ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัส กล่าวว่าอนุพันธ์ และปริพันธ์ ซึ่งเป็นการดำเนินการหลักในแคลคูลัส นั้นผกผันกัน ซึ่งหมายความว่าถ้านำฟังก์ชัน ต่อเนื่อง ใดๆมาหาปริพันธ์ แล้วนำมาหาอนุพันธ์ เราจะได้ฟังก์ชันเดิม ทฤษฎีบทนี้เหมือนว่าเป็นหัวใจสำคัญของแคลคูลัสที่นับได้ว่าเป็นทฤษฎีบทมูลฐานของทั้งสาขานี้ ผลต่อเนื่องที่สำคัญของทฤษฎีบทนี้ ซึ่งบางทีเรียกว่าทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัสบทที่สองนั้นทำให้เราสามารถคำนวณหาปริพันธ์โดยใช้ปฏิยานุพันธ์ ของฟังก์ชัน
ภาพโดยทั่วไป [ แก้ ] โดยทั่วไปแล้ว ทฤษฎีบทนี้กล่าวว่าผลรวมของการเปลี่ยนแปลงที่น้อยยิ่ง ในปริมาณในช่วงเวลา (หรือปริมาณอื่นๆ) นั้นเข้าใกล้การเปลี่ยนแปลงรวม
เพื่อให้เห็นด้วยกับข้อความนี้ เราจะเริ่มด้วยตัวอย่างนี้ สมมติว่าอนุภาคเดินทางบนเส้นตรงโดยมีตำแหน่งจากฟังก์ชัน x (t ) เมื่อ t คือเวลา อนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้เท่ากับความเปลี่ยนแปลงที่น้อยมากๆของ x ต่อช่วงเวลาที่น้อยมากๆ (แน่นอนว่าอนุพันธ์ต้องขึ้นอยู่กับเวลา) เรานิยามความเปลี่ยนแปลงของระยะทางต่อช่วงเวลาว่าเป็นอัตราเร็ว v ของอนุภาค ด้วยสัญกรณ์ของไลบ์นิซ
d
x
d
t
=
v
(
t
)
{\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=v(t)}
เมื่อจัดรูปสมการใหม่จะได้
d
x
=
v
(
t
)
d
t
{\displaystyle dx=v(t)\,dt}
จากตรรกะข้างต้น ความเปลี่ยนแปลงใน x ที่เรียกว่า
Δ
x
{\displaystyle \Delta x}
dx มันยังเท่ากับผลรวมของผลคูณระหว่างอนุพันธ์และเวลาที่น้อยมากๆ
ผลรวมอนันต์นี้คือปริพันธ์ ดังนั้นการหาปริพันธ์ทำให้เราสามารถคืนฟังก์ชันต้นของมันจากอนุพันธ์เช่นเดียวกัน การดำเนินการนี้ผกผันกัน หมายความว่าเราสามารถหาอนุพันธ์ของผลการหาปริพันธ์ ซึ่งจะได้ฟังก์ชันอัตราเร็วคืนมาได้
เนื้อหาของทฤษฎีบท [ แก้ ] ทฤษฎีบทนี้ว่าไว้ว่า
ให้ f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง [a , b ] ถ้า F เป็นฟังก์ชันที่นิยามสำหรับ x ที่อยู่ใน [a , b ] ว่า
F
(
x
)
=
∫
a
x
f
(
t
)
d
t
{\displaystyle F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt}
แล้ว
F
′
(
x
)
=
f
(
x
)
{\displaystyle F'(x)=f(x)\,}
สำหรับทุก x ที่อยู่ใน [a , b ]
ให้ f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง [a , b ] ถ้า F เป็นฟังก์ชันที่
f
(
x
)
=
F
′
(
x
)
{\displaystyle f(x)=F'(x)\,}
x ที่อยู่ใน [a , b ]แล้ว
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
=
F
(
b
)
−
F
(
a
)
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)}
