ฟังก์ชันเครื่องหมาย

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
กราฟของฟังก์ชันเครื่องหมาย

ในทางคณิตศาสตร์ ฟังก์ชันเครื่องหมาย (อังกฤษ: sign function) คือฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์อย่างหนึ่งที่ดึงเครื่องหมายออกมาจากจำนวนจริง เขียนแทนด้วย sgn และเพื่อไม่ให้สับสนกับฟังก์ชันไซน์ (sine) ซึ่งออกเสียงเหมือนกันในภาษาอังกฤษ ฟังก์ชันนี้จึงเรียกอีกชื่อหนึ่งว่า ซินยุม หรือ ซิกนัม (signum) มาจากภาษาละติน

นิยาม[แก้]

นิยามของฟังก์ชันเครื่องหมายมีดังนี้ เมื่อ x เป็นจำนวนจริง

สมบัติต่างๆ[แก้]

สำหรับจำนวนจริง x ใดๆ สามารถแสดงให้อยู่ในรูปผลคูณระหว่างค่าสัมบูรณ์กับฟังก์ชันเครื่องหมาย

จากสมการดังกล่าว เราจะได้ความหมายของฟังก์ชันเครื่องหมายอีกอย่างหนึ่ง เมื่อ x ไม่เท่ากับ 0

ฟังก์ชันเครื่องหมายคืออนุพันธ์ของฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์ (ซึ่งประเมินค่าไม่ได้ที่ 0)

ฟังก์ชันเครื่องหมายสามารถหาอนุพันธ์ได้ทุกจุดยกเว้นจุด 0 แต่สำหรับการหาอนุพันธ์ในทฤษฎีการกระจาย อนุพันธ์ของฟังก์ชันเครื่องหมายมีค่าเป็นสองเท่าของฟังก์ชันเดลตาของดิแร็ก (Dirac delta function)

ฟังก์ชันเครื่องหมายมีความสัมพันธ์กับฟังก์ชันขั้นบันไดของเฮฟวีไซด์ (Heaviside step function) H1/2(x) นั่นคือ

เมื่อเลข 1/2 ของฟังก์ชันขั้นบันไดหมายถึง H1/2(0) = 1/2 ฟังก์ชันเครื่องหมายยังสามารถเขียนโดยใช้สัญกรณ์วงเล็บเหลี่ยมของอีเวอร์สัน (Iverson bracket) ดังนี้

สำหรับ k ≫ 0 การประมาณค่าโดยละเอียดของฟังก์ชันขั้นบันไดดังกล่าวหาได้จาก

ฟังก์ชันบนจำนวนเชิงซ้อน[แก้]

ฟังก์ชันเครื่องหมายสามารถอธิบายบนจำนวนเชิงซ้อน z ใดๆ ยกเว้น 0 ได้ดังนี้

ซึ่งจะให้ผลลัพธ์เป็นจุดจุดหนึ่งบนวงกลมหนึ่งหน่วยที่อยู่ใกล้กับ z มากที่สุดบนระนาบเชิงซ้อน นั่นคือ

โดยที่ arg z คืออาร์กิวเมนต์จำนวนเชิงซ้อนของ z เนื่องจากเหตุผลของความสมมาตร และเพื่อรักษานัยทั่วไปที่สมบูรณ์ของฟังก์ชันเครื่องหมายบนจำนวนจริง ดังนั้นบนจำนวนเชิงซ้อนก็มีการกำหนดให้ sgn 0 = 0 ด้วย

การวางนัยทั่วไปอีกแบบหนึ่งของฟังก์ชันเครื่องหมายสำหรับทั้งจำนวนจริงและจำนวนเชิงซ้อนคือ csgn [1] ซึ่งนิยามโดย

ซึ่งเราจะได้สมบัติดังนี้ (ยกเว้นค่า z = 0)

ฟังก์ชันเครื่องหมายแบบนัยทั่วไป[แก้]

ที่จำนวนจริง x เราสามารถสร้างฟังก์ชันเครื่องหมายในรูปแบบของฟังก์ชันนัยทั่วไป (generalized function) คือ โดยนิยามให้ บนทุกๆ ค่าของ x รวมทั้งจุดที่ x = 0 (ซึ่งต่างกับ sgn คือ ) และถึงแม้ว่าฟังก์ชันนัยทั่วไปนี้สามารถทำให้เกิดพีชคณิตของฟังก์ชันได้ แต่จะเสียสมบัติการสลับที่ไป โดยเฉพาะฟังก์ชันเดลตาของดิแร็กที่เป็นคู่ต่างสลับที่ของฟังก์ชันนี้ [2]

นอกจากนั้น ไม่สามารถประเมินค่าได้ที่ x = 0 ดังนั้นความหมายของ จึงสำคัญที่จะแยกแยะออกจากฟังก์ชัน sgn (นั่นคือ ไม่นิยาม แต่ในขณะที่ sgn(0) = 0)

อ้างอิง[แก้]

  1. Maple V documentation. May 21 1998
  2. Yu.M.Shirokov (1979). "Algebra of one-dimensional generalized functions". TMF 39 (3): 471–477. 

ดูเพิ่ม[แก้]