เมเชอร์ (คณิตศาสตร์)

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
ไปยังการนำทาง ไปยังการค้นหา
เมเชอร์ เป็นการระบุตัวเลขแก่เซต ซึ่งอาจมองได้ว่าเป็นการระบุขนาดของเซต

ในคณิตศาสตร์ เมเชอร์ (อังกฤษ: measure) บนเซตใด ๆ เป็นวิธีการให้ตัวเลขแก่ซับเซตบางตัวของเซตนั้น ซึ่งนิยมตีความว่าตัวเลขนั้นแทนขนาดของเซต ในมุมมองดังกล่าว เมเชอร์เป็นการวางนัยทั่วไปของแนวคิดเชิงเรขาคณิตอันได้แก่ ความยาว พื้นที่ และปริมาตร ตัวอย่างการนำทฤษฎีเมเชอร์ไปใช้ในสาขาอื่น คือ การที่นักคณิตศาสตร์หลายท่านมองว่าความน่าจะเป็นเหมาะสมเป็นปริมาณเมเชอร์ประเภทหนึ่ง จึงได้ใช้ทฤษฎีเมเชอร์ในการพัฒนาทฤษฎีความน่าจะเป็นเชิงคณิตศาสตร์ (mathematical probability) (หรือทฤษฎีความน่าจะเป็นยุคใหม่) ขึ้น ก่อให้เกิดความก้าวหน้ากับทฤษฎีความน่าจะเป็นเป็นอย่างมาก

จุดเริ่มต้นของการสร้างสาขาทฤษฎีเมเชอร์เพื่อนำไปใช้กับทฤษฎีของปริพันธ์และขยายทฤษฎีปริพันธ์ของรีมันน์ไปยังขอบเขตที่กว้างขึ้น โดยนักคณิตศาสตร์ที่มีส่วนสำคัญในการคิดค้นทฤษฎีเมเชอร์ในยุคแรก ๆ คือ จูเซ็ปเป้ เพียโน กามีย์ ฌอร์ด็อง เอมีล โบเรล และอองรี เลอเบ็ก

นิยามพื้นฐานเกี่ยวกับเมเชอร์[แก้]

สภาพการบวกแบบอนันต์นับได้ของเมเชอร์: เมเชอร์ของยูเนียนนับได้ จะเท่ากับผลรวมของเมเชอร์ของสับเซตในยูเนียนนั้น

คำอธิบายอย่างไม่เป็นทางการ[แก้]

ในทางคณิตศาสตร์ เมเชอร์ จะต้องมีคุณสมบัติ 3 ข้อดังจะอธิบายหยาบ ๆ ต่อไปนี้

  1. ไม่ว่าจะวัดวัตถุอะไร ต้องวัดค่าของวัตถุนั้นได้อย่างน้อยที่สุดคือศูนย์ ไม่มีทางได้ค่าลบ
  2. สำหรับวัตถุว่างเปล่า (เทียบเท่าเซตว่างในทางคณิตศาสตร์) เราวัดความไม่มีตัวตนนั้นได้ศูนย์
  3. เอาวัตถุหลาย ๆ ชิ้นที่ไม่มีส่วนเชื่อมกัน มารวมกันเป็นชิ้นเดียว, ค่าที่วัดได้ของวัตถุชิ้นใหม่นั้นก็คือ ค่าที่วัดได้จากวัตถุแต่ละชิ้น แล้วนำมาบวกกันนั่นเอง

จากคำอธิบายอย่างหยาบข้างต้น นำไปสู่นิยามทางคณิตศาสตร์ดังต่อไปนี้

นิยามอย่างเป็นทางการ[แก้]

ให้ เป็นเซต และ เป็นซิกมาแอลจีบราบนเซต นั้น จะเรียกฟังก์ชัน ที่ส่งค่าจาก ไปยังเรนจ์ที่เป็นจำนวนจริงขยาย ว่าเป็น เมเชอร์ (measure) ก็ต่อเมื่อ μ มีสมบัติต่อไปนี้

