กฎของโลปีตาล

ตัวอย่างการประยุกต์ใช้ของกฎของโลปีตาล เมื่อ ${\color {orange}f(x)}=\color {orange}\sin(x)$ และ ${\color {red}g(x)}=\color {red}-0.5x$ ของฟังก์ชัน ${\color {brown}h(x)}={\color {orange}f(x)}/{\color {red}g(x)}$ จะไม่นิยาม ณ ตำแหน่ง x = 0 แต่สามารถทำให้ฟังก์ชันนั้นต่อเนี่องใน $\mathbb {R}$ โดยนิยามให้ .${\color {brown}h(0)}={\color {teal}f'(0)}/{\color {blue}g'(0)}=-2$

ในแคลคูลัส กฎของโลปีตาล (อังกฤษ: L'Hôpital's rule) หรือ กฎของแบร์นูลลี (อังกฤษ: ฺBernoulli's rule) เป็นทฤษฎีบทคณิตศาสตร์ที่ว่าด้วยการหาค่าลิมิตที่อยู่ในรูปแบบยังไม่กำหนด (อังกฤษ: indeterminate forms) ด้วยการใช้อนุพันธ์กฎนี้มักนำมาใช้ในการเปลี่ยนรูปแบบยังไม่กำหนด เป็นรูปแบบกำหนด เพื่อให้ง่ายต่อการคำนวณลิมิตโดยการแทนค่าเข้าไปตรง ๆ กฎนี้ถูกตั้งชื่อตามนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสกีโยม เดอ โลปีตาล ถึงแม้กฎนี้มักถูกพิจารณาว่าถูกเขียนโดยเดอ โลปีตาล แต่ทฤษฎีบทนี้แบร์นูลลีเป็นคนเสนอให้กับเขา

กฏของโลปีตาล — ฟังก์ชัน $f$ และ $g$ ที่หาอนุพันธ์ได้บนช่วงเปิด $I$ ยกเว้นเมื่อที่จุด $c$ อยู่ใน $I$

ถ้า $\lim \limits _{x\to c}f(x)=\lim \limits _{x\to c}g(x)=0$ หรือ $\pm \infty$ และ $g'(x)\neq 0$ สำหรับทุก $x$ ใน $I$ ที่ $x\neq c$ และ $\lim \limits _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$ หาค่าได้

แล้ว $\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$

ประวัติ

กีโยม เดอ โลปีตาลเผยแพร่กฎนี้ในปีพ.ศ.2239 (ค.ศ.1696) ในหนังสือชื่อ Analyse des Infiniment Petits pour l'Intelligence des Lignes Courbes เป็นหนังสือเล่มแรกที่เขียนเกี่ยวกับแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ ถึงอย่างไรก็ตาม เชื่อกันว่ากฎนี้ถูกค้นพบโดยนักคณิตศาสตร์ชาวสวิสชื่อโยฮันน์ แบร์นูลลี

รูปทั่วไป

รูปทั่วไปของกฎของโลปีตาลครอบคลุมหลากหลายกรณี ให้ $c$ และ $L$ เป็นจำนวนจริงส่วนขยาย (ต.ย. จำนวนจริง อนันต์บวก อนันต์ลบ) ให้ $I$ เป็นช่วงเปิดที่มี $c$ อยู่ (สำหรับลิมิตสองข้าง) หรือช่วงเปิดที่มี $c$ เป็นจุดปลาย (สำหรับลิมิตข้างเดียว หรือลิมิตที่อนันต์ ถ้า $c$ เป็นอนันต์) สมมติให้ฟังก์ชันค่าจริง $f$ และ $g$ หาอนุพันธ์ได้บน $I$ อาจยกเว้นที่ $c$ และ $g'(x)\neq 0$ บน $I$ อาจยกเว้นที่ $c$ ด้วย ยังสมมติให้ ${\textstyle \lim \limits _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}=L}$ ดังนั้นกฎนี้สามารถใช้ได้ในสถานการณ์เมื่ออัตราส่วนของอนุพันธ์มี่ค่าจำกัดหรือไม่จำกัด แต่ใข้ไม่ได้ในสถานการณ์อัตราส่วนแปรปรวนตลอดที่ $x$ มีค่าเข้าไกล้ $c$