ผลที่ตามมา [ แก้ ] ให้ f เป็นฟังก์ชันที่มีความต่อเนื่องบนช่วง [a , b ]. ถ้า F เป็นฟังก์ชันที่
f
(
x
)
=
F
′
(
x
)
{\displaystyle f(x)=F'(x)\,}
x ที่อยู่ใน [a , b ]แล้ว
F
(
x
)
=
∫
a
x
f
(
t
)
d
t
+
F
(
a
)
{\displaystyle F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt+F(a)}
และ
f
(
x
)
=
d
d
x
∫
a
x
f
(
t
)
d
t
{\displaystyle f(x)={\frac {d}{dx}}\int _{a}^{x}f(t)\,dt}
บทพิสูจน์ [ แก้ ] ส่วนที่ 1 [ แก้ ] กำหนดให้
F
(
x
)
=
∫
a
x
f
(
t
)
d
t
{\displaystyle F(x)=\int _{a}^{x}f(t)dt}
ให้ x 1 และ x 1 + Δx อยู่ในช่วง [a , b ] จะได้
F
(
x
1
)
=
∫
a
x
1
f
(
t
)
d
t
{\displaystyle F(x_{1})=\int _{a}^{x_{1}}f(t)dt}
และ
F
(
x
1
+
Δ
x
)
=
∫
a
x
1
+
Δ
x
f
(
t
)
d
t
{\displaystyle F(x_{1}+\Delta x)=\int _{a}^{x_{1}+\Delta x}f(t)dt}
นำทั้งสองสมการมาลบกันได้
F
(
x
1
+
Δ
x
)
−
F
(
x
1
)
=
∫
a
x
1
+
Δ
x
f
(
t
)
d
t
−
∫
a
x
1
f
(
t
)
d
t
(
1
)
{\displaystyle F(x_{1}+\Delta x)-F(x_{1})=\int _{a}^{x_{1}+\Delta x}f(t)dt-\int _{a}^{x_{1}}f(t)dt\qquad (1)}
เราสามารถแสดงได้ว่า
∫
a
x
1
f
(
t
)
d
t
+
∫
x
1
x
1
+
Δ
x
f
(
t
)
d
t
=
∫
a
x
1
+
Δ
x
f
(
t
)
d
t
{\displaystyle \int _{a}^{x_{1}}f(t)dt+\int _{x_{1}}^{x_{1}+\Delta x}f(t)dt=\int _{a}^{x_{1}+\Delta x}f(t)dt}
(ผลรวมพื้นที่ของบริเวณที่อยู่ติดกัน จะเท่ากับ พื้นที่ของบริเวณทั้งสองรวมกัน) ย้ายข้างสมการได้
∫
a
x
1
+
Δ
x
f
(
t
)
d
t
−
∫
a
x
1
f
(
t
)
d
t
=
∫
x
1
x
1
+
Δ
x
f
(
t
)
d
t
{\displaystyle \int _{a}^{x_{1}+\Delta x}f(t)dt-\int _{a}^{x_{1}}f(t)dt=\int _{x_{1}}^{x_{1}+\Delta x}f(t)dt}
นำไปแทนค่าใน (1) จะได้
F
(
x
1
+
Δ
x
)
−
F
(
x
1
)
=
∫
x
1
x
1
+
Δ
x
f
(
t
)
d
t
(
2
)
{\displaystyle F(x_{1}+\Delta x)-F(x_{1})=\int _{x_{1}}^{x_{1}+\Delta x}f(t)dt\qquad (2)}
ตามทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย สำหรับการอินทิเกรต จะมี c อยู่ในช่วง [x 1 , x 1 + Δx ] ที่ทำให้
∫
x
1
x
1
+
Δ
x
f
(
t
)
d
t
=
f
(
c
)
Δ
x
{\displaystyle \int _{x_{1}}^{x_{1}+\Delta x}f(t)dt=f(c)\Delta x}
แทนค่าลงใน (2) ได้
F
(
x
1
+
Δ
x
)
−
F
(
x
1
)
=
f
(
c
)
Δ
x
{\displaystyle F(x_{1}+\Delta x)-F(x_{1})=f(c)\Delta x\,}
หารทั้งสองข้างด้วย Δx จะได้
F
(
x
1
+
Δ
x
)
−
F
(
x
1
)
Δ
x
=
f
(
c
)
{\displaystyle {\frac {F(x_{1}+\Delta x)-F(x_{1})}{\Delta x}}=f(c)}
