แคลคูลัสเวกเตอร์
บทความนี้ไม่มีการอ้างอิงจากแหล่งที่มาใด |
บทความนี้เป็นส่วนหนึ่งของ |
แคลคูลัส |
---|
แคลคูลัสเวกเตอร์ เป็นแขนงหนึ่งของคณิตศาสตร์ ว่าด้วยการเปลี่ยนแปลงของของเวกเตอร์ในมิติที่สูงกว่าหรือเท่ากับสองมิติ เนื้อหาประกอบด้วยเทคนิคในการแก้ปัญหาและสูตรคำนวณที่เกี่ยวข้องต่าง ๆ ซึ่งมีประโยชน์ใช้งานมากในทางวิศวกรรมและฟิสิกส์
สนามเวกเตอร์หมายถึงการระบุค่าเวกเตอร์ให้กับทุก ๆ จุดในปริภูมิที่พิจารณา เช่นเดียวกับสนามสเกลาร์ ซึ่งเป็นการระบุค่าสเกลาร์ให้กับทุก ๆ จุดในปริภูมิ เช่น อุณหภูมิของน้ำในสระ เป็นสนามสเกลาร์ โดยเป็นการระบุค่าอุณหภูมิ ซึ่งเป็นปริมาณสเกลาร์ให้กับแต่ละตำแหน่ง ส่วนการไหลของน้ำในสระนั้นเป็นสนามเวกเตอร์ เนื่องจากการไหลของน้ำที่แต่ละจุดนั้นจะถูกระบุด้วย เวกเตอร์ความเร็ว
- ตัวดำเนินการที่สำคัญในแคลคูลัสเวกเตอร์
- เกรเดียนต์ (gradient) ใช้สัญลักษณ์ หรือ : เป็นตัวดำเนินการใช้วัดอัตราและทิศทาง ความเปลี่ยนแปลงของสนามสเกลาร์ ดังนั้นเกรเดียนต์ของสนามสเกลาร์ จะได้เป็นสนามเวกเตอร์
- ไดเวอร์เจนซ์ (divergence) ใช้สัญลักษณ์ หรือ : เป็นตัวดำเนินการใช้วัดความลู่เข้าหรือลู่ออก (เป็นจุดกำเนิดสนาม) ของสนามเวกเตอร์ ณ จุดใด ๆ
- เคิร์ล (curl) ใช้สัญลักษณ์ หรือ : เป็นตัวดำเนินการใช้วัดระดับความหมุนวน ณ จุดใด ๆ โดยเคิร์ลของสนามเวกเตอร์ จะได้เป็นอีกสนามเวกเตอร์หนึ่ง
ตัวดำเนินการอีกตัวหนึ่งคือตัวดำเนินการลาปลัส ได้จากการประยุกต์ไดเวอร์เจนซ์และเกรเดียนต์รวมกัน
- ทฤษฎีบทที่สำคัญที่เกี่ยวข้อง
การวิเคราะห์เหล่านี้สามารถทำความเข้าใจได้ไม่ยาก โดยการใช้วิธีการทางเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ (แคลคูลัสเวกเตอร์ เป็นสาขาย่อยหนึ่งของ เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์)
การดำเนินการเวกเตอร์
[แก้]- การดำเนินการพีชคณิต
- พื้นฐานพีชคณิต (ไม่ใช่การหาอนุพันธ์) การดำเนินการในแคลคูลัสเวกเตอร์จะเรียกว่าพีชคณิตเวกเตอร์ ถูกกำหนดไว้สำหรับปริภูมิเวกเตอร์และได้ถูกนำไปประยุกต์ใช้กันทั่วโลกกับสนามเวกเตอร์และประกอบด้วย
- การคูณสเกลาร์ การคูณของสนามสเกลาร์และสนามเวกเตอร์ย่อมได้สนามเวกเตอร์ ;
- การบวกเวกเตอร์ การบวกของสนามเวกเตอร์สองสนามย่อมได้สนามเวกเตอร์ ;
- ผลคูณจุด การคูณของสนามเวกเตอร์สองสนามย่อมได้สนามสเกลาร์ ;
- ผลคูณไขว้ การคูณของสนามเวกเตอร์สองสนามย่อมได้สนามเวกเตอร์ ;
นอกจากนี้ยังมีผลคูณเชิงเวกเตอร์ของสามเวกเตอร์ 2 แบบ คือ:
- ผลคูณเชิงสเกลาร์สามชั้น
- ผลคูณจุดของผลคูณเวกเตอร์และผลคูณไขว้ของ 2 เวกเตอร์: ;
- ผลคูณเชิงเวกเตอร์สามชั้น
- ผลคูณไขว้ของผลคูณเวกเตอร์และผลคูณไขว้ของ 2 เวกเตอร์: or ;
แม้ว่าสิ่งเหล่านี้จะเป็นการดำเนินการพื้นฐานที่มักจะถูกนำมาใช้น้อยกว่า, ดังเช่นที่สามารถแสดงได้ในแง่ของผลคูณจุดและผลคูณไขว้ก็ตาม
การดำเนินการอนุพันธ์
[แก้]แคลคูลัสเวกเตอร์ศึกษาเกี่ยวกับตัวดำเนินการอนุพันธ์ต่าง ๆ ที่กำหนดไว้ในสนามสเกลาร์หรือสนามเวกเตอร์, ซึ่งโดยปกติจะถูกแสดงในเทอมของตัวดำเนินการเดล () หรือที่เรียกกันว่า "nabla" มีการดำเนินการอนุพันธ์ที่สำคัญที่สุดอยู่ห้าอย่างในแคลคูลัสเวกเตอร์:
การดำเนินการ | สัญกรณ์ | คำอธิบาย | โดเมน/พิสัย |
---|---|---|---|
เกรเดียนต์ | วัดอัตราและทิศทางของการเปลี่ยนแปลงในสนามสเกลาร์ | แผนที่สนามสเกลาร์สู่สนามเวกเตอร์ | |
เคิร์ล | วัดแนวโน้มของการหมุนในบริเวณโดยรอบจุดในสนามเวกเตอร์ | แผนที่สนามเวกเตอร์ (เทียม) สู่สนามเวกเตอร์ | |
ไดเวอร์เจนซ์ | วัดสเกลาร์ของแหล่งที่มาหรือแหล่งกำเนิดกับสเกลาร์ของแหล่งที่รับเข้าไปหรือแหล่งจุดจบที่จุดที่กำหนดในสนามเวกเตอร์ | แผนที่สนามเวกเตอร์สู่สนามสเกลาร์ | |
ลาปลาเซียน เวกเตอร์ | องค์ประกอบของการดำเนินการเคริล์และการดำเนินการเกรเดียนต์ | แผนที่ระหว่างสนามเวกเตอร์ | |
ลาปลาเซียน | องค์ประกอบของการดำเนินการไดเวอร์เจนซ์และการดำเนินการเกรเดียนต์ | แผนที่ระหว่างสนามสเกลาร์ |