ถ้า

$\lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}g(x)=0$

หรือ

$\lim _{x\to c}|f(x)|=\lim _{x\to c}|g(x)|=\infty$

อย่างใดอย่างหนึ่งแล้ว

$\lim _{x\to c}{f(x) \over g(x)}=L$

ถึงแม้ว่าเราจะเขียนในรูป $x\to c$ ตลอด ลิมิตนั้นอาจเป็นลิมิตข้างเดียว ($x\to c^{+}$ หรือ $x\to c^{-}$) เมื่อ $c$ เป็นจุดปลายจำกัดของ $I$

ในกรณีที่สองนั้น สมมุติฐานให้ $f$ ลู่ออกไปอนันต์จะไม่ได้ถูกใช้ในบทพิสูจน์ (ดูหมายเหตุตรงท้ายหัวเรื่องบทพิสูจน์) ดั้งนั้นโดยปกติเงื่อนไขของกฎจะกล่าวไว้ตามข้างบน เงื่อนไขที่เพียงพอที่สองที่จะทำให้กระบวนการของกฎนี้ถูกต้องสามารถกล่าวได้อย่างสั้น ๆ ว่า ${\textstyle \lim _{x\to c}|g(x)|=\infty }$

สมมุติฐานที่ว่า $g'(x)\neq 0$ จะพบเห็นได้บ่อยตามงานเขียน แต่บางผู้เขียนละสมมุติฐานนี้โดยการเขียนสมมติฐานอื่น วิธีหนึ่งคือการนิยามลิมิตของฟังก์ชันนั้นโดยเพิ่มข้อกำหนดทีฟังก์ชันที่ใช้หาลิมิตนั้นต้องถูกนิยามทุกที่บนช่วงที่เกี่ยวข้อง $I$ อาจยกเว้นที่ $c$ อีกวิธีคือให้ทั้ง $f$ และ $g$ จำเป็นที่จะต้องหาอนุพันธ์ได้ทุกที่บนช่วงที่มี $c$ อยู่

ตัวอย่าง

• ตัวอย่างพื้นฐานที่มีฟังก์ชันเลขชี้กำลัง ในรูปแบบยังไม่กำหนด ${\frac {0}{0}}$ ที่ $x=0$
  $${\begin{aligned}\lim _{x\to 0}{\frac {e^{x}-1}{x^{2}+x}}&=\lim _{x\to 0}{\frac {{\frac {d}{dx}}(e^{x}-1)}{{\frac {d}{dx}}(x^{2}+x)}}\\[4pt]&=\lim _{x\to 0}{\frac {e^{x}}{2x+1}}\\[4pt]&=1\end{aligned}}$$
• ตัวอย่างที่ซับซ้อนขึ้นที่เป็น ${\textstyle {\frac {0}{0}}}$ การใช้กฎของโลปีตาลเพียงครั้งเดียวผลลัพท์ยังคงเป็นรูปแบบยังไม่กำหนดอยู่ ในที่นี้ ลิมิตอาจหาค่าได้โดยการใชกฎของโลปีตาลสามครั้ง

$${\begin{aligned}\lim _{x\to 0}{\frac {2\sin(x)-\sin(2x)}{x-\sin(x)}}&=\lim _{x\to 0}{\frac {2\cos(x)-2\cos(2x)}{1-\cos(x)}}\\[4pt]&=\lim _{x\to 0}{\frac {-2\sin(x)+4\sin(2x)}{\sin(x)}}\\[4pt]&=\lim _{x\to 0}{\frac {-2\cos(x)+8\cos(2x)}{\cos(x)}}\\[4pt]&={\frac {-2+8}{1}}\\[4pt]&=6\end{aligned}}$$

