สัจพจน์การเลือก

ในคณิตศาสตร์ สัจพจน์การเลือก หรือ สัจพจน์ของการเลือก (อังกฤษ: axiom of choice) หรือเรียกโดยย่อว่า AC เป็นสัจพจน์ของทฤษฎีเซตที่กล่าวว่า ผลคูณคาร์ทีเซียนของคอลเลกชั่นของเซตไม่ว่างเป็นเซตไม่ว่าง กล่าวโดยให้เห็นภาพว่า หากมีถุงใส่ของจำนวนหนึ่ง ที่ถุงแต่ละใบมีของอย่างน้อยหนึ่งชิ้น จะสามารถเลือกหยิบของออกมาหนึ่งชิ้นจากถุงแต่ละใบได้ แม้ว่าจะมีถุงเป็นอนันต์ก็ตาม ในเชิงตรรกศาสตร์ สัจพจน์การเลือกกล่าวว่า สำหรับทุกวงศ์ของเซตไม่ว่าง $(S_{i})_{i\in I}$ จะมีวงศ์ของสมาชิก $(x_{i})_{i\in I}$ ที่มีคุณสมบัติว่า $x_{i}\in S_{i}$ สำหรับทุก $i\in I$ เอิร์นส์ แซร์เมโลเป็นผู้เสนอสัจพจน์การเลือกเป็นคนแรกในปี ค.ศ. 1904 เพื่อใช้พิสูจน์ทฤษฎีบทจัดอันดับดี^[1]

เบอร์ทรันด์ รัสเซลล์เสนอคำอธิบายไว้ดังนี้: ถ้ามีรองเท้าเป็นคู่ ๆ อยู่จำนวนหนึ่ง (อาจเป็นอนันต์คู่ก็ได้) คุณสามารถเลือกรองเท้าข้างซ้ายจากแต่ละคู่ได้ และนี่เป็นฟังก์ชันการเลือกที่นิยามได้โดยตรง แต่หากมีถุงเท้าจำนวนไม่จำกัดคู่ (สมมติว่าถุงเท้าไม่มีลักษณะที่จะแยกสองข้างออกจากกันได้) จะเห็นว่าไม่มีวิธีที่ชัดแจ้งว่าจะเลือกถุงเท้าอย่างไรจากแต่ละคู่ โดยไม่ต้องใช้สัจพจน์การเลือก^[2]

นักคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่ใช้สัจพจน์การเลือกโดยไม่มีข้อโต้แย้ง^[3] สัจพจน์การเลือกรวมอยู่ในทฤษฎีเซตมาตรฐานที่เรียกว่า ทฤษฎีเซตแซร์เมโล-แฟรงเคิลรวมสัจพจน์การเลือก (ZFC) ซึ่งเป็นทฤษฎีเซตเชิงสัจพจน์มาตรฐานในคณิตศาสตร์ เหตุผลประการหนึ่งที่สัจพจน์นี้ถูกยอมรับเป็นเพราะว่าผลลัพธ์ในคณิตศาสตร์ที่ยอมรับโดยทั่วไปจำนวนหนึ่ง เช่น ทฤษฎีบทของไทโคนอฟ นั้นต้องใช้สัจพจน์การเลือกพิสูจน์ นักทฤษฎีเซตร่วมสมัยยังศึกษาสัจพจน์ที่ขัดแย้งกับสัจพจน์การเลือก เช่น สัจพจน์ของการกำหนด

ในคณิตศาสตร์บางรูปแบบ เช่นคณิตศาสตร์เชิงการสร้างบางประเภท อาจมีการหลีกเลี่ยงไม่ใช้สัจพจน์การเลือก แม้ว่าจะมีคณิตศาสตร์เชิงการสร้างบางส่วนที่ยอมรับสัจพจน์ของการเลือกก็ตาม

ข้อความ

ฟังก์ชันการเลือก (choice function) หรือเรียกอีกอย่างว่าตัวเลือก (selector) หรือการเลือก (selection) คือฟังก์ชัน $f$ ซึ่งนิยามบนคอลเลคชัน $X$ ของเซตที่ไม่เป็นเซตว่าง โดยมีเงื่อนไขว่า สำหรับแต่ละเซต $A$ ใน $X$ จะได้ว่า $f(A)$ เป็นสมาชิกของ $A$ จากนิยามดังกล่าว สัจพจน์การเลือกจะมีรูปแบบเป็น

สัจพจน์ — ทุกเซต $X$ ของเซตไม่ว่าง จะมีฟังก์ชันการเลือก $f$ นิยามบน $X$ และส่งเซตใน $X$ ไปยังสมาชิกหนึ่งตัวของมัน

ในรูปแบบรูปนัย สามารถเขียนสัจพจน์การเลือกได้ดังนี้

\forall X\left[\varnothing \notin X\implies \exists f\colon X\rightarrow \bigcup X\quad \forall A\in X\,(f(A)\in A)\right]

ดังนั้นนิเสธของสัจพจน์การเลือกจึงกล่าวว่า จะมีคอลเลคชันของเซตไม่ว่างที่ไม่มีฟังก์ชันการเลือก