สังเกตว่าสมการข้างซ้าย คือ อัตราส่วนเชิงผลต่าง ของนิวตัน (Newton's difference quotient) ของ F ที่ x 1 ใส่ลิมิต Δx → 0 ทั้งสองข้างของสมการ
lim
Δ
x
→
0
F
(
x
1
+
Δ
x
)
−
F
(
x
1
)
Δ
x
=
lim
Δ
x
→
0
f
(
c
)
{\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}{\frac {F(x_{1}+\Delta x)-F(x_{1})}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}f(c)}
สมการข้างซ้ายจะเป็นอนุพันธ์ของ F ที่ x 1
F
′
(
x
1
)
=
lim
Δ
x
→
0
f
(
c
)
(
3
)
{\displaystyle F'(x_{1})=\lim _{\Delta x\to 0}f(c)\qquad (3)}
เพื่อหาลิมิตของสมการข้างขวา เราจะใช้ทฤษฎีบท squeeze เพราะว่า c อยู่ในช่วง [x 1 , x 1 + Δx ] ดังนั้น x 1 ≤ c ≤ x 1 + Δx
จาก
lim
Δ
x
→
0
x
1
=
x
1
{\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}x_{1}=x_{1}}
lim
Δ
x
→
0
x
1
+
Δ
x
=
x
1
{\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}x_{1}+\Delta x=x_{1}}
ตามทฤษฎีบท squeeze จะได้ว่า
lim
Δ
x
→
0
c
=
x
1
{\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}c=x_{1}}
แทนค่าลงใน (3) จะได้
F
′
(
x
1
)
=
lim
c
→
x
1
f
(
c
)
{\displaystyle F'(x_{1})=\lim _{c\to x_{1}}f(c)}
ฟังก์ชัน f มีความต่อเนื่องที่ c ดังนั้น เราสามารถนำลิมิตแทนในฟังก์ชันได้ ดังนั้น
F
′
(
x
1
)
=
f
(
x
1
)
{\displaystyle F'(x_{1})=f(x_{1})\,}
จบการพิสูจน์
(Leithold et al, 1996)
ส่วนที่ 2 [ แก้ ] ต่อไปนี้คือบทพิสูจน์ลิมิตโดย ผลรวมของรีมันน์-ดาบูต์
ภาพแสดงแนวคิดของ ผลรวมรีมันน์-ดาบูต์ ซึ่งใช้ในการประมาณพื้นที่ภายใต้กราฟใด ๆ ด้วยกราฟแท่งจำนวนมาก ให้ f เป็นฟังก์ชันที่มีความต่อเนื่องบนช่วง [a , b ] และ F เป็นปฏิยานุพันธ์ของ f พิจารณานิพจน์ต่อไปนี้
F
(
b
)
−
F
(
a
)
{\displaystyle F(b)-F(a)\,}
ให้
a
=
x
0
<
x
1
<
x
2
<
…
<
x
n
−
1
<
x
n
=
b
{\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\ldots <x_{n-1}<x_{n}=b}
F
(
b
)
−
F
(
a
)
=
F
(
x
n
)
−
F
(
x
0
)
{\displaystyle F(b)-F(a)=F(x_{n})-F(x_{0})\,}
แล้วบวกและลบด้วยจำนวนเดียวกัน จะได้
F
(
b
)
−
F
(
a
)
=
F
(
x
n
)
+
[
−
F
(
x
n
−
1
)
+
F
(
x
n
−
1
)
]
+
…
+
[
−
F
(
x
1
)
+
F
(
x
1
)
]
−
F
(
x
0
)
=
[
F
(
x
n
)
−
F
(
x
n
−
1
)
]
+
[
F
(
x
n
−
1
)
+
…
−
F
(
x
1
)
]
+
[
F
(
x
1
)
−
F
(
x
0
)
]
{\displaystyle {\begin{matrix}F(b)-F(a)&=&F(x_{n})\,+\,[-F(x_{n-1})\,+\,F(x_{n-1})]\,+\,\ldots \,+\,[-F(x_{1})+F(x_{1})]\,-\,F(x_{0})\,\\&=&[F(x_{n})\,-\,F(x_{n-1})]\,+\,[F(x_{n-1})\,+\,\ldots \,-\,F(x_{1})]\,+\,[F(x_{1})\,-\,F(x_{0})]\,\end{matrix}}}