• ตัวอย่างที่เป็น ${\textstyle {\frac {\infty }{\infty }}}$
  $$\lim _{x\to \infty }{\frac {x^{n}}{e^{x}}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {nx^{n-1}}{e^{x}}}=n\cdot \lim _{x\to \infty }{\frac {x^{n-1}}{e^{x}}}$$
  ใช้กฎของโลปีตาลซ้ำไปเรื่อย ๆ จนกว่าเลขชี้กำลังจะเป็นศูนย์ (ถ้า $n$ เป็นจำนวนเต็ม) หรือติดลบ (ถ้า $n$ เป็นเศษส่วน) ถีงจะสรุปได้ว่าลิมิตมีค่าเป็นศูนย์
• ตัวอย่างที่เป็นรูปแบบยังไม่กำหนด $0\cdot \infty$ (ดูข้างล่าง) ซึ่งเขียนใหม่ได้ในรูป ${\frac {\infty }{\infty }}$
  $$\lim _{x\to 0^{+}}x\ln x=\lim _{x\to 0^{+}}{\frac {\ln x}{\frac {1}{x}}}=\lim _{x\to 0^{+}}{\frac {\frac {1}{x}}{-{\frac {1}{x^{2}}}}}=\lim _{x\to 0^{+}}-x=0.$$
• สามารถใช้กฎของโลปีตาลในการพิสูจน์ทฤษฎีบทที่ว่า ถ้า $f$ หาอนุพันธ์ได้สองครั้งในบริเวณใกล้เคียงกับ $x$ และอนุพันธ์อันดับสองต่อเนื่องในบริเวณใกล้เคียงนี้ แล้ว
  $${\begin{aligned}\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)+f(x-h)-2f(x)}{h^{2}}}&=\lim _{h\to 0}{\frac {f'(x+h)-f'(x-h)}{2h}}\\[4pt]&=\lim _{h\to 0}{\frac {f''(x+h)+f''(x-h)}{2}}\\[4pt]&=f''(x)\end{aligned}}$$
• บางครั้งมีวิธีพลิกแพลงที่ใช้กฎของโลปีตาล เช่นสมมติให้ $f(x)+f'(x)$ ลู่เข้าเมื่อ $x\to \infty$ และ $e^{x}\cdot f(x)$ ลู่เข้าหาอนันต์บวกหรืออนันต์ลบ แล้ว
  $$\lim _{x\to \infty }f(x)=\lim _{x\to \infty }{\frac {e^{x}\cdot f(x)}{e^{x}}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {e^{x}{\bigl (}f(x)+f'(x){\bigr )}}{e^{x}}}=\lim _{x\to \infty }{\bigl (}f(x)+f'(x){\bigr )}$$
  ดังนั้นถ้า ${\textstyle \lim _{x\to \infty }f(x)}$ หาค่าได้ แล้ว ${\textstyle \lim _{x\to \infty }f'(x)=0}$

รูปแบบยังไม่กำหนดอื่น ๆ

รูปแบบยังไม่กำหนดอื่น ๆ เช่น $1^{\infty }$ $0^{0}$ $\infty ^{0}$ $0\cdot \infty$ และ $\infty -\infty$ สามารถหาค่าโดยใช้กฎของโลปีตาลได้ เช่นการหาลิมิตทีมี $\infty -\infty$ โดยการเปลี่ยนสองฟังก์ชันที่ลบกันเป็นการหาร

${\begin{aligned}\lim _{x\to 1}\left({\frac {x}{x-1}}-{\frac {1}{\ln x}}\right)&=\lim _{x\to 1}{\frac {x\cdot \ln x-x+1}{(x-1)\cdot \ln x}}&\quad (1)\\[6pt]&=\lim _{x\to 1}{\frac {\ln x}{{\frac {x-1}{x}}+\ln x}}&\quad (2)\\[6pt]&=\lim _{x\to 1}{\frac {x\cdot \ln x}{x-1+x\cdot \ln x}}&\quad (3)\\[6pt]&=\lim _{x\to 1}{\frac {1+\ln x}{1+1+\ln x}}&\quad (4)\\[6pt]&=\lim _{x\to 1}{\frac {1+\ln x}{2+\ln x}}\\[6pt]&={\frac {1}{2}}\\\end{aligned}}$

กฎของโลปีตาลถูกใช้ในขั้นตอนจาก (1) ไป (2) และอีกครั้งในขั้นตอน (3) ไป (4)

กฎของโลปีตาลใช้ได้กับรูปแบบยังไม่กำหนดที่มีเลขยกกำลังโดยใช้ลอการิทึมช่วย"ตบเลขยกกำลังลงมา" ตัวอย่างเช่น

$\lim _{x\to 0^{+}}x^{x}=\lim _{x\to 0^{+}}e^{\ln(x^{x})}=\lim _{x\to 0^{+}}e^{x\cdot \ln x}=e^{\lim \limits _{x\to 0^{+}}(x\cdot \ln x)}$

