ผลต่างระหว่างรุ่นของ "อนุพันธ์"

เนื้อหาที่ลบ เนื้อหาที่เพิ่ม

ในบรรทัด

รุ่นแก้ไขเมื่อ 23:42, 26 เมษายน 2560

ในวิชาคณิตศาสตร์ อนุพันธ์ของฟังก์ชันของตัวแปรจริงเป็นการวัดการเปลี่ยนแปลงของค่าของฟังก์ชันเทียบกับการเปลี่ยนแปลงของอาร์กิวเมนต์ (ค่าที่ป้อนเข้าหรือตัวแปรต้น) อนุพันธ์เป็นเครื่องมือพื้นฐานของแคลคูลัส ตัวอย่างเช่น อนุพันธ์ของตำแหน่งของวัตถุที่กำลังเคลื่อนที่เทียบกับเวลา คือ ความเร็วของวัตถุนั้น ซึ่งเป็นการวัดว่าตำแหน่งของวัตถุมีการเปลี่ยนแปลงอย่างรวดเร็วเพียงใดเมื่อเวลาผ่านไป

อนุพันธ์ของฟังก์ชันตัวแปรเดียวที่ตัวแปรต้นใด ๆ คือความชันของเส้นสัมผัสที่สัมผัสกับกราฟของฟังก์ชันที่จุดนั้น เส้นสัมผัสคือการประมาณเชิงเส้นของฟังก์ชันที่ดีที่สุดใกล้กับตัวแปรต้นนั้น ด้วยเหตุนี้ อนุพันธ์มักอธิบายได้ว่าเป็น "อัตราการเปลี่ยนแปลงขณะใดขณะหนึ่ง" ซึ่งก็คืออัตราส่วนของการเปลี่ยนแปลงขณะใดขณะหนึ่งของตัวแปรตามต่อตัวแปรต้นหรือตัวแปรอิสระ

กระบวนการหาอนุพันธ์เรียกว่า การหาอนุพันธ์ (differentiation หรือ การดิฟเฟอเรนชิเอต) ส่วนกระบวนการที่กลับกันเรียกว่า การหาปฏิยานุพันธ์ (antidifferentiation) ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัสกล่าวว่าการหาปฏิยานุพันธ์เหมือนกันกับการหาปริพันธ์ (integration หรือ การอินทิเกรต) การหาอนุพันธ์และการหาปริพันธ์เป็นตัวดำเนินการพื้นฐานในแคลคูลัสตัวแปรเดียว^{[Note 1]}

อนุพันธ์ของฟังก์ชันเป็นมโนทัศน์หนึ่งในสองมโนทัศน์หลักของแคลคูลัส (อีกมโนทัศน์หนึ่งคือปฏิยานุพันธ์ ซึ่งคือตัวผกผันของอนุพันธ์)

🔨🔨🔨🔨🔨🔨🔨🔨🔨🔨🔨🔨🔨🔧🔧🔧🔧🔧🔧🔧🔧🔧🔧🔧🔧🔧⚽⚽⚽⚽⚽⚽⚽⚽⚽⚽⚽⚽⚽⚽⚽

รายละเอียดสัญกรณ์

สัญกรณ์ของไลบ์นิซ

สัญลักษณ์ dx, dy และ dx/dy เสนอโดยกอทท์ฟรีด วิลเฮล์ม ไลบ์นิซ ในปี ค.ศ. 1675^[1] สัญลักษณ์นี้ใช้กันอย่างทั่วไปเมื่อสมการ y = f(x) ซึ่งแสดงถึงความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันระหว่างตัวแปรต้นและตัวแปรตาม อนุพันธ์อันดับหนึ่งเขียนได้ดังนี้

{\frac {dy}{dx}},\quad {\frac {df}{dx}}(x),\;\;\mathrm {or} \;\;{\frac {d}{dx}}f(x)

อนุพันธ์อันดับสูงจะแสดงโดยใช้สัญลักษณ์

{\frac {d^{n}y}{dx^{n}}},\quad {\frac {d^{n}f}{dx^{n}}}(x),\;\;\mathrm {or} \;\;{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}f(x)

