เลอ็อนฮาร์ท อ็อยเลอร์

เลอ็อนฮาร์ท อ็อยเลอร์
เลอ็อนฮาร์ท อ็อยเลอร์ วาดโดยเอ็มมานูเอล ฮันด์มันน์ (Emanuel Handmann) เมื่อ ค.ศ.1753
เกิด	15 เมษายน ค.ศ. 1707(1707-04-15) บาเซิล สวิตเซอร์แลนด์
เสียชีวิต	18 กันยายน ค.ศ. 1783(1783-09-18) (76 ปี) [OS: 7 กันยายน 1783] เซนต์ปีเตอส์เบิร์ก จักรวรรดิรัสเซีย
ศิษย์เก่า	มหาวิทยาลัยบาเซิล (MPhil)
อาชีพทางวิทยาศาสตร์
สาขา	คณิตศาสตร์และฟิสิกส์
วิทยานิพนธ์	Dissertatio physica de sono (วิทยานิพนธ์ทางฟิสิกส์ว่าด้วยเสียง) (1726)
อาจารย์ที่ปรึกษาในระดับปริญญาเอก	โยฮัน แบร์นุลลี
ลูกศิษย์ในระดับปริญญาเอก	โยฮัน เฮ็นเนิร์ท
ลูกศิษย์ที่มีชื่อเสียงอื่น ๆ	นิคโคลัส ฟูส สเตปัน รูมอฟสกี โฌแซ็ฟ-หลุยส์ ลากร็องฌ์ (ติดต่อกันผ่านจดหมาย) แอนเดิร์ส โยฮัน เล็กเซลล์
ลายมือชื่อ

เลอ็อนฮาร์ท อ็อยเลอร์ (เยอรมัน: Leonhard Euler; 15 เมษายน ค.ศ. 1707 – 18 กันยายน ค.ศ. 1783) เป็นนักคณิตศาสตร์และนักฟิสิกส์ชาวสวิส ได้ชื่อว่าเป็นนักคณิตศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่ที่สุดคนหนึ่งของโลก อ็อยเลอร์เป็นบุคคลแรกที่เริ่มใช้คำว่า "ฟังก์ชัน" ในแวดวงคณิตศาสตร์ (ตามคำนิยามของไลบ์นิทซ์ใน ค.ศ. 1694) ในการบรรยายถึงความสัมพันธ์ที่เกี่ยวข้องกับตัวแปร เช่น y = f(x) นอกจากนี้ เขายังเป็นคนแรกที่นำแคลคูลัสเข้าไปประยุกต์ในศาสตร์ฟิสิกส์

อ็อยเลอร์เกิดและโตในเมืองบาเซิล เขาเป็นเด็กที่มีความเป็นอัจฉริยะทางคณิตศาสตร์ เขาเป็นศาสตราจารย์สอนวิชาคณิตศาสตร์ที่เซนต์ปีเตอส์เบิร์ก และต่อมาก็สอนที่เบอร์ลิน และกลับไปอยู่ที่เซนต์ปีเตอส์เบิร์กจวบจนวาระสุดท้ายของชีวิต เขาเป็นนักคณิตศาสตร์มีผลงานมากมายที่สุดคนหนึ่ง ผลงานทั้งหมดของเขารวบรวมได้ถึง 75 เล่ม ผลงานเหล่านี้มีอิทธิพลอย่างมากต่อการพัฒนาของคณิตศาสตร์ในคริสต์ศตวรรษที่ 18 อ็อยเลอร์สูญเสียการมองเห็นและตาบอดสนิทตลอด 17 ปีสุดท้ายในชีวิตของเขา ถึงกระนั้น ในช่วงนี้เองที่เขาสามารถผลิตผลงานได้มากถึงครึ่งหนึ่งของผลงานทั้งหมดที่เขาผลิตขึ้นมา

ดาวเคราะห์น้อย 2002 อ็อยเลอร์ ตั้งชื่อเพื่อเป็นเกียรติแก่เขา

ผลงาน

การตีความหมายเชิงเรขาคณิตของสูตรของอ็อยเลอร์

อ็อยเลอร์มีผลงานในแทบทุกสาขาของวิชาคณิตศาสตร์ เช่น เรขาคณิต แคลคูลัส ตรีโกณมิติ พีชคณิต ทฤษฎีจำนวน เป็นต้น เช่นเดียวกับแวดวงฟิสิกส์ เช่น ผลงานเรื่องกลศาสตร์ความต่อเนื่อง ทฤษฎีการเคลื่อนที่ของดวงจันทร์ เป็นต้น อ็อยเลอร์ถือว่าเป็นบุคคลสำคัญคนหนึ่งในประวัติศาสตร์แห่งคณิตศาสตร์

อ็อยเลอร์ได้รับการตั้งเป็นชื่อของจำนวน 2 จำนวน อันได้แก่ จำนวนของอ็อยเลอร์ (e) ซึ่งมีค่าประมาณ 2.71828 และค่าคงตัวอ็อยเลอร์-มัสเกโรนี (γ) มีค่าประมาณ 0.57721

