อนุพันธ์อันดับสอง

ในแคลคูลัส อนุพันธ์อันดับสอง (อังกฤษ: Second derivative) ของฟังก์ชัน $f$ คือ อนุพันธ์ของอนุพันธ์ของ $f$ อนุพันธ์อันดับสองสามารถกล่าวในลักษณะไม่เป็นทางการได้ว่าเป็น "อัตราการเปลี่ยนแปลงของอัตราการเปลี่ยนแปลง" ตัวอย่างเช่น อนุพันธ์อันดับสองของตำแหน่งของวัตถุเทียบกับเวลาคือความเร่งขณะหนึ่งของวัตถุ หรืออัตราที่ความเร็วของวัตถุเปลี่ยนแปลงไปตามเวลา

ในสัญกรณ์ไลบ์นิซ $a={\frac {dv}{dt}}={\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}$ โดยที่ $a$ คือ ความเร่ง, $v$ คือ ความเร็ว, $t$ คือ เวลา, $x$ คือ ตำแหน่ง และ d คือ "เดลตา" หรือการเปลี่ยนแปลงขณะหนึ่ง นิพจน์สุดท้าย ${\tfrac {d^{2}x}{dt^{2}}}$ คือ อนุพันธ์อันดับสองของตำแหน่ง ( $x$ ) เทียบกับเวลา

บนกราฟของฟังก์ชัน อนุพันธ์อันดับสองสอดคล้องกับความโค้ง หรือความเว้าของกราฟ กราฟของฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์อันดับสองเป็นลบจะเว้าบนในขณะที่กราฟของฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์อันดับสองเป็นลบจะโค้งในทิศตรงกันข้าม

กฎยกกำลังอนุพันธ์อันดับสอง

กฎยกกำลังสำหรับอนุพันธ์อันดับหนึ่ง หากกระทำสองครั้งจะสามารถสร้างกฎยกกำลังอนุพันธ์อันดับสองได้ดังนี้ ${\frac {d^{2}}{dx^{2}}}x^{n}={\frac {d}{dx}}{\frac {d}{dx}}x^{n}={\frac {d}{dx}}\left(nx^{n-1}\right)=n{\frac {d}{dx}}x^{n-1}=n(n-1)x^{n-2}$

สัญกรณ์

อนุพันธ์อันดับสองของ $f(x)$ โดยมากจะเขียนเป็น $f''(x)$ ^[1]^[2] ซึ่งคือ $f''=\left(f'\right)'$

เมื่อใช้สัญกรณ์ของไลบ์นิซสำหรับอนุพันธ์ อนุพันธ์อันดับสองของตัวแปรตาม $y$ เทียบตัวแปรอิสระ $x$ จะเขียนได้ว่า ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}$ ที่มาของสัญกรณ์นี้คือ ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\,=\,{\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{dx}}\right)$

ตัวอย่าง

เมื่อพิจารณาฟังก์ชัน

$f(x)=x^{3}$

อนุพันธ์ของ $f$ คือ ฟังก์ชัน

$f'(x)=3x^{2}$

อนุพันธ์อันดับสองของ $f$ คือ อนุพันธ์ของ $f'$ กล่าวคือ

$f''(x)=6x$

ความสัมพันธ์กับกราฟ

กราฟของ $f(x)=\sin(2x)$ จาก $-\pi /4$ ถึง $5\pi /4$ - เส้นสัมผัสเป็นสีน้ำเงินตรงที่เส้นโค้งเว้าขึ้น สีเขียวตรงที่เส้นโค้งเว้าลง และเป็นสีแดงที่จุดเปลี่ยนเว้า (0, $\pi$ /2, และ $\pi$ )

ความเว้า

อนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชัน $f$ สามารถใช้เพื่อกำหนด ความเว้า ของกราฟของ $f$ ^[2] ฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์อันดับสองเป็นบวกเรียก เว้าบน (หรือ นูน) ซึ่งมีความหมายว่าใกล้จุดที่สัมผัสกับฟังก์ชัน เส้นสัมผัสจะอยู่ใต้กราฟของฟังก์ชัน ในทำนองเดียวกัน ฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์อันดับสองเป็นลบจะเรียกว่า เว้าล่าง (หรือ เว้า) และเส้นสัมผัสใกล้กับจุดที่สัมผัสจะอยู่เหนือกราฟของฟังก์ชัน