สำหรับอนุพันธ์อันดับที่ n ของ y = f(x) (เทียบกับ x) ข้างบนเป็นสัญลักษณ์ย่อของการใช้ตัวดำเนินการอนุพันธ์หลายตัว ยกตัวอย่างเช่น

{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}={\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{dx}}\right)

ในสัญกรณ์ของไลบ์นิซ เราสามารถเขียนอนุพันธ์ของ y ที่จุด x = a ในรูปที่แตกต่างกันสองแบบ:

\left.{\frac {dy}{dx}}\right|_{x=a}={\frac {dy}{dx}}(a)

สัญกรณ์ของไลบ์นิซช่วยให้สามารถระบุตัวแปรในการหาอนุพันธ์ได้ (ในตัวส่วน) โดยเฉพาะในเรื่องการหาอนุพันธ์ย่อย และยังทำให้ง่ายต่อการจำกฎลูกโซ่อีกด้วย:^{[Note 2]}

{\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}.

สัญกรณ์ของลากรางจ์

ในบางครั้งเราก็กล่าวถึง สัญกรณ์ไพรม์^[2] หนึ่งในสัญกรณ์ยุคใหม่ที่ใช้กันมากที่สุดสำหรับการหาอนุพันธ์ ซึ่งมาจากโฌแซ็ฟ-หลุยส์ ลากร็องฌ์ โดยใช้เครื่องหมายไพรม์ กล่าวคือ อนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) เขียนได้ในรูป f′(x) หรือ f′ ในทำนองเดียวกันอนุพันธ์อันดับสองและสามก็เขียนได้ในรูปดังนี้

(f')'=f''\,

และ

(f'')'=f'''

เพื่อที่จะเขียนอนุพันธ์อันดับที่สูงกว่านี้ ผู้เขียนบางคนก็จะใช้เลขโรมันเป็นตัวยก หรือบางคนอาจใช้จำนวนนับในวงเล็บ:

f^{\mathrm {iv} }\,\!

หรือ

f^{(4)}

สัญกรณ์ด้านหลัง ถ้าอยู่ในรูปทั่วไปก็คือ f⁽ⁿ⁾ สำหรับอนุพันธ์อันดับ n ของ f สัญกรณ์นี้มีประโยชน์มากที่สุดเมื่อเราต้องการจะกล่าวถึงอนุพันธ์ในอยู่ในรูปฟังก์ชันของมันเอง ดังเช่นในกรณีนี้ สัญกรณ์ไลบ์นิซอาจกลายเป็นเรื่องยุ่งยาก

สัญกรณ์ของนิวตัน

สัญกรณ์ของนิวตันสำหรับการหาอนุพันธ์ เรียกได้อีกอย่างหนึ่งว่าสัญกรณ์จุด โดยการเขียนไว้เหนือชื่อฟังก์ชันเพื่อแทนจำนวนครั้งของอนุพันธ์ ถ้า y = f(t) แล้ว

{\dot {y}}

และ

{\ddot {y}}

หมายถึง อนุพันธ์อันดับหนึ่งและสองของ y เทียบกับ t ตามลำดับ สัญกรณ์นี้นำไปใช้อย่างเฉพาะทางอย่างเช่น อนุพันธ์เทียบกับเวลา หรือเทียบกับความยาวส่วนโค้ง ซึ่งใช้กันทั่วไปในฟิสิกส์ สมการเชิงอนุพันธ์ และเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์^[3]^[4] โดยสัญกรณ์นี้ไม่สามารถที่จะเขียนได้เมื่ออนุพันธ์มีอันดับที่สูงขึ้น ในทางปฏฺบัติ จะใช้เพียงอนุพันธ์ไม่กี่อันดับที่จำเป็นเท่านั้น