$e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi .\,$ — สูตรของอ็อยเลอร์ : สมการแสดงความสัมพันธ์ระหว่างฟังก์ชันตรีโกณมิติกับฟังก์ชันเลขชี้กำลังเชิงซ้อน

$e^{i\pi }+1=0\,$ — เอกลักษณ์ของอ็อยเลอร์ : เป็นกรณีหนึ่งของสูตรอ็อยเลอร์ ($\varphi =\pi$) โดยแสดงค่าคงตัวทางคณิตศาสตร์ถึง 5 อย่าง (ได้แก่ e, i, π, 1, 0)

สัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์

อ็อยเลอร์เสนอเครื่องหมายทางคณิตศาสตร์จำนวนมากผ่านผลงานตำราของเขาที่ได้รับการเผยแพร่ไปกว้างขวาง จนเป็นที่นิยมใช้กันอย่างแพร่หลาย ตัวอย่างที่เด่นชัดที่สุดคือ เขาเป็นผู้เสนอความคิดรวบยอดเรื่องฟังก์ชัน และใช้สัญลักษณ์ f(x) เป็นครั้งแรก ซึ่งมีความหมายว่า ฟังก์ชัน f ใด ๆ ที่ใช้เข้ากับตัวแปร (อาร์กิวเมนต์) x นอกจากนี้ อ็อยเลอร์ยังคิดค้นเครื่องหมายตรีโกณมิติที่ใช้กันอย่างแพร่หลายในปัจจุบัน ใช้อักษร e แทนฐานของลอการิทึมธรรมชาติ (ในปัจจุบัน e มีชื่อว่าจำนวนของอ็อยเลอร์) ใช้อักษรกรีก Σ (ซิกมา) แทนสัญกรณ์ผลรวมจากการบวกของเซตจำนวน และใช้อักษร i แทนหน่วยจินตภาพ เป็นต้น นอกจากนี้ อ็อยเลอร์ยังใช้อักษรกรีก π ที่แสดงถึงอัตราส่วนระหว่างเส้นรอบวงต่อเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมใด ๆ ซึ่งเป็นผลให้เกิดความนิยมใช้กันอย่างแพร่หลาย แม้ว่าผู้ริเริ่มใช้สัญลักษณ์ π คนแรกคือ วิลเลียม โจนส์ นักคณิตศาสตร์ชาวเวลส์ก็ตาม

คณิตวิเคราะห์

การพัฒนาแคลคูลัสกณิกนันต์เป็นหัวข้อวิจัยที่นักคณิตศาสตร์ในคริสต์ศตวรรษที่ 18 นิยมศึกษามากที่สุด รวมถึงตระกูลแบร์นุลลีซึ่งสนิทสนมกับตระกูลของอ็อยเลอร์ก็มีส่วนสำคัญในการพัฒนาแคลคูลัสในยุคแรกเริ่ม อิทธิพลของตระกูลแบร์นุลลีนี้เองที่ทำให้แคลคูลัสเป็นเป้าหมายสำคัญในงานของอ็อยเลอร์ ถึงแม้ว่าบทพิสูจน์บางข้อของอ็อยเลอร์จะไม่เป็นที่ยอมรับตามมาตรฐานความรัดกุมของคณิตศาสตร์ในปัจจุบัน เนื่องจากอ็อยเลอร์ใช้หลักการความเป็นนัยทั่วไปของพีชคณิต (generality of algebra) เป็นแกนหลักของการพิสูจน์ อย่างไรเสียแนวคิดของอ็อยเลอร์นำไปสู่การค้นพบใหม่จำนวนมากในคณิตวิเคราะห์

อ็อยเลอร์เป็นที่รู้จักจากการใช้อนุกรมกำลังของเขา เพื่อเขียนฟังก์ชันในรูปของผลบวกอนันต์ ความรู้ด้านอนุกรมกำลังของอ็อยเลอร์ทำให้เขาสามารถแก้ปัญหาบาเซิลได้สำเร็จในปีค.ศ. 1735 (เขาเสนอบทพิสูจน์ที่ละเอียดขึ้นในปีค.ศ. 1741)

$\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over n^{2}}=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{n^{2}}}\right)={\frac {\pi ^{2}}{6}}.$

อ็อยเลอร์เสนอค่าคงตัวต่อไปนี้

$\gamma =\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\dotsb +{\frac {1}{n}}-\ln(n)\right)\approx 0.5772$

ซึ่งในปัจจุบันเราเรียกว่า ค่าคงตัวของอ็อยเลอร์ หรือ ค่าคงตัวอ็อยเลอร์-มัสเกโรนี นอกจากนี้อ็อยเลอร์ยังศึกษาค่าคงตัวนี้และความเกี่ยวข้องกับอนุกรมฮาร์มอนิก ฟังก์ชันแกมมา และค่าของฟังก์ชันซีตาของรีมันบางค่าอีกด้วย

ทฤษฎีกราฟ

แผนที่ของเมืองเคอนิชส์แบร์คในยุคสมัยเดียวกับอ็อยเลอร์ ชี้ให้เห็นตำแหน่งของสะพานทั้งเจ็ดซึ่งระบายสีเน้น

