ทฤษฎีบทของกรีน

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

ทฤษฎีบทของกรีน (อังกฤษ: Green's theorem) เป็นทฤษฎีบทในแคลคูลัสเวกเตอร์ซึ่งแสดงความสัมพันธ์ระหว่างอินทิกรัลตามเส้นรอบเส้นโค้งปิดอย่างง่าย C กับอินทิกรัลสองชั้นเหนือบริเวณ D ในระนาบที่ถูกล้อมรอบด้วยเส้นโค้ง C นั้น ทฤษฎีบทของกรีนเป็นกรณีพิเศษใน 2 มิติของทฤษฎีบทของสโตกส์

ทฤษฎีบท[แก้]

ให้ เป็นเส้นโค้งปิดใด ๆ ที่มีทิศทางบวก (positively oriented) เป็นเส้นโค้งปรับเรียบเป็นช่วง ๆ (piecewise smooth) และเป็นเส้นโค้งอย่างง่าย (simple) ในระนาบ และให้ เป็นบริเวณในระนาบที่ถูกล้อมรอบด้วยเส้นโค้งปิด นี้ ถ้า และ เป็นฟังก์ชันของ ซึ่งหาค่าได้บนบริเวณเปิดอันหนึ่งที่บรรจุบริเวณ และอนุพันธ์ย่อยของทั้งสองฟังก์ชันนี้ต่อเนื่องแล้ว

โดยการอินทิเกรตตามเส้นโค้ง เป็นการอินทิเกรตในทิศทางทวนเข็มนาฬิกา[1]

ในทางฟิสิกส์ ทฤษฎีบทของกรีนจะใช้ในการแก้ปัญหาอินทิกรัลของของไหลในสองมิติ ในเรขาคณิตและการทำรังวัดสามารถใช้ทฤษฎีบทของกรีนหาพื้นที่ของรูปร่างด้วยการอินทิเกรตไปตามเส้นขอบของรูปร่างนั้น

ประวัติ[แก้]

ทฤษฎีบทนี้ได้ชื่อตามจอร์จ กรีน ซึ่งกล่าวถึงผลลัพธ์ที่ใกล้เคียงกับทฤษฎีบทในบทความนี้ในปี ค.ศ. 1828 ในบทความ An Essay on the Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and Magnetism (ความเรียงว่าด้วยบทประยุกต์การวิเคราะห์เชิงคณิตศาสตร์กับทฤษฎีของไฟฟ้าและแม่เหล็ก) ในปี ค.ศ. 1846 โอกุสแต็ง-หลุยส์ โกชี ตีพิมพ์บทความที่มีทฤษฎีบทของกรีนปรากฏเป็นประโยครองสุดท้าย[2] ซึ่งเป็นครั้งแรกที่ทฤษฎีบทของกรีนในรูปแบบที่พบได้ทั่วไปถูกตีพิมพ์ครั้งแรก รีมันน์เป็นคนแรกที่พิสูจน์ทฤษฎีบทของกรีนในปริญญานิพนธ์ว่าด้วยทฤษฎีของฟังก์ชันเชิงซ้อนตัวแปรเดียวของเขา[3]

อ้างอิง[แก้]

  1. Lipschutz, Seymour (2009). Vector analysis and an introduction to tensor analysis. Murray R. Spiegel, Dennis Spellman (2nd ed.). New York: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-161545-7. OCLC 244060713.
  2. A. Cauchy (1846) "Sur les intégrales qui s'étendent à tous les points d'une courbe fermée" (ว่าด้วยอินทิกรัลที่นิยามไปบนทุกจุดของเส้นโค้งปิด), Comptes rendus, 23: 251–255.
  3. Katz, Victor J. (2009). A history of mathematics : an introduction (3rd ed.). Boston: Addison-Wesley. pp. 801–5. ISBN 0-321-38700-7. OCLC 71006826.