สัญกรณ์ของออยเลอร์

สัญกรณ์ของออยเลอร์จะใช้ตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ D ซึ่งจะใช้กับฟังก์ชัน f เพื่อที่จะได้อนุพันธ์อันดับหนึ่ง Df ส่วนอนุพันธ์อันดับสองเขียนได้ในรูป D²f และอนุพันธ์อันดับ n เขียนได้ในรูป Dⁿf

ถ้า y = f(x) เป็นตัวแปรตาม แล้ว x จะเป็นตัวห้อยอยู่ใต้ D เพื่อบ่งบอกว่ากำลังเทียบกับตัวแปรต้น x ดังข้างล่าง

D_{x}y\,

or

D_{x}f(x)\,

,

แต่ตัวห้อย x มักจะถูกละไว้ในฐานที่เข้าใจเพื่อความรวดเร็ว เมื่อมีตัวแปรต้นนี้อยู่ตัวเดียว

สัญกรณ์ของออยเลอร์มีประโยชน์ในการแก้สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้น

กฎการคำนวณ

กฎสำหรับฟังก์ชันพื้นฐาน

การหาอนุพันธ์ของเลขยกกำลัง: ถ้า

f(x)=x^{r}

เมื่อ r เป็นจำนวนจริงใด ๆ แล้ว

f'(x)=rx^{r-1}

เมื่อไรก็ตามที่ฟังก์ชันนี้สามารถหาค่าได้ ตัวอย่างเช่น ถ้า $f(x)=x^{1/4}$ แล้ว

f'(x)=(1/4)x^{-3/4}

และฟังก์ชันอนุพันธ์สามารถหาค่าได้เฉพาะสำหรับค่า x ที่เป็นบวก ไม่ใช่ x = 0 เมื่อ r = 0 กฎนี้จะให้ค่า f′(x) เป็นศูนย์สำหรับ x ≠ 0 ซึ่งกรณีนี้ก็คือกฎค่าคงที่

กฎค่าคงที่: ถ้า f(x) คือค่าคงที่ แล้ว

f'=0

ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม:

{\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}

{\frac {d}{dx}}a^{x}=a^{x}\ln(a)

{\frac {d}{dx}}\ln(x)={\frac {1}{x}},\qquad x>0

{\frac {d}{dx}}\log _{a}(x)={\frac {1}{x\ln(a)}}

ฟังก์ชันตรีโกณมิติ:

{\frac {d}{dx}}\sin(x)=\cos(x)

{\frac {d}{dx}}\cos(x)=-\sin(x)

{\frac {d}{dx}}\tan(x)=\sec ^{2}(x)={\frac {1}{\cos ^{2}(x)}}=1+\tan ^{2}(x)

จากกฎผลคูณและกฎผลหารทำให้ได้

{\frac {d}{dx}}\csc(x)=-\csc x\cot x

{\frac {d}{dx}}\sec(x)=\sec x\tan x

{\frac {d}{dx}}\cot(x)=-\csc ^{2}x

ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน:

{\frac {d}{dx}}\arcsin(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}},-1<x<1

{\frac {d}{dx}}\arccos(x)=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}},-1<x<1

{\frac {d}{dx}}\arctan(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}

กฎสำหรับฟังก์ชันหลายฟังก์ชันรวมกัน

ในหลายกรณี การใช้วิธีอัตราส่วนเชิงผลต่างของนิวตันแบบตรง ๆ จะทำให้การคำนวณลิมิตยุ่งยากได้ ซึ่งหลีกเลี่ยงโดยการใช้กฎการหาอนุพันธ์เหล่านี้

กฎผลรวม:

(\alpha f+\beta g)'=\alpha f'+\beta g'\,

สำหรับฟังก์ชันทั้งหมด f และ g และจำนวนจริงทั้งหมด $\alpha$ และ $\beta$

กฎผลคูณ:

(fg)'=f'g+fg'\,

สำหรับฟังก์ชันทั้งหมด f และ g ในกรณีพิเศษ กฎนี้รวมถึงข้อเท็จจริงที่ว่า

(\alpha f)'=\alpha f'

เมื่อไรก็ตามที่

\alpha

เป็นค่าคงที่ เพราะว่า

\alpha 'f=0\cdot f=0

จากกฎค่าคงที่

กฎผลหาร:

\left({\frac {f}{g}}\right)'={\frac {f'g-fg'}{g^{2}}}

สำหรับฟังก์ชันทั้งหมด f และ g ของตัวแปรต้นทั้งหมดโดยที่ g ≠ 0.

