ทฤษฎีกราฟ

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
ไบยังการนำทาง ไปยังการค้นหา
ดูข้อมูลเพิ่มเติมที่: กราฟ (คณิตศาสตร์) และ อภิธานศัพท์ทฤษฎีกราฟ
กราฟที่มีจุดยอด 6 จุด และเส้นเชื่อม 7 เส้น

ทฤษฎีกราฟ (อังกฤษ: graph theory) เป็นหนึ่งในสาขาคณิตศาสตร์และวิทยาการคอมพิวเตอร์ ที่ศึกษาถึงคุณสมบัติต่าง ๆ ของกราฟ

ประวัติ[แก้]

ทฤษฎีกราฟนั้น มีจุดเริ่มจากผลงานตีพิมพ์ของ เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ ภายใต้ชื่อ Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis ในปี ค.ศ. 1736 (พ.ศ. 2279) หรือที่รู้จักกันในนาม ปัญหาสะพานทั้งเจ็ดแห่งเมืองโคนิกส์เบิร์ก (Seven Bridges of Königsberg) เขาสนใจวิธีที่จะข้ามสะพานทั้ง 7 แห่งนี้ โดยข้ามแต่ละสะพานเพียงครั้งเดียวเท่านั้น ผลงานนี้ยังถือว่าเป็นงานแนวทอพอโลยีชิ้นแรกในเรขาคณิต กล่าวคือเป็นงานที่สนใจเฉพาะโครงสร้างของรูปเรขาคณิตที่ไม่ขึ้นกับขนาด ระยะ หรือการวัดใดๆ งานชิ้นสำคัญนี้ยังได้แสดงความเกี่ยวข้องอย่างลึกซึ้งระหว่างทฤษฎีกราฟและทอพอโลยี

ในปี ค.ศ. 1845 (พ.ศ. 2388) กุสตาฟ คีร์คฮอฟฟ์ ได้เผยแพร่ผลงานที่รู้จักกันภายใต้ชื่อกฎวงจรไฟฟ้าของคีร์คฮอฟฟ์ ที่แสดงความสัมพันธ์ของกระแสและความต่างศักย์ บนกราฟที่แทนวงจรไฟฟ้า

ต่อมาในปี ค.ศ. 1852 (พ.ศ. 2395) ฟรานซิส กัทธรี ได้ตั้งปัญหาสี่สี (Four color problem) เพื่อศึกษาถึงความเป็นไปได้ที่จะใช้สีเพียง 4 สี เพื่อระบายให้กับประเทศต่าง ๆ บนแผนที่ใด ๆ โดยที่ประเทศเพื่อนบ้านจะไม่มีสีเดียวกัน. ปัญหานี้ได้ถูกแก้ในอีกมากกว่า 100 ปีถัดมา ในปี ค.ศ. 1976 (พ.ศ. 2519) โดย เคนเนธ แอปเพล และวูล์ฟกัง ฮาเคน ซึ่งใช้คอมพิวเตอร์เข้าช่วยในการพิสูจน์ ซึ่งทำให้ได้รับการวิพากษ์วิจารณ์อย่างกว้างขวาง. อย่างไรก็ตามจากความพยายามในการแก้ปัญหา 4 สีนี้ ทำให้มีการสร้างแนวคิดและนิยามพื้นฐานในทฤษฎีกราฟขึ้นอย่างมากมาย จนอาจจะกล่าวได้ว่าจุดเริ่มต้นของทฤษฎีกราฟเกิดจากปัญหาสี่สีนี้เอง

กราฟมักถูกนำเสนอในลักษณะของรูปภาพ โดยใช้จุดแทนจุดยอดแต่ละจุด และลากเส้นระหว่างจุดยอดถ้าจุดยอดทั้งสองนั้นมีเส้นเชื่อมถึงกัน ถ้ากราฟมีทิศทาง ทิศทางของเส้นเชื่อมจะถูกระบุโดยใช้ลูกศร

เราไม่ควรจะสับสนระหว่างกราฟที่วาดออกมากับกราฟ (ที่เป็นโครงสร้างนามธรรม) เนื่องจากกราฟหนึ่ง ๆ สามารถเขียนออกมาได้หลายแบบ และสาระหลักของกราฟนั้นมีแค่ว่าจุดยอดใด เชื่อมต่อกับจุดยอดใด ด้วยเส้นเชื่อมกี่เส้น ไม่ใช่วิธีการที่วาดมันออกมา ในทางปฏิบัติแล้ว การจะตัดสินว่ากราฟที่วาดออกมาสองกราฟนั้น มาจากกราฟเดียวกัน ในบางกรณี การวาดกราฟบางแบบอาจมีความเหมาะสมและทำให้เข้าใจได้ง่ายกว่าแบบอื่น

