลคูณมากกว่าสองฟังก์ชัน[แก้]

กฏผลคูณสามารถวางนัยทั่วไปให้กับกรณีที่มีตัวประกอบคูณกันมากกว่าสองตัวได้ อย่างเช่น หากมีตัวประกอบสามตัวจะได้

และสำหรับเซตของฟังก์ชัน จะได้ว่า

พีชคณิตนามธรรม[แก้]

ในพีชคณิตนามธรรม กฎผลคูณใช้เป็นนิยามของการดำเนินการอนุพันธ์

แคลคูลัสเวกเตอร์[แก้]

กฎผลคูณขยายไปยังการคูณด้วยสเกลาร์ ผลคูณจุด และผลคูณไขว้ของฟังก์ชันเวกเตอร์ดังต่อไปนี้[4]

สำหรับการคูณด้วยสเกลาร์:

สำหรับผลคูณจุด:

สำหรับผลคูณไขว้:

นอกจากนี้ยังมีกฎผลคูณสำหรับกระบวนการอื่นที่คล้ายคลึงกับการหาอนุพันธ์: ถ้า f และ g เป็นฟีลด์สเกลาร์แล้วเกรเดียนต์จะสอดคล้องกับกฎผลคูณ

อ้างอิง[แก้]

  1. "Leibniz rule - Encyclopedia of Mathematics". encyclopediaofmath.org.
  2. Cirillo, Michelle. "Humanizing Calculus". The Mathematics Teacher. 101 (1): 23–27. doi:10.5951/MT.101.1.0023. ISSN 0025-5769.
  3. Leibniz, Gottfried Wilhelm, Freiherr von (2005). The early mathematical manuscripts of Leibniz. J. M. Child (Dover ed ed.). Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 0-486-44596-8. OCLC 60321838.CS1 maint: extra text (link)
  4. Stewart, James (2016), Calculus (8 ed.), Cengage, Section 13.2.

ดูเพิ่ม[แก้]