เขียนใหม่เป็น
F
(
b
)
−
F
(
a
)
=
∑
i
=
1
n
[
F
(
x
i
)
−
F
(
x
i
−
1
)
]
(
1
)
{\displaystyle F(b)-F(a)=\sum _{i=1}^{n}[F(x_{i})-F(x_{i-1})]\qquad (1)}
เราจะใช้ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย ซึ่งกล่าวว่า
ให้ f เป็นฟังก์ชันที่มีความต่อเนื่องบนช่วง [a , b ] และมีอนุพันธ์บนช่วง (a , b ) แล้ว จะมี c อยู่ใน (a , b ) ที่ทำให้
f
′
(
c
)
=
f
(
b
)
−
f
(
a
)
b
−
a
{\displaystyle f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}}
และจะได้
f
′
(
c
)
(
b
−
a
)
=
f
(
b
)
−
f
(
a
)
{\displaystyle f'(c)(b-a)=f(b)-f(a)\,}
ฟังก์ชัน F เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ในช่วง [a , b ] ดังนั้น มันจะหาอนุพันธ์และมีความต่อเนื่องบนแต่ละช่วง x i -1
F
(
x
i
)
−
F
(
x
i
−
1
)
=
F
′
(
c
i
)
(
x
i
−
x
i
−
1
)
{\displaystyle F(x_{i})-F(x_{i-1})=F'(c_{i})(x_{i}-x_{i-1})\,}
แทนค่าลงใน (1) จะได้
F
(
b
)
−
F
(
a
)
=
∑
i
=
1
n
[
F
′
(
c
i
)
(
x
i
−
x
i
−
1
)
]
{\displaystyle F(b)-F(a)=\sum _{i=1}^{n}[F'(c_{i})(x_{i}-x_{i-1})]}
จาก
F
′
(
c
i
)
=
f
(
c
i
)
{\displaystyle F'(c_{i})=f(c_{i})\,}
x
i
−
x
i
−
1
{\displaystyle x_{i}-x_{i-1}}
Δ
x
{\displaystyle \Delta x}
i
{\displaystyle i}
F
(
b
)
−
F
(
a
)
=
∑
i
=
1
n
[
f
(
c
i
)
(
Δ
x
i
)
]
(
2
)
{\displaystyle F(b)-F(a)=\sum _{i=1}^{n}[f(c_{i})(\Delta x_{i})]\qquad (2)}
สังเกตว่าเรากำลังอธิบายพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้า โดยมีความกว้างคูณความสูง และเราก็บวกพื้นที่เหล่านั้นเข้าด้วยกันจากทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย สี่เหลี่ยมผืนผ้าแต่ละรูปอธิบายค่าประมาณของส่วนของเส้นโค้ง
สังเกตอีกว่า
Δ
x
i
{\displaystyle \Delta x_{i}}
i
{\displaystyle i}
n
{\displaystyle n}
n
{\displaystyle n}
โดยการหาลิมิตของนิพจน์นี้เป็นเมื่อค่าเฉลี่ยของส่วนต่างๆนี้ เข้าใกล้ศูนย์ เราจะได้ปริพันธ์แบบรีมันน์ นั่นคือ เราหาลิมิตเมื่อขนาดส่วนที่ใหญ่ที่สุดเข้าใกล้ศูนย์ จะได้ส่วนอื่นๆมีขนาดเล็กลง และจำนวนส่วนเข้าใกล้อนันต์
ดังนั้น เราจะใส่ลิมิตไปทั้งสองข้างของสมการ (2) จะได้
lim
‖
Δ
‖
→
0
F
(
b
)
−
F
(
a
)
=
lim
‖
Δ
‖
→
0
∑
i
=
1
n
[
f
(
c
i
)
(
Δ
x
i
)
]
d
x
{\displaystyle \lim _{\|\Delta \|\to 0}F(b)-F(a)=\lim _{\|\Delta \|\to 0}\sum _{i=1}^{n}[f(c_{i})(\Delta x_{i})]\,dx}
ทั้ง F (b ) และ F (a ) ต่างก็ไม่ขึ้นกับ ||Δ|| ดังนั้น ลิมิตของข้างซ้ายจึงเท่ากับ F (b ) - F (a )