โครงสร้างข้อมูลกราฟ[แก้]

ดูบทความหลักที่: กราฟ (โครงสร้างข้อมูล)

มีหลายวิธีในการจัดเก็บกราฟในระบบคอมพิวเตอร์ โดยโครงสร้างข้อมูลที่ใช้ขึ้นอยู่กับโครงสร้างของกราฟ และขั้นตอนวิธีสำหรับประมวลผลกราฟนั้น ในทางทฤษฎีเราอาจแยกแยะโครงสร้างที่เป็นแบบรายการกับที่เป็นเมทริกซ์ได้ แต่ในทางปฏิบัติมักพบว่าโครงสร้างที่ดีมักเป็นลูกผสมของโครงสร้างทั้งสองแบบ โครงสร้างแบบรายการนั้นมักใช้ในกรณีของกราฟเบาบาง (sparse graph) เนื่องจากมีการใช้หน่วยความจำที่น้อยกว่า ในทางกลับกันโครงสร้างแบบเมทริกซ์นั้น มีการเข้าถึงที่รวดเร็วกว่า แต่ก็ใช้หน่วยความจำขนาดใหญ่ถ้าจำนวนจุดยอดของกราฟมีมาก

โครงสร้างแบบรายการ[แก้]

โครงสร้างแบบเมทริกซ์[แก้]

  • เมทริกซ์ตกกระทบ (incidence matrix) - เป็นการจัดเก็บกราฟในเมทริกซ์ขนาด E (จำนวนเส้นเชื่อม) คูณ V (จำนวนจุดยอด) ซึ่ง [เส้นเชื่อม, จุดยอด] จะบรรจุข้อมูลของเส้นเชื่อมนั้น (เช่น 1 คือ เชื่อมต่อกัน, 0 คือ ไม่เชื่อมต่อกัน)
  • เมตริกซ์ประชิด (adjacency matrix) - เป็นการจัดเก็บกราฟในเมทริกซ์ขนาด N คูณ N เมื่อ N คือจำนวนของจุดยอดในกราฟ ถ้ามีเส้นเชื่อมจากจุดยอด x ไปจุดยอด y แล้ว สมาชิก จะเป็น 1 ไม่เช่นนั้น จะเป็น 0 ซึ่งทำให้ง่ายต่อการหากราฟย่อย และกราฟย้อนกลับ
  • เมตริกซ์แบบลาปลัส (Laplacian matrix หรือ admittance matrix)There are several ways to store graphs in a computer system. The data structure depends on the structure of the graph. And the algorithm for processing the graph. Theoretically, we may distinguish a matrix structure with a matrix. In practice, it is often found that good structures are often hybrids of both structures. List structure is often used in the case of sparse graphs because of less memory usage. On the other hand, the matrix structure is Have faster access It uses large memory if the number of vertex is high.

การจำแนกชนิดของกราฟ[แก้]

ตามลักษณะข้อมูลที่เก็บ
  • กราฟแบบมีทิศทาง (directed graph) และ กราฟแบบไม่มีทิศทาง (undirected graph)
  • กราฟแบบมีน้ำหนัก (weighted graph) และ กราฟแบบไม่มีน้ำหนัก (unweighted graph)
ตามการเชื่อมโยง
  • กราฟสมบูรณ์ (complete graph)
  • กราฟต่อเนื่อง (connected graph)
  • กราฟไม่ต่อเนื่อง (unconnected graph)
  • ต้นไม้ (โครงสร้างข้อมูล) (tree)

ทฤษฎีบทและปัญหาบนกราฟ[แก้]

การค้นหากราฟย่อย[แก้]

การระบายสีกราฟ[แก้]

ปัญหาเส้นทาง[แก้]

การไหลในเครือข่าย[แก้]

ปัญหากราฟการมองเห็น[แก้]

ดูเพิ่ม[แก้]

ดูเพิ่ม[แก้]

  • J.A. Bondy and U.S.R. Murty, Graph Theory with Applications [1]
  • Reinhard Diestel, Graph Theory Third Edition [2]
  • Lawler E.L., Combinatorial optimization.. networks and matroids [3]
  • Einführung in Graphen und Algorithmen [4]