แคลคูลัสเวกเตอร์

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
หัวข้อที่เกี่ยวข้องกับแคลคูลัส

ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัส | ฟังก์ชัน | ลิมิตของฟังก์ชัน | ความต่อเนื่อง | แคลคูลัสกับพหุนาม | ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย | แคลคูลัสเวกเตอร์ | แคลคูลัสเทนเซอร์

อนุพันธ์

กฎผลคูณ | กฎผลหาร | กฎลูกโซ่ | อนุพันธ์โดยปริยาย | ทฤษฎีบทของเทย์เลอร์

ปริพันธ์
การหาปริพันธ์โดยการแทนค่า | การหาปริพันธ์เป็นส่วน | การหาปริพันธ์โดยการแทนที่ฟังก์ชันตรีโกณมิติ | การหาปริพันธ์แบบจาน | การหาปริพันธ์ด้วยเชลล์ | การหาปริพันธ์แบบต่าง ๆ

แคลคูลัสเวกเตอร์ เป็นแขนงหนึ่งของคณิตศาสตร์ ว่าด้วยการเปลี่ยนแปลงของของเวกเตอร์ในมิติที่สูงกว่าหรือเท่ากับสองมิติ เนื้อหาประกอบด้วยเทคนิคในการแก้ปัญหาและสูตรคำนวณที่เกี่ยวข้องต่าง ๆ ซึ่งมีประโยชน์ใช้งานมากในทางวิศวกรรมและฟิสิกส์

สนามเวกเตอร์หมายถึงการระบุค่าเวกเตอร์ให้กับทุก ๆ จุดในปริภูมิที่พิจารณา เช่นเดียวกับสนามสเกลาร์ ซึ่งเป็นการระบุค่าสเกลาร์ให้กับทุก ๆ จุดในปริภูมิ เช่น อุณหภูมิของน้ำในสระ เป็นสนามสเกลาร์ โดยเป็นการระบุค่าอุณหภูมิ ซึ่งเป็นปริมาณสเกลาร์ให้กับแต่ละตำแหน่ง ส่วนการไหลของน้ำในสระนั้นเป็นสนามเวกเตอร์ เนื่องจากการไหลของน้ำที่แต่ละจุดนั้นจะถูกระบุด้วย เวกเตอร์ความเร็ว

ตัวดำเนินการที่สำคัญในแคลคูลัสเวกเตอร์
  • เกรเดียนต์ (gradient) ใช้สัญลักษณ์ \,\operatorname{grad}~\varphi\, หรือ \,\nabla\varphi\, : เป็นตัวดำเนินการใช้วัดอัตราและทิศทาง ความเปลี่ยนแปลงของสนามสเกลาร์ ดังนั้นเกรเดียนต์ของสนามสเกลาร์ จะได้เป็นสนามเวกเตอร์
  • ไดเวอร์เจนซ์ (divergence) ใช้สัญลักษณ์ \,\operatorname{div}~\vec F\, หรือ \,\nabla \cdot \vec F\, : เป็นตัวดำเนินการใช้วัดความลู่เข้าหรือลู่ออก (เป็นจุดกำเนิดสนาม) ของสนามเวกเตอร์ ณ จุดใด ๆ
  • เคิร์ล (curl) ใช้สัญลักษณ์ \,\operatorname{curl}~\vec F\, หรือ \,\nabla\times\vec F\, : เป็นตัวดำเนินการใช้วัดระดับความหมุนวน ณ จุดใด ๆ โดยเคิร์ลของสนามเวกเตอร์ จะได้เป็นอีกสนามเวกเตอร์หนึ่ง

ตัวดำเนินการอีกตัวหนึ่งคือตัวดำเนินการลาปลัส ได้จากการประยุกต์ไดเวอร์เจนซ์และเกรเดียนต์รวมกัน

ทฤษฎีที่สำคัญที่เกี่ยวข้อง

การวิเคราะห์เหล่านี้สามารถทำความเข้าใจได้ไม่ยาก โดยการใช้วิธีการทางเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ (แคลคูลัสเวกเตอร์ เป็นสาขาย่อยหนึ่งของ เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์)

การดำเนินการเวกเตอร์[แก้]

