ทฤษฎีเซต

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
ไปยังการนำทาง ไปยังการค้นหา
แผนภาพเวนน์แสดงอินเตอร์เซกชันระหว่างเซตสองเซต

ทฤษฎีเซต เป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่ศึกษาเกี่ยวกับเรื่องเซต แนวคิดพื้นฐานของเซตคือการรวบรวมวัตถุไว้ด้วยกัน ซึ่งได้พัฒนาเป็นรากฐานของคณิตศาสตร์สมัยใหม่ แทบทุกอย่างในคณิตศาสตร์สามารถนิยามได้โดยใช้เซต

การศึกษาเซตเริ่มต้นโดย เกออร์ค คันทอร์ และ ริชารด์ เดเดคินด์ ใน่ช่วงหลังของศตวรรษที่ 19 แต่ต่อมาพบว่าทฤษฎีเซตสามัญนั้นก่อให้เกิดปฏิทรรศน์ตามมา เช่น ปฏิทรรศน์ของรัสเซิลล์ จึงทำให้นักคณิตศาสตร์นิยามเซตผ่านระบบสัจพจน์แทน ระบบสัจพจน์ของเซตที่เป็นที่นิยมมากที่สุดคือ ทฤษฎีเซตแซร์เมโล-แฟรงเคิล ทั้งแบบที่มีและไม่มีสัจพจน์การเลือก

ปัจจุบันทฤษฎีเซตถือเป็นรากฐานของคณิตศาสตร์แล้ว โดยเฉพาะทฤษฎีเซตในรูปแบบทฤษฎีเซตแซร์เมโล-แฟรงเคิลพร้อมด้วยทฤษฎีเซต[1] ทฤษฎีเซตเองนั้นก็เป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่ยังได้รับการวิจัยค้นคว้าอย่างต่อเนื่องจนถึงปัจจุบัน

ประวัติ[แก้]

ทฤษฎีเซตอาจถือได้ว่ามีจุดเริ่มต้นจากเกออร์ค คันทอร์[2] ในขณะที่บุคคลที่มีอิทธิพลต่อคันทอร์คือ ริชาร์ด เดเดคินด์ บทความแรกของคันทอร์ที่เกี่ยวข้องกับเซตชื่อว่า สมบัติข้อหนึ่งของกลุ่มรวมจำนวนพีชคณิตทั้งหมด ("Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen")[3] ซึ่งตีพิมพ์ในปี 1874 ในบทความนี้คันทอร์พิสูจน์ว่า เซตของจำนวนพีชคณิตสามารถจับคู่หนึ่งต่อหนึ่งได้กับเซตของจำนวนเต็มบวก

ทฤษฎีเซตเชิงสัจพจน์[แก้]

ทฤษฎีเซตในระดับพื้นฐานเป็นทฤษฎีที่ไม่ซับซ้อน และเป็นไปตามสามัญสำนึกของเราว่า เราสามารถสร้างเซตที่สมาชิกของเซตนั้นสอดคล้องกับเงื่อนไขใด ๆ ที่กำหนดขึ้นมาได้ แต่การศึกษาทฤษฎีเซตขั้นสูงพบว่า ข้อสมมตินี้ทำให้เกิดปฏิทรรศน์ในทฤษฎีเซต โดยปฏิทรรศน์ที่ทำให้เกิดปัญหามากและเป็นที่รู้จักคือ ปฏิทรรศน์ของรัสเซิลล์ ปฏิทรรศน์บูราลี-ฟอร์ติ และ ปฏิทรรศน์ของริชาร์ด จึงทำให้นักคณิตศาสตร์พยายามกำจัดปฏิทรรศน์ที่เกิดขึ้นโดยกำหนดสัจพจน์เป็นกฎเกณฑ์ว่าเซตแบบใดจึงจะสร้างขึ้นหรือมีอยู่ได้ เรียกว่า ทฤษฎีเซตเชิงสัจพจน์[4]

ทฤษฎีเซตเชิงสัจพจน์ที่นิยมศึกษากันมากที่สุดคือทฤษฎีเซตแซร์เมโล-แฟรงเคิล (Zermelo–Fraenkel set theory) ซึ่งเรียกโดยย่อว่า ZF นอกจากนี้ยังมีทฤษฎีเซตที่เป็นส่วนย่อยของ ZF ได้แก่

นักคณิตศาสตร์จำนวนมากนิยมทำงานกับทฤษฎีเซตแซร์เมโล-แฟรงเคิล โดยมี สัจพจน์การเลือก (Axiom of Choice) เพิ่มเข้ามา จึงเรียกทฤษฎีเซตนั้นว่า ZFC

ทฤษฎีเซตฟอนนอยมันน์-แบร์ไนส์-เกอเดิลเป็นการขยายทฤษฎีเซตแซร์เมโล-แฟรงเคิลพร้อมสัจพจน์การเลือกอย่างอนุรักษ์ โดยเพิ่มคลาสเข้ามาในทฤษฎี[5]


อ้างอิง[แก้]

  1. Kunen, Kenneth (1980). Set theory : an introduction to independence proofs. Amsterdam: North-Holland Pub. Co. ISBN 0-444-85401-0. OCLC 6649856.
  2. Johnson, Phillip E. (1970). "THE EARLY BEGINNINGS OF SET THEORY". The Mathematics Teacher. 63 (8): 690–692. ISSN 0025-5769.
  3. "Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffs aller reellen algebraischen Zahlen". Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelles Journal). 1874 (77): 258–262. 1874-01-01. doi:10.1515/crll.1874.77.258. ISSN 0075-4102.
  4. Enderton, Herbert B. Elements of set theory. New York. p. 11. ISBN 9780122384400.
  5. Mendelson, Elliott. Introduction to mathematical logic (4th ed.). London: Chapman & Hall. p. 225-240. ISBN 0412808307.

แหล่งข้อมูลอื่น[แก้]