ย้ายลิมิตเข้าไปในฟังก์ชันเลขชี้กำลังได้เพราะฟังก์ชันเลขชี้กำลังเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง และการที่เลขชี้กำลัง $x$ "อยู่ข้างล่าง" ลิมิต $\lim _{x\to 0^{+}}x\cdot \ln x$ อยู่ในรูปแบบยังไม่กำหนด $0\cdot \infty$ แต่จากที่ได้แสดงในตัวอย่างข้างบนมา กฎของโลปีตาลยังสามารถบอกได้ว่า

$\lim _{x\to 0^{+}}x\cdot \ln x=0$ ดังนั้น $\lim _{x\to 0^{+}}x^{x}=e^{0}=1$

ตารางต่อไปนี้คือรายการรูปแบบยังไม่กำหนดที่พบบ่อย กับการแปลงโดยใช้กฎโลปีตาล

รูปแบบยังไม่กำหนด	เงื่อนไข	การแปลงเป็น $0/0$
$${\frac {0}{0}}$$	$\lim _{x\to c}f(x)=0,\ \lim _{x\to c}g(x)=0\!$	—
$${\frac {\infty }{\infty }}$$	$\lim _{x\to c}f(x)=\infty ,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!$	$\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {1/g(x)}{1/f(x)}}\!$
$$0\cdot \infty$$	$\lim _{x\to c}f(x)=0,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!$	$\lim _{x\to c}f(x)g(x)=\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{1/g(x)}}\!$
$$\infty -\infty$$	$\lim _{x\to c}f(x)=\infty ,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!$	$\lim _{x\to c}(f(x)-g(x))=\lim _{x\to c}{\frac {1/g(x)-1/f(x)}{1/(f(x)g(x))}}\!$
$$0^{0}$$	$\lim _{x\to c}f(x)=0^{+},\lim _{x\to c}g(x)=0\!$	$\lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/\ln f(x)}}\!$
$$1^{\infty }$$	$\lim _{x\to c}f(x)=1,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!$	$\lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {\ln f(x)}{1/g(x)}}\!$
$$\infty ^{0}$$	$\lim _{x\to c}f(x)=\infty ,\ \lim _{x\to c}g(x)=0\!$	$\lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/\ln f(x)}}\!$

บทพิสูจน์กฎโลปีตาล

กรณีพิเศษ

การพิสูจน์กฎโลปีตาลนั้นง่ายในกรณีที่ $f$ และ $g$ ต่อเนื่องและหาค่าอนุพันธ์ได้ที่จุด $c$ และหลังหาอนุพันธ์ครั้งแรกจะเจอลิมิตจำกัด จึงไม่ใช่การพิสูจน์กฎโลปีตาลทั่วไปเพราะมีความจำกัดกว่านิยาม ฟังก์ชันทั้งสองต้องต่อเนื่องและหาค่าอนุพันธ์ได้ และ $c$ เป็นจำนวนจริง เนื่องจากฟังก์ชันทั่วไปต่อเนื่องและหาค่าอนุพันธ์ได้ (ต.ย. พหุนาม ไซน์และโคไซน์ ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง) จึงเป็นกรณีที่สมควรแก่การสนใจ

ให้ $f$ และ $g$ ต่อเนื่องและหาค่าอนุพันธ์ได้ที่จำนวนจริง $c$ โดย $f(c)=g(c)=0$ และ $g'(c)\neq 0$ แล้ว

$${\begin{aligned}&\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f(x)-0}{g(x)-0}}=\lim _{x\to c}{\frac {f(x)-f(c)}{g(x)-g(c)}}\\[6pt]={}&\lim _{x\to c}{\frac {\left({\frac {f(x)-f(c)}{x-c}}\right)}{\left({\frac {g(x)-g(c)}{x-c}}\right)}}={\frac {\lim \limits _{x\to c}\left({\frac {f(x)-f(c)}{x-c}}\right)}{\lim \limits _{x\to c}\left({\frac {g(x)-g(c)}{x-c}}\right)}}={\frac {f'(c)}{g'(c)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}\end{aligned}}$$