F
(
b
)
−
F
(
a
)
=
lim
‖
Δ
‖
→
0
∑
i
=
1
n
[
f
(
c
i
)
(
Δ
x
i
)
]
{\displaystyle F(b)-F(a)=\lim _{\|\Delta \|\to 0}\sum _{i=1}^{n}[f(c_{i})(\Delta x_{i})]}
และนิพจน์ทางขวาของสมการ หมายถึงอินทิกรัลของ f จาก a ไป b ดังนั้น เราจะได้
F
(
b
)
−
F
(
a
)
=
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle F(b)-F(a)=\int _{a}^{b}f(x)\,dx}
จบการพิสูจน์
ตัวอย่าง [ แก้ ] ตัวอย่างเช่น ถ้าคุณต้องการคำนวณหา
∫
2
5
x
2
d
x
{\displaystyle \int _{2}^{5}x^{2}\;\mathrm {d} x}
ให้
f
(
x
)
=
x
2
{\displaystyle f(x)=x^{2}}
F
(
x
)
=
x
3
3
{\displaystyle F(x)={\frac {x^{3}}{3}}}
∫
2
5
x
2
d
x
=
F
(
5
)
−
F
(
2
)
=
125
3
−
8
3
=
117
3
=
39
{\displaystyle \int _{2}^{5}x^{2}\;\mathrm {d} x=F(5)-F(2)={125 \over 3}-{8 \over 3}={117 \over 3}=39}
ถ้าเราต้องการหา
จะได้
∫
1
3
d
x
x
=
[
ln
|
x
|
]
1
3
=
ln
3
−
ln
1
=
ln
3
{\displaystyle \int _{1}^{3}{\frac {dx}{x}}={\big [}\ln |x|{\big ]}_{1}^{3}=\ln 3-\ln 1=\ln 3}
นัยทั่วไป [ แก้ ] เราไม่จำเป็นต้องให้
f
{\displaystyle f}
f
{\displaystyle f}
ปริพันธ์เลอเบก บนช่วง
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
x
0
{\displaystyle x_{0}}
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
f
{\displaystyle f}
x
0
{\displaystyle x_{0}}
F
(
x
)
=
∫
a
x
f
(
t
)
d
t
{\displaystyle F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\;\mathrm {d} t}
สามารถหาอนุพันธ์ได้สำหรับ
x
=
x
0
{\displaystyle x=x_{0}}
F
(
x
0
)
=
f
(
x
0
)
{\displaystyle F(x_{0})=f(x_{0})}
f
{\displaystyle f}
F
{\displaystyle F}
F
′
(
x
)
=
f
(
x
)
{\displaystyle F'(x)=f(x)}
ทฤษฎีบทอนุพันธ์ของเลอเบก
ส่วนที่ 2ของทฤษฎีบทนี้เป็นจริงสำหรับทุกฟังก์ชัน
f
{\displaystyle f}
F
{\displaystyle F}
ส่วนของทฤษฎีบทของเทย์เลอร์ ซึ่งกล่าวถึงพจน์ที่เกิดข้อผิดพลาดเป็นปริพันธ์สามารถมองได้เป็นนัยทั่วไปของทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัส
มีทฤษฎีบทหนึ่งสำหรับฟังก์ชันเชิงซ้อน : ให้
U
{\displaystyle U}
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
f
:
U
→
C
{\displaystyle f:U\to \mathbb {C} }
F
{\displaystyle F}
U
{\displaystyle U}
γ
:
[
a
,
b
]
→
U
{\displaystyle \gamma :[a,b]\to U}
∮
γ
f
(
z
)
d
z
=
F
(
γ
(
b
)
)
−
F
(
γ
(
a
)
)
{\displaystyle \oint _{\gamma }f(z)\;\mathrm {d} z=F(\gamma (b))-F(\gamma (a))}
ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัสสามารถวางนัยทั่วไปให้กับ ปริพันธ์เส้นโค้งและพื้นผิวในมิติที่สูงกว่าและบนแมนิโฟลด์ได้
อ้างอิง [ แก้ ]
Stewart, J. (2003). Fundamental Theorem of Calculus. In Integrals. In Calculus: early transcendentals . Belmont, California: Thomson/Brooks/Cole.
Larson, Ron, Bruce H. Edwards, David E. Heyd. Calculus of a single variable . 7th ed. Boston: Houghton Mifflin Company, 2002.
Leithold, L. (1996). The calculus 7 of a single variable . 6th ed. New York: HarperCollins College Publishers.
![{\displaystyle {\begin{matrix}F(b)-F(a)&=&F(x_{n})\,+\,[-F(x_{n-1})\,+\,F(x_{n-1})]\,+\,\ldots \,+\,[-F(x_{1})+F(x_{1})]\,-\,F(x_{0})\,\\&=&[F(x_{n})\,-\,F(x_{n-1})]\,+\,[F(x_{n-1})\,+\,\ldots \,-\,F(x_{1})]\,+\,[F(x_{1})\,-\,F(x_{0})]\,\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02ce717bc133ad68b8653dc1336b7a5cf5e250d2)
![{\displaystyle F(b)-F(a)=\sum _{i=1}^{n}[F(x_{i})-F(x_{i-1})]\qquad (1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dedb8a51dfaf8d958f2fe5df15509c7ec0a59d5)
![{\displaystyle F(b)-F(a)=\sum _{i=1}^{n}[F'(c_{i})(x_{i}-x_{i-1})]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82f91a9b9a85b83c96edcab31090a55f8f4800da)
![{\displaystyle F(b)-F(a)=\sum _{i=1}^{n}[f(c_{i})(\Delta x_{i})]\qquad (2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95de8851a51fa225486cee60fd4d64be07a055c3)
![{\displaystyle \lim _{\|\Delta \|\to 0}F(b)-F(a)=\lim _{\|\Delta \|\to 0}\sum _{i=1}^{n}[f(c_{i})(\Delta x_{i})]\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ddb9b520e2f14819b21b3aa3098eeeaa2d34630)
![{\displaystyle F(b)-F(a)=\lim _{\|\Delta \|\to 0}\sum _{i=1}^{n}[f(c_{i})(\Delta x_{i})]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/916d8d05ccfcd09f250451b23ad055ef03aa7190)
![{\displaystyle \int _{1}^{3}{\frac {dx}{x}}={\big [}\ln |x|{\big ]}_{1}^{3}=\ln 3-\ln 1=\ln 3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a27214195670e7c1c32910bb29b826b7b4eea99f)
![{\displaystyle [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935)
![{\displaystyle \gamma :[a,b]\to U}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d032547cae79cddd62ad7e267d9073b29a5a89d0)