จุดเปลี่ยนเว้า

ถ้าอนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชันเปลี่ยนเครื่องหมาย กราฟของฟังก์ชันจะเปลี่ยนจากเว้าล่างไปเป็นเว้าบนหรือกลับกัน จุดที่ทำให้เครื่องหมายเปลี่ยนนี้เรียกว่า จุดเปลี่ยนเว้า (inflection point) หากอนุพันธ์อันดับสองเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง แล้วอนุพันธ์อันดับสองต้องมีค่าเป็นศูนย์ที่จุดเปลี่ยนเว้าใด ๆ แม้ว่าไม่ใช่ทุกจุดที่อนุพันธ์อันดับสองเป็นศูนย์จะต้องเป็นจุดเปลี่ยนเว้าก็ตาม

การทดสอบอนุพันธ์อันดับสอง

ความสัมพันธ์ระหว่างอนุพันธ์อันดับสองกับกราฟสามารถใช้เพื่อทดสอบว่าจุดนิ่งของฟังก์ชัน (คือ จุดที่ $f'(x)=0$ ) ว่าใช่ค่าสูงสุดเฉพาะที่หรือค่าต่ำสุดเฉพาะที่ไหม

ถ้า $f''(x)<0$ , แล้ว $f$ มีค่าสูงสุดเฉพาะที่ที่ $x$
ถ้า $f''(x)>0$ , แล้ว $f$ มีค่าต่ำสุดเฉพาะที่ที่ $x$
ถ้า $f''(x)=0$ การทดสอบอนุพันธ์อันดับสองใช้ไม่ได้กับจุด $x$ นี้ อาจเป็นจุดเปลี่ยนเว้าได้

เหตุผลที่อนุพันธ์อันดับสองให้ผลลัพธ์เหล่านี้สามารถเห็นได้จากการเปรียบเทียบในชีวิตจริง พิจารณารถคันหนึ่งวิ่งไปข้างหน้าด้วยความเร็วสูงในตอนแรกแต่มีความเร่งเป็นลบ เห็นได้ชัดว่าตำแหน่งของรถ ณ จุดที่ความเร็วถึงศูนย์จะมีระยะทางเป็นค่าสูงสุดจากตำแหน่งเริ่มต้น หลังจากเวลานี้ ความเร็วจะกลายเป็นลบและรถจะถอยหลัง การเปรียบเทียบนี้ใช้ได้เช่นเดียวกับค่าต่ำสุด โดยทำให้รถในตอนแรกมีความเร็วเป็นลบมากแต่มีความเร่งเป็นบวกตรงกันข้ามกับกรณีของค่าสูงสุด

ลิมิต

สามารถเขียนลิมิตเพียงลิมิตเดียวแทนอนุพันธ์อันดับสองได้ดังนี้ $f''(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^{2}}}$ ลิมิตนี้เรียกว่าอนุพันธ์สมมาตรอันดับสอง^[3]^[4] อนุพันธ์สมมาตรอันดับสองอาจหาค่าได้ แม้ว่าอนุพันธ์อันดับสองโดยนิยามปกติจะหาไม่ได้ก็ตาม

นิพจน์ทางขวาสามารถเขียนเป็นผลหารเชิงผลต่างของผลหารเชิงผลต่างได้ดังนี้ ${\frac {f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^{2}}}={\frac {{\dfrac {f(x+h)-f(x)}{h}}-{\dfrac {f(x)-f(x-h)}{h}}}{h}}$ ลิมิตนี้สามารถมองได้เป็นรูปแบบที่ต่อเนื่องของผลต่างอันดับสองของลำดับ

อย่างไรก็ตาม การที่ลิมิตข้างต้นหาค่าได้ไม่ได้หมายว่าฟังก์ชัน $f$ นั้นมีอนุพันธ์อันดับสอง ลิมิตข้างต้นให้ความเป็นไปได้ในการคำนวณอนุพันธ์อันดับสอง แต่ไม่ใช่นิยาม ตัวอย่างค้าน เช่น ฟังก์ชันเครื่องหมาย $\operatorname {sgn}(x)$ ซึ่งนิยามว่า $\operatorname {sgn}(x)={\begin{cases}-1&{\text{if }}x<0,\\0&{\text{if }}x=0,\\1&{\text{if }}x>0\end{cases}}$ ฟังก์ชันเครื่องหมายไม่ต่อเนื่องที่ศูนย์ ดังนั้นอนุพันธ์อันดับสองที่ $x=0$ หาค่าไม่ได้ แต่ลิมิตข้างต้นหาค่าได้ที่ $x=0$ ${\begin{aligned}\lim _{h\to 0}{\frac {\operatorname {sgn}(0+h)-2\operatorname {sgn}(0)+\operatorname {sgn}(0-h)}{h^{2}}}&=\lim _{h\to 0}{\frac {\operatorname {sgn}(h)-2\cdot 0+\operatorname {sgn}(-h)}{h^{2}}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {\operatorname {sgn}(h)+(-\operatorname {sgn}(h))}{h^{2}}}=\lim _{h\to 0}{\frac {0}{h^{2}}}=0\end{aligned}}$

