เลขคณิตมอดุลาร์

เลขคณิตมอดุลาร์ (Modular arithmetic) เป็นระบบเลขคณิตที่มีรากฐานมาจากระบบจำนวนเต็มทั่วไป แต่จำนวนในระบบนี้จะมีการหมุนกลับในลักษณะเดียวกันกับเข็มนาฬิกาเมื่อมีค่าถึงค่าบางค่าที่กำหนดไว้ ซึ่งค่านี้จะเรียกว่า มอดุลัส กล่าวคือ, ตัวเลขที่มีค่าเกินค่าของมอดุลัส จะถูกปรับค่าให้เป็นเศษของจำนวนนั้นเมื่อหารด้วยมอดุลัส ยกตัวอย่างเช่น ภายใต้มอดุลัสที่เป็น $9$ เลข $13$ จะถูกปรับให้เหลือ $4$ หรือ ผลบวกของ $4$ กับ $7$ ก็คือ $2$

การสมภาคกันของจำนวน

เราจะกล่าวว่าจำนวนเต็ม $a$ และ $b$ สมภาคกัน ภายใต้มอดุโล $m$ ได้เมื่อผลต่างของสองจำนวนนั้นสามารถหารลงตัวได้ด้วย $m$ หรืออาจจะกล่าวได้อีกอย่างคือ จำนวนเต็ม $a$ กับ $b$ เมื่อหารด้วย $m$ จะเหลือเศษเท่ากัน การสมภาคกันของ $a$ และ $b$ สามารถเขียนได้ในรูป

$a\equiv b{\pmod {m}}$

ตัวอย่างเช่น

$26\equiv 14{\pmod {12}}$

ความสัมพันธ์ของการสมภาคกันเป็นความสัมพันธ์สมมูล (equivalence relation) และชั้นสมมูล (equivalence class) ของจำนวนเต็ม a สามารถเขียนได้ในรูป [a]_n ซึ่งความสัมพันธ์สมมูลตัวนี้มีคุณสมบัติเพิ่มเติมอีกหลายอย่าง ยกตัวอย่างเช่น: ถ้า

$a_{1}\equiv b_{1}{\pmod {m}}$

และ

$a_{2}\equiv b_{2}{\pmod {m}}$

แล้ว

$a_{1}+a_{2}\equiv b_{1}+b_{2}{\pmod {m}}$

และ

$a_{1}a_{2}\equiv b_{1}b_{2}{\pmod {m}}$

ประวัติ

คาร์ล ฟรีดริช เกาส์เป็นผู้นำเสนอเลขคณิตมอดุลาร์ในหนังสือ Disquisitiones Arithmeticae ในปีค.ศ. 1801 (พ.ศ. 2344)

ดูเพิ่ม

• กรุปการคูณของจำนวนเต็มมอดุโล n
• ทฤษฎีบทเศษเหลือของจีน

แหล่งข้อมูลอื่น

• ในบทความ modular art แสดงการประยุกต์ใช้เลขคณิตมอดุลาร์ในดนตรี