  1. ความไม่เป็นลบ: ทุกค่า E ใน Σ จะต้องได้ว่า
  2. เซตว่างมีเมเชอร์เท่ากับศูนย์:
  3. มีสภาพการบวกแบบอนันต์นับได้ (countable additivity) หรืออาจเรียกว่ามีสภาพการบวกแบบซิกมา (σ-additivity): ถ้ากำหนดให้ เป็นลำดับแบบนับได้ของเซตที่ไม่มีส่วนร่วมเป็นคู่ ๆ ใน แล้ว

เราจะเรียกสามสิ่งอันดับ ที่สอดคล้องกับเงื่อนไขข้างต้นว่า ปริภูมิเมเชอร์ (measurable space) และแต่ละสมาชิกใน จะถูกเรียกว่าเซตที่หาเมเชอร์ได้ (measurable sets) ในบางครั้งนิยมละการเขียนเมเชอร์ ระบุเพียงแค่ เท่านั้น

ปริภูมิความน่าจะเป็น[แก้]

ปริภูมิความน่าจะเป็น (Probability space) เป็นปริภูมิเมเชอร์ที่เมเชอร์ของปริภูมิทั้งหมดมีค่าเท่ากับหนึ่ง หรือก็คือ ในกรณีนี้จะเรียกเมเชอร์นั้นว่าเป็นเมเชอร์ความน่าจะเป็น (probability measure)

นอกจากนั้นมักจะใช้สัญกรณ์ แทนปริภูมิความน่าจะเป็น แทนที่จะใช้สัญกรณ์ เพื่อลดความกำกวมเนื่องจาก มักใช้แทนตัวแปรสุ่ม และใช้ แทนค่าเฉลี่ยในทางสถิติและความน่าจะเป็น

ฟังก์ชันหาเมเชอร์ได้[แก้]

ให้ และ เป็นปริภูมิเมเชอร์ แล้วจะเรียกฟังก์ชัน ว่าเป็นฟังก์ชันหาเมเชอร์ได้ (measurable function) ก็ต่อเมื่อบุพภาพของเซตหาเมเชอร์ได้ใน เป็นเซตหาเมเชอร์ได้ใน ด้วย หรือก็คือ สำหรับทุกเซต

สมบัติที่พิสูจน์ได้จากนิยาม[แก้]

ให้ เป็นเมเชอร์

ความเป็นฟังก์ชันทางเดียว[แก้]

มีสมบัติเป็นฟังก์ชันทางเดียว: กำหนดให้ และ เป็นเซตที่หาเมเชอร์ได้ และ แล้วจะได้ว่า

เมเชอร์ของยูเนียนแบบนับได้ของเซต[แก้]

กำหนดให้ เป็นลำดับแบบนับได้ของเซตใน จะได้ว่า

นอกจากนั้นเรายังได้ว่า ถ้ากำหนดให้ เป็นเซตใน Σ และ , แล้วจะได้ว่า อยู่ใน ด้วย และ

เมเชอร์ของอินเตอร์เซกชันแบบนับได้ของเซต[แก้]

กำหนดให้ เป็นเซตใน และ , แล้วจะได้ว่า อยู่ใน ด้วย และยิ่งไปกว่านั้น ถ้ามีสมาชิก อย่างน้อยหนึ่งตัวที่มีค่าเมเชอร์จำกัด () เราจะได้ว่า

คุณสมบัตินี้ไม่เป็นจริงถ้าไม่มีสมาชิก ใด ๆ เลยที่มีเมเชอร์จำกัด (คือมีค่าเมเชอร์เป็นอนันต์ทุกตัว) ตัวอย่างเช่น ถ้าให้ สำหรับแต่ละ แล้วเราจะได้ว่าทุก ๆ มีเมเชอร์อนันต์ (ภายใต้เลอเบ็กเมเชอร์) แต่ว่าอินเตอร์เซ็กชันของเซตทั้งหมดมีเมเชอร์เป็นศูนย์

ตัวอย่างของเมเชอร์[แก้]

สมบัติเพิ่มเติม[แก้]

เมเชอร์ซิกมาจำกัด[แก้]