การประมาณกำลังสอง

เช่นเดียวกับอนุพันธ์อันดับหนึ่งที่เกี่ยวข้องกับการประมาณเส้นตรง อนุพันธ์อันดับสองก็เกี่ยวข้องกับการประมาณกำลังสองที่ดีที่สุดของฟังก์ชัน $f$ เป็นฟังก์ชันกำลังสองซึ่งมีอนุพันธ์อันดับหนึ่งและสองที่เหมือนกับของ $f$ ที่จุดหนึ่ง ๆ สูตรของการประมาณกำลังสองที่ดีที่สุดของ $f$ รอบ ๆ จุด $x = a$ คือ $f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a)+{\tfrac {1}{2}}f''(a)(x-a)^{2}$ การประมาณกำลังสองคือพหุนามเทย์เลอร์อันดับที่สองสำหรับฟังก์ชันที่มีจุดศูนย์กลางที่ $x = a$

ค่าเฉพาะและเวกเตอร์เฉพาะของอนุพันธ์อันดับสอง

เงื่อนไขขอบจำนวนมากสามารถหาสูตรสำหรับค่าเฉพาะและเวกเตอร์เฉพาะของอนุพันธ์อันดับสองออกมาได้โดยชัดแจ้ง สมมติให้ $x\in [0,L]$ และเงื่อนไขขอบดิริชเลต์เอกพันธ์ุ (เช่น $v(0)=v(L)=0$ โดยที่ $v$ เป็นเวกเตอร์เฉพาะ) ค่าเฉพาะเป็น $\lambda _{j}=-{\tfrac {j^{2}\pi ^{2}}{L^{2}}}$ และเวกเตอร์เฉพาะที่สอดคล้องกัน (เรียกอีกอย่างว่า ฟังก์ชันเฉพาะ ) คือ $v_{j}(x)={\sqrt {\tfrac {2}{L}}}\sin \left({\tfrac {j\pi x}{L}}\right)$ จะได้ $v''_{j}(x)=\lambda _{j}v_{j}(x)$ เมื่อ $j=1,\ldots ,\infty$

สำหรับกรณีอื่น ๆ ที่เป็นที่รู้จัก ดูที่ค่าเฉพาะและเวกเตอร์เฉพาะของอนุพันธ์อันดับสอง

การวางนัยทั่วไปสู่มิติที่สูงขึ้น

เมทริกซ์เฮสเซียน

อนุพันธ์อันดับสองวางนัยทั่วไปในมิติที่สูงกว่าผ่านแนวคิดของอนุพันธ์ย่อยอันดับสอง สำหรับฟังก์ชัน $f : R 3 \to R$ อนุพันธ์ย่อยอันดับสองประกอบด้วยอนุพันธ์ย่อยดังนี้

${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}},\;{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}},\;{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}$

และอนุพันธ์ย่อยผสม

${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial y}},\;{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial z}},\;{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial z}}$

ในบางกรณี เช่นเมื่ออนุพันธ์อันดับสองทุกตัวเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง เราสามารถนำอนุพันธ์อันดับสองทั้งหมดประกอบกันเป็นเมทริกซ์สมมาตร เรียกว่า เมทริกซ์เฮสเซียน ค่าเฉพาะของเมทริกซ์นี้สามารถใช้ทดสอบอนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชันหลายตัวแปร (ดูเพิ่มที่ การทดสอบอนุพันธ์ย่อยอันดับสอง)

ตัวดำเนินการลาปลาส

การวางนัยทั่วไปอีกรูปแบบหนึ่งของอนุพันธ์อันดับสอง คือ ตัวดำเนินการลาปลาส ซึ่งเป็นตัวดำเนินการดิฟเฟอเรนเชียล $\nabla ^{2}$ (หรือ $\Delta$ ) ที่กำหนดโดย

$\nabla ^{2}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}$

ลาปลาเซียนของฟังก์ชันเท่ากับไดเวอร์เจนซ์ของเกรเดียนต์ และเท่ากับรอยของเมทริกซ์เฮสเซียน

ดูเพิ่ม

ความเชิร์ป อนุพันธ์อันดับสองของเฟสขณะหนึ่ง
ผลต่างอันตะ ใช้ในการประมาณอนุพันธ์อันดับสอง
การทดสอบอนุพันธ์ย่อยอันดับสอง
ความสมมาตรของอนุพันธ์อันดับสอง

อ้างอิง

↑ "Content - The second derivative". amsi.org.au. สืบค้นเมื่อ 2020-09-16.
1 2 "Second Derivatives". Math24 (ภาษาอังกฤษแบบอเมริกัน). สืบค้นเมื่อ 2020-09-16.^{[ลิงก์เสีย]}
↑ A. Zygmund (2002). Trigonometric Series. Cambridge University Press. น. 22–23. ISBN 978-0-521-89053-3.
↑ Thomson, Brian S. (1994). Symmetric Properties of Real Functions. Marcel Dekker. น. 1. ISBN 0-8247-9230-0.