กฎลูกโซ่: ถ้า $f(x)=h(g(x))$ แล้ว

f'(x)=h'(g(x))\cdot g'(x)\,

ตัวอย่างการคำนวณ

อนุพันธ์ของ

f(x)=x^{4}+\sin(x^{2})-\ln(x)e^{x}+7\,

คือ

{\begin{aligned}f'(x)&=4x^{(4-1)}+{\frac {d\left(x^{2}\right)}{dx}}\cos(x^{2})-{\frac {d\left(\ln {x}\right)}{dx}}e^{x}-\ln(x){\frac {d\left(e^{x}\right)}{dx}}+0\\&=4x^{3}+2x\cos(x^{2})-{\frac {1}{x}}e^{x}-\ln(x)e^{x}\end{aligned}}

ในพจน์ที่สองของ $f$ คำนวณโดยใช้กฎลูกโซ่ และพจน์ที่สามใช้กฎผลคูณ นอกจากนี้ยังใช้กฎการหาอนุพันธ์สำหรับฟังก์ชันพื้นฐาน ได้แก่ x², x⁴, sin(x), ln(x) และ exp(x) = e^x รวมถึงค่าคงที่ 7 ในพจน์สุดท้าย

ทั่วไป

ดูเพิ่ม

หมายเหตุ

↑ Differential calculus, as discussed in this article, is a very well established mathematical discipline for which there are many sources. See Apostol 1967, Apostol 1969, and Spivak 1994.
↑ In the formulation of calculus in terms of limits, the du symbol has been assigned various meanings by various authors. Some authors do not assign a meaning to du by itself, but only as part of the symbol du/dx. Others define dx as an independent variable, and define du by du = dx·f′(x). In non-standard analysis du is defined as an infinitesimal. It is also interpreted as the exterior derivative of a function u. See differential (infinitesimal) for further information.

อ้างอิง

↑ Manuscript of November 11, 1675 (Cajori vol. 2, page 204)
↑ "The Notation of Differentiation". MIT. 1998. สืบค้นเมื่อ 24 October 2012.
↑ Evans, Lawrence (1999). Partial Differential Equations. American Mathematical Society. p. 63. ISBN 0-8218-0772-2.
↑ Kreyszig, Erwin (1991). Differential Geometry. New York: Dover. p. 1. ISBN 0-486-66721-9.

แหล่งข้อมูลอื่น

Hazewinkel, Michiel, บ.ก. (2001), "Derivative", Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
Khan Academy: "Newton, Leibniz, and Usain Bolt"
เอริก ดับเบิลยู. ไวส์สไตน์, "Derivative" จากแมทเวิลด์.
Online Derivative Calculator from Wolfram Alpha.

บทความคณิตศาสตร์นี้ยังเป็นโครง คุณสามารถช่วยวิกิพีเดียได้โดยการเพิ่มเติมข้อมูล

[1] Differential calculus, as discussed in this article, is a very well established mathematical discipline for which there are many sources. See Apostol 1967, Apostol 1969, and Spivak 1994.

[3] In the formulation of calculus in terms of limits, the du symbol has been assigned various meanings by various authors. Some authors do not assign a meaning to du by itself, but only as part of the symbol du/dx. Others define dx as an independent variable, and define du by du = dx·f′(x). In non-standard analysis du is defined as an infinitesimal. It is also interpreted as the exterior derivative of a function u. See differential (infinitesimal) for further information.

[2] Manuscript of November 11, 1675 (Cajori vol. 2, page 204)

[4] "The Notation of Differentiation". MIT. 1998. สืบค้นเมื่อ 24 October 2012.

