เลขคณิตมอดุลาร์

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

เลขคณิตมอดุลาร์ (Modular arithmetic) เป็นระบบเลขคณิตที่มีรากฐานมาจากระบบจำนวนเต็มทั่วไป แต่จำนวนในระบบนี้จะมีการหมุนกลับในลักษณะเดียวกันกับเข็มนาฬิกาเมื่อมีค่าถึงค่าบางค่าที่กำหนดไว้ ซึ่งค่านี้จะเรียกว่า มอดุลัส กล่าวคือ, ตัวเลขที่มีค่าเกินค่าของมอดุลัส จะถูกปรับค่าให้เป็นเศษของจำนวนนั้นเมื่อหารด้วยมอดุลัส ยกตัวอย่างเช่น ภายใต้มอดุลัสที่เป็น 9 เลข 13 จะถูกปรับให้เหลือ 4 หรือ ผลบวกของ 4 กับ 7 ก็คือ 2

การสมภาคกันของจำนวน[แก้]

เราจะกล่าวว่าจำนวนเต็ม a และ b สมภาคกัน ภายใต้มอดุโล n ได้เมื่อผลต่างของสองจำนวนนั้นสามารถหารลงตัวได้ด้วย n หรืออาจจะกล่าวได้อีกอย่างคือ จำนวนเต็ม a กับ b เมื่อหารด้วย n จะเหลือเศษเท่ากัน การสมภาคกันของ a และ b สามารถเขียนได้ในรูป

ab (mod n)

ตัวอย่างเช่น

26 ≡ 14 (mod 12)

ความสัมพันธ์ของการสมภาคกันเป็นความสัมพันธ์สมมูล (equivalence relation) และชั้นสมมูล (equivalence class) ของจำนวนเต็ม a สามารถเขียนได้ในรูป [a]n ซึ่งความสัมพันธ์สมมูลตัวนี้มีคุณสมบัติเพิ่มเติมอีกหลายอย่าง ยกตัวอย่างเช่น: ถ้า

a1b1 (mod n)

และ

a2b2 (mod n)

แล้ว

a1 + a2b1 + b2 (mod n)

และ

a1a2b1b2 (mod n).

ประวัติ[แก้]

คาร์ล ฟรีดริช เกาส์เป็นผู้นำเสนอเลขคณิตมอดุลาร์ในหนังสือ Disquisitiones Arithmeticae ในปีค.ศ. 1801 (พ.ศ. 2344)

ดูเพิ่ม[แก้]

แหล่งข้อมูลอื่น[แก้]

  • ในบทความ modular art แสดงการประยุกต์ใช้เลขคณิตมอดุลาร์ในดนตรี