มาจากนิยามอัตราส่วนเชิงผลต่างของอนุพันธ์ การเท่ากันครั้งสุดท้ายเกิดจากความต่อเนื่องของอนุพันธ์ที่ $c$ ลิมิตทีสรุปมาได้เป็นรูปแบบกำหนดเพราะ $g'(c)\neq 0$

บทพิสูจน์ทั่วไปของกฎโลปีตาลได้รับการอธีบายไว้ข้างล่างนี้

บทพิสูจน์ทั่วไป

บทพิสูจน์ต่อไปนี้เป็นของเทย์เลอร์ (1952) ซึ่งพิสูจน์รูปแบบยังไม่กำหนดทั้ง ${\textstyle {\frac {0}{0}}}$ และ ${\textstyle {\frac {\pm \infty }{\pm \infty }}}$ เทย์เลอร์ยังทราบว่ามีบทพิสูจน์อื่นอยู๋ในเลตเทินมาเยอร์ (1936) และวาเซวสกี (1949)

ให้ $f$ และ $g$ เป็นฟังชันที่สอดคล้องกับสมมติฐานที่ตั้งไว้ในหัวข้อรูปทั่วไป ให้ ${\mathcal {I}}$ เป็นช่วงเปิดในสมมติฐานที่มีจุดปลาย $c$ พิจรณาให้ $g'(x)\neq 0$ บนช่วงนี้ และ $g$ ต่อเนื่อง สามารถเลือก ${\mathcal {I}}$ ที่เล็กกว่าที่ทำให้ $g$ ไม่เป็นศูนย์บน ${\mathcal {I}}$ ได้

สำหรับทุก $x$ ในช่วง นิยามให้ $m(x)=\inf {\frac {f'(\xi )}{g'(\xi )}}$และ $M(x)=\sup {\frac {f'(\xi )}{g'(\xi )}}$ โดยที่ $\xi$ มีค่าอยู่ระหว่าง $x$ และ $c$ (ฟังก์ขัน ${\textstyle \inf }$ กับ ${\textstyle \sup }$ คืออินฟิมัมกับซูพรีมัมตามลำดับ)

จากการหาอนุพันธ์ได้ของ $f$ และ $g$ บน ${\mathcal {I}}$ ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ยของโคชียืนยันได้ว่าสำหรับจุดสองจุดใด ๆ $x$ และ $y$ ใน ${\mathcal {I}}$ จะมี $\xi$ ระหว่างค่า $x$ และ $y$ ที่ทำให้ ${\frac {f(x)-f(y)}{g(x)-g(y)}}={\frac {f'(\xi )}{g'(\xi )}}$ ส่งผลให้ $m(x)\leq {\frac {f(x)-f(y)}{g(x)-g(y)}}\leq M(x)$ สำหรับทุกตัวเลือกค่า $x$ และ $y$ ที่แตกต่างในช่วง

ค่า $g(x)-g(y)$ ไม่เป็นศูนย์เมื่อ $x$ และ $y$ แตกต่างกันในช่วง เพราะถ้ามีค่าเป็นศูนย์ ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย จะนิรนัยได้ว่ามี $p$ ที่อยู่ระหว่าง $x$ และ $y$ ที่ทำให้ $g'(p)=0$

จากนิยามของ $m(x)$ และ $M(x)$ ทำให้ค่าเป็นจำนวนจริงขยาย และอาจสามารถมีค่าเป็น ${\textstyle \pm \infty }$ ได้ ในกรณีต่อไปนี้ $m(x)$ และ $M(x)$ จะเป็นขอบเขตของอัตราส่วน ${\textstyle {\frac {f}{g}}}$

กรณีที่ 1 $\lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}g(x)=0$

สำหรับทุก $x$ ในช่วง ${\mathcal {I}}$ และจุด $y$ ระหว่าง $x$ และ $c$

$m(x)\leq {\frac {f(x)-f(y)}{g(x)-g(y)}}={\frac {{\frac {f(x)}{g(x)}}-{\frac {f(y)}{g(x)}}}{1-{\frac {g(y)}{g(x)}}}}\leq M(x)$

และเมื่อ $y$ มีค่าเข้าใกล้ $c$ ทั้ง ${\frac {f(y)}{g(x)}}$ และ ${\frac {g(y)}{g(x)}}$ จะมีค่าเท่ากับศูนย์ ทำให้