[5] Evans, Lawrence (1999). Partial Differential Equations. American Mathematical Society. p. 63. ISBN 0-8218-0772-2.

[6] Kreyszig, Erwin (1991). Differential Geometry. New York: Dover. p. 1. ISBN 0-486-66721-9.

[Note 1]

[1]

[Note 2]

[2]

[3]

[4]

@@ บรรทัด 13: / บรรทัด 13: @@
 อนุพันธ์ของฟังก์ชันเป็นมโนทัศน์หนึ่งในสองมโนทัศน์หลักของ[[แคลคูลัส]] (อีกมโนทัศน์หนึ่งคือ[[ปฏิยานุพันธ์]] ซึ่งคือ[[ตัวผกผัน]]ของอนุพันธ์)
+🔨🔨🔨🔨🔨🔨🔨🔨🔨🔨🔨🔨🔨🔧🔧🔧🔧🔧🔧🔧🔧🔧🔧🔧🔧🔧⚽⚽⚽⚽⚽⚽⚽⚽⚽⚽⚽⚽⚽⚽⚽
-== การหาอนุพันธ์และอนุพันธ์ ==
-''การหาอนุพันธ์'' เป็นการคำนวณเพื่อที่จะได้มาซึ่งอนุพันธ์ อนุพันธ์ของ[[ฟังก์ชัน (คณิตศาสตร์)|ฟังก์ชัน]] {{math|1=''y'' = ''f''(''x'')}} ของตัวแปร {{math|''x''}} คืออัตราที่ค่า {{math|''y''}} ของฟังก์ชันเปลี่ยนแปลงไปต่อการเปลี่ยนแปลงของตัวแปร {{math|''x''}} เรียกว่า ''อนุพันธ์''ของ {{math|''f''}} เทียบกับ {{math|''x''}} ถ้า {{math|''x''}} และ {{math|''y''}} เป็น[[จำนวนจริง]] และถ้า[[กราฟของฟังก์ชัน]] {{math|''f''}} ลงจุดเทียบกับ {{math|''x''}} อนุพันธ์ก็คือ[[ความชัน]]ของเส้นกราฟในแต่ละจุด
-[[ไฟล์:Wiki slope in 2d.svg|right|thumb|250px|ความชันของฟังก์ชันเชิงเส้น: <math>m=\frac{\Delta y}{\Delta x}</math>]]
-กรณีที่ง่ายที่สุด นอกเหนือจากกรณีของ[[ฟังก์ชันคงตัว]] คือเมื่อ {{math|''y''}} เป็น[[ฟังก์ชันเชิงเส้น]]ของ {{math|''x''}} ซึ่งหมายถึงกราฟของ {{math|''y''}} จะเป็นเส้นตรง ในกรณีนี้ {{math|''y'' {{=}} ''f''(''x'') {{=}} ''m'' ''x'' + ''b''}} สำหรับจำนวนจริง {{math|''m''}} และ {{math|''b''}} และความชัน {{math|''m''}} ซึ่งกำหนดโดยการเปลี่ยนแปลงของ {{math|''y''}} หารด้วยการเปลี่ยนแปลงของ {{math|''x''}} ดังสมการ
-:<math>m = \frac{\Delta y}{\Delta x}</math>
-เมื่อสัญลักษณ์ {{math|Δ}} ([[เดลตา]]) แทนคำว่า "การเปลี่ยนแปลง" สูตรนี้เป็นจริง เพราะว่า
-:<math>y+\Delta y=f\left( x+\Delta x\right)
-=m\left( x+\Delta x\right) +b
-=mx +m\,\Delta x +b
-= y + m\,\Delta x </math>
-เพราะฉะนั้น จะได้
-:<math>y+\Delta y=y+m\,\Delta x </math>
-ทำให้ได้
-:<math> \Delta y=m\,\Delta x </math>