อ่านเพิ่มเติม

สิ่งพิมพ์

Anton, Howard; Bivens, Irl; Davis, Stephen (กุมภาพันธ์ 2, 2005), Calculus: Early Transcendentals Single and Multivariable (พิมพ์ครั้งที่ 8th), New York: Wiley, ISBN 978-0-471-47244-5{{citation}}: CS1 maint: date auto-translated (ลิงก์)
Apostol, Tom M. (มิถุนายน 1967), Calculus, Vol. 1: One-Variable Calculus with an Introduction to Linear Algebra, เล่มที่ 1 (พิมพ์ครั้งที่ 2nd), Wiley, ISBN 978-0-471-00005-1{{citation}}: CS1 maint: date auto-translated (ลิงก์)
Apostol, Tom M. (มิถุนายน 1969), Calculus, Vol. 2: Multi-Variable Calculus and Linear Algebra with Applications, เล่มที่ 1 (พิมพ์ครั้งที่ 2nd), Wiley, ISBN 978-0-471-00007-5{{citation}}: CS1 maint: date auto-translated (ลิงก์)
Eves, Howard (มกราคม 2, 1990), An Introduction to the History of Mathematics (พิมพ์ครั้งที่ 6th), Brooks Cole, ISBN 978-0-03-029558-4{{citation}}: CS1 maint: date auto-translated (ลิงก์)
Larson, Ron; Hostetler, Robert P.; Edwards, Bruce H. (กุมภาพันธ์ 28, 2006), Calculus: Early Transcendental Functions (พิมพ์ครั้งที่ 4th), Houghton Mifflin Company, ISBN 978-0-618-60624-5{{citation}}: CS1 maint: date auto-translated (ลิงก์)
Spivak, Michael (กันยายน 1994), Calculus (พิมพ์ครั้งที่ 3rd), Publish or Perish, ISBN 978-0-914098-89-8{{citation}}: CS1 maint: date auto-translated (ลิงก์)
Stewart, James (ธันวาคม 24, 2002), Calculus (พิมพ์ครั้งที่ 5th), Brooks Cole, ISBN 978-0-534-39339-7{{citation}}: CS1 maint: date auto-translated (ลิงก์)
Thompson, Silvanus P. (กันยายน 8, 1998), Calculus Made Easy (พิมพ์ครั้งที่ Revised, Updated, Expanded), New York: St. Martin's Press, ISBN 978-0-312-18548-0{{citation}}: CS1 maint: date auto-translated (ลิงก์)

หนังสือออนไลน์

Crowell, Benjamin (2003), Calculus
Garrett, Paul (2004), Notes on First-Year Calculus
Hussain, Faraz (2006), Understanding Calculus
Keisler, H. Jerome (2000), Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals
Mauch, Sean (2004), Unabridged Version of Sean's Applied Math Book, ข้อมูลเก่าจากต้นฉบับ เมื่อ 2006-04-15
Sloughter, Dan (2000), Difference Equations to Differential Equations
Strang, Gilbert (1991), Calculus
Stroyan, Keith D. (1997), A Brief Introduction to Infinitesimal Calculus, ข้อมูลเก่าจากต้นฉบับ เมื่อ 2005-09-11
Wikibooks, Calculus

แหล่งข้อมูลอื่น

อนุพันธ์อันดับสองแบบไม่ต่อเนื่องจากจุดที่เว้นระยะไม่เท่ากัน

[1] "Content - The second derivative". amsi.org.au. สืบค้นเมื่อ 2020-09-16.

[:1-2] 1 2 "Second Derivatives". Math24 (ภาษาอังกฤษแบบอเมริกัน). สืบค้นเมื่อ 2020-09-16.^{[ลิงก์เสีย]}

[Zygmund2002-3] A. Zygmund (2002). Trigonometric Series. Cambridge University Press. น. 22–23. ISBN 978-0-521-89053-3.

[4] Thomson, Brian S. (1994). Symmetric Properties of Real Functions. Marcel Dekker. น. 1. ISBN 0-8247-9230-0.

[1]

[2]

[3]

[4]