ปริภูมิเมเชอร์ จะเป็นปริภูมิเมเชอร์จำกัด (finite measure) ก็ต่อเมื่อ เป็นจำนวนจริงจำกัดค่า ปริภูมิเมเชอร์จำกัด ถ้าไม่ใช่ปริภูมิเมเชอร์ศูนย์ จะเสมือนกับเป็นปริภูมิความน่าจะเป็น ทั้งนี้เพราะว่า เป็นพหุคูณของเมเชอร์ความน่าจะเป็น

นักคณิตศาสตร์สนใจเงื่อนไขความจำกัดในอีกรูปแบบหนึ่ง ปริภูมิเมเชอร์ จะเป็นปริภูมิเมเชอร์ซิกมาจำกัด (σ-finite measure space) ก็ต่อเมื่อสามารถแบ่ง ออกเป็นส่วนย่อยอนันต์นับได้ส่วนที่ไม่มีส่วนร่วมกัน และแต่ละส่วนมีเมเชอร์เป็นจำนวนจริงจำกัดค่า ในกรณีจะเรียก ว่าเป็น เมเชอร์ซิกมาจำกัด (σ-finite measure) ตัวอย่างปริภูมิเมเชอร์ซิกมาจำกัด เช่น เซตจำนวนจริง ภายใต้เมเชอร์เลอเบ็กมาตรฐาน เนื่องจากเราสามารถแบ่ง ออกเป็นช่วงย่อย ที่ไม่มีส่วนร่วมกัน สำหรับแต่ละจำนวนเต็ม ได้ และเมเชอร์ของแต่ละส่วนมีค่าเท่ากับ 1

ในทำนองกลับกัน เซต ภายใต้เมเชอร์การนับไม่เป็นปริภูมิเมเชอร์ซิกมาจำกัด ทั้งนี้เพราะว่าเซตที่เมเชอร์น้อยกว่าอนันต์มีเพียงเซตจำกัดเท่านั้น และต้องใช้เซตจำกัดจำนวนอนันต์นับไม่ได้ตัวเพื่อคลุม

ปริภูมิเมเชอร์ซิกมาจำกัดมีสมบัติที่เป็นประโยชน์ในการศึกษา เทียบได้กับสมบัติลินเดอเลิฟของปริภูมิเชิงทอพอโลยี

เมเชอร์บริบูรณ์[แก้]

ดูบทความหลักที่: เมเชอร์บริบูรณ์

ในปริภูมิเมเชอร์ เซต จะเป็นเซตนัลล์ (null set) ก็เมื่อ สับเซตของเซตนัลล์ไม่จำเป็นต้องหาเมเชอร์ได้ แต่ถ้าสับเซต ของเซตนัลล์หาเมเชอร์ได้ แล้ว โดยอัตโนมัติ จะเรียก ว่าเป็นเมเชอร์บริบูรณ์ (complete measure) ก็ต่อเมื่อ ทุกสับเซตของเซตนัลล์หาเมเชอร์ได้

หากมีปริภูมิเมเชอร์ ใด ๆ (อาจเป็นเมเชอร์บริบูรณ์อยู่แล้วได้) จะสามารถขยายเมเชอร์ดังกล่าวให้เป็นเมเชอร์บริบูรณ์ได้เสมอ

เซตหาเมเชอร์ไม่ได้[แก้]

ดูบทความหลักที่: เซตหาเมเชอร์ไม่ได้

หากยอมรับในสัจพจน์ของการเลือก จะสามารถพิสูจน์ได้ว่ามีสับเซตของ ที่ไม่สามารถหาเมเชอร์ได้ ตัวอย่างของเซตดังกล่าวเช่น เซตวิตาลี และเซตที่หาเมเชอร์ไม่ได้ที่ปรากฏในปฏิทรรศน์ของเฮาส์ดอร์ฟฟ์และปฏิทรรศน์ของบานาค-ทาร์สกี

ดูเพิ่ม[แก้]

อ้างอิง[แก้]

  • P. Halmos, Measure theory, D. van Nostrand and Co., 1950
  • Kopp and Capinski, Measure, Integration and Probability, 2nd Edition, Springer, 2000.
  • D. H. Fremlin, Measure Theory, Torres Fremlin, 2000. Available online at http://www.essex.ac.uk/maths/staff/fremlin/mt.htm
  • F. Jones, Lebesgue Integration in Euclidean Spaces, Jones and Barlett Publisher, 1999.