-ซึ่ง {{math|''m''}} เป็นค่าที่ถูกต้องของความชันของเส้นกราฟ ถ้าฟังก์ชัน {{math|''f''}} ไม่เป็นฟังก์ชันเชิงเส้น (กล่าวคือ กราฟของมันไม่เป็นเส้นตรง) แล้วการเปลี่ยนแปลงของ {{math|''y''}} หารด้วยการเปลี่ยนแปลงของ {{math|''x''}} จะมีค่าแตกต่างกันออกไป การหาอนุพันธ์จึงเป็นวิธีการที่จะหาค่าที่ถูกต้องของอัตราการเปลี่ยนแปลงที่ค่าตัวแปรต้น {{math|''x''}} ใด ๆ
-{{multiple image
- | align     = right
- | direction = vertical
- | width     = 250
- | header    = อัตราการเปลี่ยนแปลงที่หาจากค่าลิมิต
- | image1    = Tangent-calculus.svg
- | caption1  = '''รูปที่ 1.''' [[เส้นสัมผัส]]ที่ (''x'', ''f''(''x''))
- | image2    = Secant-calculus.svg
- | caption2  = '''รูปที่ 2.''' [[เส้นตัด]]ของส่วนโค้ง ''y''= ''f''(''x'') กำหนดโดยจุด (''x'', ''f''(''x'')) และ (''x''+''h'', ''f''(''x''+''h''))
- | image3  = Lim-secant.svg
- | caption3  = '''รูปที่ 3.''' เส้นสัมผัสคือลิมิตของเส้นตัด
- | image4  = Derivative GIF.gif
- | caption4  = '''รูปที่ 4.''' ภาพเคลื่อนไหว: เส้นสัมผัส (อนุพันธ์) ที่หาจากลิมิตของเส้นตัด
- }}
-แนวคิดนี้ ซึ่งแสดงดังรูปที่ 1 ถึงรูปที่ 3 คือการคำนวณอัตราการเปลี่ยนแปลงจาก[[ลิมิตของฟังก์ชัน|ค่าลิมิต]]ของ[[:en:difference quotient|อัตราส่วนของผลต่าง]] {{math|Δ''y'' / Δ''x''}} เมื่อ {{math|Δ''x''}} เข้าใกล้ค่าที่น้อยมาก
-=== สัญกรณ์ ===
-{{บทความหลัก|สัญกรณ์สำหรับการหาอนุพันธ์}}
-มีสัญกรณ์สำหรับอนุพันธ์สองแบบที่ใช้กันโดยทั่วไป แบบหนึ่งมาจาก[[กอทท์ฟรีด วิลเฮล์ม ไลบ์นิซ|ไลบ์นิซ]] และอีกแบบหนึ่งมาจาก[[โฌแซ็ฟ-หลุยส์ ลากร็องฌ์|ลากรางจ์]]
-ใน[[สัญกรณ์ของไลบ์นิซ]] การเปลี่ยนแปลงที่[[กณิกนันต์|น้อยมาก]]ของ {{math|''x''}} แสดงได้เป็น {{math|''dx''}} และอนุพันธ์ของ {{math|''y''}} เทียบกับ {{math|''x''}} เขียนได้ดังนี้
-: <math> \frac{dy}{dx} \,\!</math>
-แสดงถึงอัตราส่วนของปริมาณที่น้อยมากสองปริมาณ (ข้างบนอ่านว่า "อนุพันธ์ของ ''y'' เทียบกับ ''x''" หรือ "d y บาย d x" รูปแบบ "d y d x" นี้ใช้กันในการสนทนาอย่างบ่อยครั้ง แต่มันอาจทำให้สับสนได้)
-ส่วน[[สัญกรณ์ของลากรางจ์]] อนุพันธ์ของฟังก์ชัน {{math|''f''(''x'')}} เทียบกับ {{math|''x''}} แสดงได้เป็น {{math|''f{{'}}''(''x'')}} (อ่านว่า "f ไพรม์ของ of x") หรือ {{math|''f<sub>x</sub>''{{'}}(''x'')}} (อ่านว่า "f ไพรม์ x ของ x")
-=== อัตราส่วนเชิงผลต่างของนิวตัน ===
-[[ไฟล์:Tangent animation.gif|thumb|250px|เส้นตัดเข้าใกล้เส้นสัมผัสเมื่อ <math>\Delta x \to 0</math>]]
-อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ''f'' ที่ ''x'' ในเชิงเรขาคณิต คือ ความชันของเส้นสัมผัสของกราฟ ''f'' ที่ ''x'' เราไม่สามารถหาความชันของ[[เส้นสัมผัส]]จากฟังก์ชันที่กำหนดให้โดยตรงได้ เพราะว่าเรารู้เพียงจุดบนเส้นสัมผัส ซึ่งก็คือ (''x'', ''f'' (''x'')) เท่านั้น ในทางอื่น เราจะประมาณความชันของเส้นสัมผัสด้วย[[เส้นตัด]] (secant line) หลาย ๆ เส้น ที่มีจุดตัดทั้ง 2 จุดอยู่ห่างกันเป็นระยะทางสั้น ๆ เมื่อหา[[ลิมิต (คณิตศาสตร์)|ลิมิต]]ของความชันของเส้นตัดที่จุดตัดอยู่ใกล้กันมาก ๆ เราจะได้ความชันของเส้นสัมผัส ดังนั้น อาจนิยามอนุพันธ์ว่าคือ ลิมิตของความชันของเส้นตัดที่เข้าใกล้เส้นสัมผัส
-เพื่อหาความชันของเส้นตัดที่จุดตัดอยู่ใกล้กันมาก ๆ ให้ ''h'' เป็นจำนวนที่มีค่าน้อย ๆ ''h'' จะแทนการเปลี่ยนแปลงน้อย ๆ ใน ''x'' ซึ่งจะเป็นจำนวนบวกหรือลบก็ได้ ดังนั้น ความชันของเส้นที่ลากผ่านจุด (''x'',''f (x) '') และ (''x+h'',''f (x+h) '') คือ
-:<math>{f (x+h) -f (x) \over h}</math>
-ซึ่งนิพจน์นี้ก็คือ [[อัตราส่วนเชิงผลต่าง]]ของ[[ไอแซก นิวตัน|นิวตัน]] (Newton's difference quotient) อนุพันธ์ของ ''f'' ที่ ''x'' คือ ลิมิตของค่าของผลหารเชิงผลต่าง ของเส้นตัดที่เข้าใกล้กันมาก ๆ จนเป็นเส้นสัมผัส:
-:<math>f' (x) =\lim_{h\to 0}{f (x+h) -f (x) \over h}</math>
-{{โครง-ส่วน}}
-=== ตัวอย่าง ===
-[[ไฟล์:Parabola2.svg|thumb|ฟังก์ชันกำลังสอง]]
-ฟังก์ชันกำลังสอง {{math|''f''(''x'') {{=}} ''x''<sup>2</sup>}} หาอนุพันธ์ได้ที่ {{math|''x'' {{=}} 3}} และอนุพันธ์ของมันที่ตำแหน่งนั้นเท่ากับ 6 ผลลัพธ์นี้มาจากการคำนวณลิมิตของอัตราส่วนของผลต่างของ {{math|''f''(3)}} เมื่อ {{math|''h''}} เข้าใกล้ศูนย์:
-:<math>
-\begin{align}
-f'(3) & = \lim_{h\to 0}\frac{f(3+h)-f(3)}{h} = \lim_{h\to 0}\frac{(3+h)^2 - 3^2}{h} \\[10pt]
-& = \lim_{h\to 0}\frac{9 + 6h + h^2 - 9}{h} = \lim_{h\to 0}\frac{6h + h^2}{h} = \lim_{h\to 0}{(6 + h)}
-\end{align}
-</math>
-นิพจน์สุดท้ายแสดงให้เห็นว่าอัตราส่วนของผลต่างเท่ากับ {{math|''6'' + ''h''}} เมื่อ {{math|''h'' ≠ 0}} และไม่นิยามเมื่อ {{math|''h'' {{=}} 0}} เนื่องจากนิยามของอัตราส่วนของผลต่าง อย่างไรก็ตาม นิยามของลิมิตกล่าวว่าอัตราส่วนของผลต่างไม่จำเป็นต้องนิยามเมื่อ {{math|''h'' {{=}} 0}} ลิมิตก็คือผลลัพธ์จากการให้ {{math|''h''}} เข้าสู่ศูนย์ ซึ่งหมายถึงแนวโน้มของค่า {{math|6 + ''h''}} เมื่อ {{math|''h''}} มีค่าน้อยลงมาก ๆ