ในปี ค.ศ. 1735 อ็อยเลอร์ได้เสนอคำตอบของข้อปัญหาที่ปัจจุบันรู้จักกันในชื่อสะพานทั้งเจ็ดแห่งเมืองเคอนิชส์แบร์ค เคอนิชส์แบร์คเป็นเมืองในปรัสเซียซึ่งมีแม่น้ำเพรเกิลไหลผ่าน ทำให้เกิดเกาะขนาดใหญ่สองเกาะกลางแม่น้ำ มีสะพานเชื่อมเกาะและฝั่งทั้งหมดเจ็ดสะพาน ข้อปัญหาถามว่าเป็นไปได้หรือไม่ที่จะเดินจากจุดเริ่มต้นแล้วข้ามทุกสะพานเพียงครั้งเดียวเท่านั้น และสามารถกลับมาจุดเริ่มต้นได้ อ็อยเลอร์พิสูจน์ได้ว่าเป็นไปไม่ได้เพราะไม่มีวงจรอ็อยเลอร์ บทพิสูจน์ข้อปัญหาดังกล่าวถือว่าเป็นทฤษฎีบทแรกของทฤษฎีกราฟ

อ็อยเลอร์ยังค้นพบสูตร $V-E+F=2$ ซึ่งเชื่อมโยงความสัมพันธ์ระหว่างจำนวนจุดยอด $V$, จำนวนเส้นขอบ $E$ และจำนวนหน้า $F$ ของรูปทรงหลายเหลี่ยมนูน[8] ซึ่งใช้ได้กับกราฟเชิงระนาบด้วย ค่าคงตัวในสมการดังกล่าว (ในที่นี้คือ 2) ปัจจุบันเรียกว่าค่าลักษณะเฉพาะอ็อยเลอร์ของกราฟ (หรือวัตถุทางคณิตศาสตร์อื่น ๆ) และสัมพันธ์กับจีนัสของวัตถุนั้น การศึกษาสมการนี้และผลขยายนัยทั่วไปของสมการดังกล่าว โดยเฉพาะอย่างยิ่งโดยโอกุสแต็ง-หลุยส์ โกชี และซีมง อ็องตวน ฌ็อง ลุยลีเย เป็นจุดเริ่มต้นของวิชาทอพอโลยี

ดูเพิ่ม

• แผนภาพอ็อยเลอร์
• ปริพันธ์อ็อยเลอร์
• ข้อความคาดการณ์ของอ็อยเลอร์
• สะพานทั้งเจ็ดแห่งเมืองเคอนิชส์แบร์ค

อ้างอิง

แหล่งข้อมูล

• Dunham, William (1999). Euler: The Master of Us All. Dolciani Mathematical Expositions. Vol. 22. Mathematical Association of America. ISBN 978-0-88385-328-3. เก็บจากแหล่งเดิมเมื่อ 13 June 2021. สืบค้นเมื่อ 12 November 2015.
• Richeson, David S. (2012). Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topology. Princeton University Press. p. 17. ISBN 978-1-4008-3856-1.

อ่านเพิ่ม

• Bradley, Robert E.; D'Antonio, Lawrence A.; Sandifer, Charles Edward (2007). Euler at 300: An Appreciation. Mathematical Association of America. ISBN 978-0-88385-565-2.
• Bradley, Robert E.; Sandifer, Charles Edward, บ.ก. (2007). Leonhard Euler: Life, Work and Legacy. Studies in the History and Philosophy of Mathematics. Vol. 5. Elsevier. ISBN 978-0-444-52728-8. เก็บจากแหล่งเดิมเมื่อ 19 June 2021. สืบค้นเมื่อ 8 June 2021.
• Dunham, William (2007). The Genius of Euler: Reflections on his Life and Work. Mathematical Association of America. ISBN 978-0-88385-558-4.
• Hascher, Xavier; Papadopoulos, Athanase, บ.ก. (2015). Leonhard Euler : Mathématicien, physicien et théoricien de la musique (ภาษาฝรั่งเศส). Paris: CNRS Editions. ISBN 978-2-271-08331-9. เก็บจากแหล่งเดิมเมื่อ 8 June 2021. สืบค้นเมื่อ 8 June 2021.
• Sandifer, C. Edward (2007). The Early Mathematics of Leonhard Euler. Mathematical Association of America. ISBN 978-0-88385-559-1.
• Sandifer, C. Edward (2007). How Euler Did It. Mathematical Association of America. ISBN 978-0-88385-563-8.
• Sandifer, C. Edward (2015). How Euler Did Even More. Mathematical Association of America. ISBN 978-0-88385-584-3. เก็บจากแหล่งเดิมเมื่อ 16 June 2021. สืบค้นเมื่อ 8 June 2021.
• Schattschneider, Doris, บ.ก. (November 1983). "A Tribute to Leonhard Euler 1707–1783 (special issue)". Mathematics Magazine. 56 (5). JSTOR i326726.

แหล่งข้อมูลอื่น

• Leonhardeuler.com
• eulerarchive.org เว็บไซด์รวบรวมผลงานของอ็อยเลอร์