แคลคูลัสกับพหุนาม

แคลคูลัสกับพหุนาม ในคณิตศาสตร์ พหุนามอาจเป็นฟังก์ชันที่ง่ายที่สุดในการทำแคลคูลัส อนุพันธ์ และปริพันธ์เป็นไปตามกฎต่อไปนี้

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{k}=\sum _{k=0}^{n}ka_{k}x^{k-1}$

$\int \sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{k}\;\mathrm {d} x=\sum _{k=0}^{n}{\frac {a_{k}x^{k+1}}{k+1}}+c.$

ดังนั้นอนุพันธ์ของ $x^{100}$ คือ $100x^{99}$ และปริพันธ์ของ $x^{100}$ คือ ${\frac {x^{101}}{101}}+c$

บทพิสูจน์

เนื่องจากการหาอนุพันธ์เป็น การแปลงเชิงเส้น จะได้

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(\sum _{r=0}^{n}a_{r}x^{r}\right)=\sum _{r=0}^{n}{\frac {\mathrm {d} \left(a_{r}x^{r}\right)}{\mathrm {d} x}}=\sum _{r=0}^{n}a_{r}{\frac {\mathrm {d} \left(x^{r}\right)}{\mathrm {d} x}}.$

ดังนั้นจะต้องหา ${\frac {\mathrm {d} \left(x^{r}\right)}{\mathrm {d} x}}$ สำหรับ จำนวนธรรมชาติ $r$ ใดๆ ซึ่งมีการพิสูจน์โดยอุปนัย โดยใช้ กฎผลคูณ ซึ่งขึ้นอยู่กับกรณีที่ $r=1$ เท่านั้น

นัยทั่วไป

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(ax^{k}\right)=akx^{k-1}$

เป็นจริงทุกค่า k ที่ x^k มีความหมาย หรือ ทุกค่า k ที่เป็นจำนวนตรรกยะที่ x^k มีการนิยามไว้

นัยทั่วไปนี้ก็เป็นจริงสำหรับการหาปริพันธ์ของพนุนามเช่นเดียวกัน

ถ้ามีพนุนามที่ตัวคูณไม่ใช่จำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อน (เช่นอาจเป็น จำนวนเต็ม หรือตัวเลขมอดุโลของจำนวนเฉพาะ) ก็สามารถนิยามอนุพันธ์จากความสัมพันธ์ข้างบน

อ้างอิง

• Larson, Ron; Hostetler, Robert P.; and Edwards, Bruce H. (2003). Calculus of a Single Variable: Early Transcendental Functions (3rd edition). Houghton Mifflin Company. ISBN 0-618-22307-X.