-:<math> \lim_{h\to 0}{(6 + h)} = 6 + 0 = 6 </math>
-ดังนั้น ความชันของกราฟของฟังก์ชันกำลังสองที่จุด {{nowrap|(3, 9)}} คือ 6 และอนุพันธ์ของมันที่ {{math|''x'' {{=}} 3}} คือ {{math|''f''′(3) {{=}} 6}}
-ต่อไปนี้เป็นการคำนวณในทำนองเดียวกันในกรณีทั่วไป ซึ่งแสดงให้เห็นว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันกำลังสองที่ {{math|''x'' {{=}} ''a''}} คือ {{math|''f''′(''a'') {{=}} 2''a''}}:
-:<math>\begin{align}
-f'(a) & = \lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} = \lim_{h\to 0}\frac{(a+h)^2 - a^2}{h} \\[0.3em]
-& = \lim_{h\to 0}\frac{a^2 + 2ah + h^2 - a^2}{h} = \lim_{h\to 0}\frac{2ah + h^2}{h} \\[0.3em]
-& = \lim_{h\to 0}{(2a + h)} = 2a
-\end{align}</math>
-=== ความต่อเนื่องและการหาอนุพันธ์ได้ ===
-{{โครง-ส่วน}}
-=== อนุพันธ์ในรูปฟังก์ชัน ===
-[[ไฟล์:Tangent function animation.gif|thumb|250px|แสดงความชันในแต่ละจุดของฟังก์ชัน <math>\scriptstyle f(x)=1 + x\sin x^2</math> ซึ่งจะสังเกตเห็นได้ว่าเส้นที่แสดงความชันที่จุดใดๆจะสัมผัส (tangent) กับกราฟของฟังก์ชันที่จุดนั้นๆ ความชันในที่นี้ก็คืออนุพันธ์ของฟังก์ชันนั้นเอง หมายเหตุ สีเขียว คือ ความชันเป็นบวก สีแดง คือ ความชันเป็นลบ สีดำ คือ ความชันเป็นศูนย์]]
-{{โครง-ส่วน}}
-=== อนุพันธ์อันดับสูง ===
-{{โครง-ส่วน}}
-=== จุดเปลี่ยนเว้า ===
-{{บทความหลัก|จุดเปลี่ยนเว้า}}
-จุดที่อนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชันเปลี่ยนเครื่องหมาย (จากจำนวนจริงลบเป็นจำนวนจริงบวก หรือในทางกลับกัน) เรียกว่า ''จุดเปลี่ยนเว้า''<ref>{{harvnb|Apostol|1967|loc=§4.18}}</ref> ที่จุดเปลี่ยนเว้า อนุพันธ์อันดับสองอาจเป็นศูนย์ ดังในกรณีที่จุดเปลี่ยนเว้าที่ {{math|''x'' {{=}} 0}} ของฟังก์ชัน {{math|''y'' {{=}} ''x''<sup>3</sup>}} หรืออนุพันธ์อันดับสองอาจหาค่าไม่ได้ ดังในกรณีที่จุดเปลี่ยนเว้าที่ {{math|''x'' {{=}} 0}} ของฟังก์ชัน {{math|''y'' {{=}} ''x''<sup>1/3</sup>}} ฟังก์ชันจะเปลี่ยนจาก[[ฟังก์ชันเว้า]]ไปเป็น[[ฟังก์ชันนูน]]หรือในทางกลับกันที่จุดเปลี่ยนเว้า
 == รายละเอียดสัญกรณ์ ==