การดำเนินการพีชคณิต
พื้นฐานพีชคณิต (ไม่ใช่การหาอนุพันธ์) การดำเนินการในแคลคูลัสเวกเตอร์จะเรียกว่าพีชคณิตเวกเตอร์ ถูกกำหนดไว้สำหรับปริภูมิเวกเตอร์และได้ถูกนำไปประยุกต์ใช้กันทั่วโลกกับสนามเวกเตอร์และประกอบด้วย
  • การคูณสเกลาร์ การคูณของสนามสเกลาร์และสนามเวกเตอร์ย่อมได้สนามเวกเตอร์ a \bold{v};
  • การบวกเวกเตอร์ การบวกของสนามเวกเตอร์สองสนามย่อมได้สนามเวกเตอร์ \bold{v}_1 + \bold{v}_2;
  • ผลคูณจุด การคูณของสนามเวกเตอร์สองสนามย่อมได้สนามสเกลาร์ \bold{v}_1 \cdot \bold{v}_2;
  • ผลคูณไขว้ การคูณของสนามเวกเตอร์สองสนามย่อมได้สนามเวกเตอร์ \bold{v}_1 \times \bold{v}_2;

นอกจากนี้ยังมีผลคูณเชิงเวกเตอร์ของสามเวกเตอร์ 2 แบบ คือ:

ผลคูณเชิงสเกลาร์สามชั้น
ผลคูณจุดของผลคูณเวกเตอร์และผลคูณไขว้ของ 2 เวกเตอร์: \bold{v}_1\cdot\left( \bold{v}_2\times\bold{v}_3 \right);
ผลคูณเชิงเวกเตอร์สามชั้น
ผลคูณไขว้ของผลคูณเวกเตอร์และผลคูณไขว้ของ 2 เวกเตอร์: \bold{v}_1\times\left( \bold{v}_2\times\bold{v}_3 \right) or \left( \bold{v}_3\times\bold{v}_2\right)\times\bold{v}_1 ;

แม้ว่าสิ่งเหล่านี้จะเป็นการดำเนินการพื้นฐานที่มักจะถูกนำมาใช้น้อยกว่า, ดังเช่นที่สามารถแสดงได้ในแง่ของผลคูณจุดและผลคูณไขว้ก็ตาม

การดำเนินการอนุพันธ์[แก้]

แคลคูลัสเวกเตอร์ศึกษาเกี่ยวกับตัวดำเนินการอนุพันธ์ต่าง ๆ ที่กำหนดไว้ในสนามสเกลาร์หรือสนามเวกเตอร์, ซึ่งโดยปกติจะถูกแสดงในเทอมของตัวดำเนินการเดล (\nabla) หรือที่เรียกกันว่า "nabla" มีการดำเนินการอนุพันธ์ที่สำคัญที่สุดอยู่ห้าอย่างในแคลคูลัสเวกเตอร์:

การดำเนินการ สัญกรณ์ คำอธิบาย โดเมน/พิสัย
เกรเดียนต์ \operatorname{grad}(f)=\nabla f วัดอัตราและทิศทางของการเปลี่ยนแปลงในสนามสเกลาร์ แผนที่สนามสเกลาร์สู่สนามเวกเตอร์
เคิร์ล \operatorname{curl}(\mathbf{F})=\nabla\times\mathbf{F} วัดแนวโน้มของการหมุนในบริเวณโดยรอบจุดในสนามเวกเตอร์ แผนที่สนามเวกเตอร์ (เทียม) สู่สนามเวกเตอร์
ไดเวอร์เจนซ์ \operatorname{div}(\mathbf{F})=\nabla\cdot\mathbf{F} วัดสเกลาร์ของแหล่งที่มาหรือแหล่งกำเนิดกับสเกลาร์ของแหล่งที่รับเข้าไปหรือแหล่งจุดจบที่จุดที่กำหนดในสนามเวกเตอร์ แผนที่สนามเวกเตอร์สู่สนามสเกลาร์
ลาปลาเซียน เวกเตอร์ \nabla^2\mathbf{F}=\nabla(\nabla\cdot\mathbf{F})-\nabla\times(\nabla\times\mathbf{F}) องค์ประกอบของการดำเนินการเคริล์และการดำเนินการเกรเดียนต์ แผนที่ระหว่างสนามเวกเตอร์
ลาปลาเซียน \Delta f=\nabla^2 f=\nabla\cdot \nabla f องค์ประกอบของการดำเนินการไดเวอร์เจนซ์และการดำเนินการเกรเดียนต์ แผนที่ระหว่างสนามสเกลาร์