ความเป็นอิสระ

ในปี ค.ศ. 1938 ควร์ท เกอเดิลพิสูจน์ว่านิเสธของสัจพจน์การเลือกไม่ใช่ทฤษฎีบทของระบบ ZF โดยสร้างโมเดลภายใน (inner model) เรียกว่าเอกภพที่สร้างได้ (constructible universe) ที่สอดคล้องกับ ZFC จึงเป็นการพิสูจน์ว่า ZFC ต้องกัน (consistent) ก็ต่อเมื่อ ZF ต้องกัน^[4] และในปี ค.ศ. 1963 พอล โคเฮนใช้เทคนิคที่เรียกว่า forcing พิสูจน์ว่าสัจพจน์การเลือกไม่ได้เป็นทฤษฎีบทของ ZF ภายใต้เงื่อนไขว่า ZF ต้องกัน โดยสร้างโมเดลขึ้นมาที่สอดคล้องกับ ZF¬C (คือ ZF รวมกับนิเสธของสัจพจน์การเลือก) จึงเป็นการพิสูจน์ว่า ZF¬C ต้องกัน^[5] ผลลัพธ์ทั้งสองแสดงว่าสัจพจน์การเลือกเป็นอิสระเชิงตรรกะจาก ZF

ข้อความที่สมมูลกับสัจพจน์การเลือก

ข้อความด้านล่างสมมูลกับสัจพจน์การเลือกภายใต้ ZF

ดูเพิ่ม

สัจพจน์ของการกำหนด

อ้างอิง

↑ Zermelo 1904
↑ Jech 1977, p. 351
↑ Jech, 1977, p. 348ff; Martin-Löf 2008, p. 210. According to Mendelson 1964
↑ Godel, K. (1938-12-01). "The Consistency of the Axiom of Choice and of the Generalized Continuum-Hypothesis". Proceedings of the National Academy of Sciences (ภาษาอังกฤษ). 24 (12): 556–557. doi:10.1073/pnas.24.12.556. ISSN 0027-8424. PMC 1077160. PMID 16577857.{{cite journal}}: CS1 maint: PMC format (ลิงก์)
↑ เป็น Theorem 1 ใน Cohen, P. J. (1963-12-01). "THE INDEPENDENCE OF THE CONTINUUM HYPOTHESIS". Proceedings of the National Academy of Sciences (ภาษาอังกฤษ). 50 (6): 1143–1148. doi:10.1073/pnas.50.6.1143. ISSN 0027-8424. PMC 221287. PMID 16578557.{{cite journal}}: CS1 maint: PMC format (ลิงก์)

บรรณานุกรม

Jech, Thomas (1977), Barwise, John (บ.ก.), "About the Axiom of Choice", Handbook of Mathematical Logic, North-Holland Pub. Co
Per Martin-Löf, "100 years of Zermelo's axiom of choice: What was the problem with it?", in Logicism, Intuitionism, and Formalism: What Has Become of Them?, Sten Lindström, Erik Palmgren, Krister Segerberg, and Viggo Stoltenberg-Hansen, editors (2008). ISBN 1-4020-8925-2
Mendelson, Elliott (1964). Introduction to Mathematical Logic. New York: Van Nostrand Reinhold.
Zermelo, E. (December 1904). "Beweis, daß jede Menge wohlgeordnet werden kann: Aus einem an Herrn Hilbert gerichteten Briefe". Mathematische Annalen (ภาษาเยอรมัน). 59 (4): 514–516. doi:10.1007/BF01445300. ISSN 0025-5831.

แหล่งข้อมูลอื่น

Axiom of Choice ใน Encyclopedia of Mathematics ของ Springer
Axiom of Choice and Its Equivalents ที่ ProvenMath ซึ่งรวมเอาข้อความเชิงรูปนัยของสัจพจน์การเลือก, หลักการมากสุดของเฮาส์ดอร์ฟฟ์, บทตั้งของซอร์นและบทพิสูจน์ความสมมูลระหว่างข้อความดังกล่าว
Consequences of the Axiom of Choice เก็บถาวร 2021-05-15 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน, based on the book by Paul Howard เก็บถาวร 2021-02-26 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน and Jean Rubin.
The Axiom of Choice entry byJohn Lane Bell in the Stanford Encyclopedia of Philosophy.

[1] Zermelo 1904

[2] Jech 1977, p. 351

[3] Jech, 1977, p. 348ff; Martin-Löf 2008, p. 210. According to Mendelson 1964

[4] Godel, K. (1938-12-01). "The Consistency of the Axiom of Choice and of the Generalized Continuum-Hypothesis". Proceedings of the National Academy of Sciences (ภาษาอังกฤษ). 24 (12): 556–557. doi:10.1073/pnas.24.12.556. ISSN 0027-8424. PMC 1077160. PMID 16577857.{{cite journal}}: CS1 maint: PMC format (ลิงก์)

[5] เป็น Theorem 1 ใน Cohen, P. J. (1963-12-01). "THE INDEPENDENCE OF THE CONTINUUM HYPOTHESIS". Proceedings of the National Academy of Sciences (ภาษาอังกฤษ). 50 (6): 1143–1148. doi:10.1073/pnas.50.6.1143. ISSN 0027-8424. PMC 221287. PMID 16578557.{{cite journal}}: CS1 maint: PMC format (ลิงก์)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]