${\textstyle m(x)\leq {\frac {f(x)}{g(x)}}\leq M(x)}$

กรณีที่ 2 $\lim _{x\to c}|g(x)|=\infty$

สำหรับทุก $x$ บนช่วง ${\mathcal {I}}$ นิยาม $S_{x}=\{y\mid y$ อยู่ระหว่าง $x$ และ $c\}$ สำหรับทุกจุด $y$ ระหว่าง $x$ และ $c$

$m(x)\leq {\frac {f(y)-f(x)}{g(y)-g(x)}}={\frac {{\frac {f(y)}{g(y)}}-{\frac {f(x)}{g(y)}}}{1-{\frac {g(x)}{g(y)}}}}\leq M(x)$

โดยที่เมือ $y$ มีค่าเข้าใกล้ $c$ ทั้ง ${\frac {f(x)}{g(y)}}$ และ ${\frac {g(x)}{g(y)}}$ จะเท่ากับศูนย์ ดังนั้น

$m(x)\leq \liminf _{y\in S_{x}}{\frac {f(y)}{g(y)}}\leq \limsup _{y\in S_{x}}{\frac {f(y)}{g(y)}}\leq M(x).$

ลิมิตอินฟิเรียร์ และลิมิตซูพีเรียร์นั้นจำเป็นเนื่องจากการมีอยู่ของลิมิต ${\textstyle {\frac {f}{g}}}$ ยังไม่ได้รับการยืนยัน

แบ่งได้เป็นสองกรณีได้แก่

$\lim _{x\to c}m(x)=\lim _{x\to c}M(x)=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}=L$

และ

$\lim _{x\to c}\left(\liminf _{y\in S_{x}}{\frac {f(y)}{g(y)}}\right)=\liminf _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}$ และ$\lim _{x\to c}\left(\limsup _{y\in S_{x}}{\frac {f(y)}{g(y)}}\right)=\limsup _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}$

ในกรณีแรก ทฤษฎีบทการบีบบอกได้ว่า $\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}$ หาค่าได้และเท่ากับ $L$ ในกรณีที่สอง ทฤษฎีบทการบีบยังบอกได้ว่า $\liminf _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\limsup _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=L$ ดังนั้น $\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}$ หาค่าได้และเท่ากับ $L$ นี่เป็นผลลัพท์ที่ต้องพิสูจน์

ในกรณีที่สอง สมมติฐานที่ว่า $f(x)$ ลู่ออกไปหาอนันต์ไม่ได้ถูกใช้ในบทพิสูจน์ หมายความว่าถ้า $|g(x)|$ ลู่ออกหาอนันต์เมื่อ $x$ เข้าใกล้ $c$ และทั้ง$f$ และ $g$ สอดคล้องกับสมมติฐานของกฎของโลปีตาล แล้ว $f(x)$ ไม่จำเป็นที่ต้องมีสมมติฐานเพิ่ม ลิมิตของ $f(x)$ อาจไม่มีก็ได้ ในกรณีนี้ทฤษฎีบทของโลปีตาลเป็นผลสืบเนื่องจากทฤษฎีบทสโตลซ์-เชซาโร

อ้างอิง

แหล่งข้อมูล

• Chatterjee, Dipak (2005), Real Analysis, PHI Learning Pvt. Ltd, ISBN 81-203-2678-4
• Krantz, Steven G. (2004), A handbook of real variables. With applications to differential equations and Fourier analysis, Boston, MA: Birkhäuser Boston Inc., pp. xiv+201, doi:10.1007/978-0-8176-8128-9, ISBN 0-8176-4329-X, MR 2015447
• Taylor, A. E. (1952), "L'Hospital's rule", Amer. Math. Monthly, 59 (1): 20–24, doi:10.2307/2307183, ISSN 0002-9890, JSTOR 2307183, MR 0044602
• Wazewski, T. (1949), "Quelques démonstrations uniformes pour tous les cas du théorème de l'Hôpital. Généralisations", Prace Mat.-Fiz. (ภาษาฝรั่งเศส), 47: 117–128, MR 0034430
• Lettenmeyer, F. (1936), "Über die sogenannte Hospitalsche Regel", Journal für die reine und angewandte Mathematik, 1936 (174): 246–247, doi:10.1515/crll.1936.174.246, S2CID 199546754