ทอพอโลยี

ทอพอโลยี (อังกฤษ: Topology, มาจากภาษากรีก: topos, สถานที่ และ logos, การเรียน) เป็นสาขาหลักทางคณิตศาสตร์ที่สนใจเกี่ยวกับคุณสมบัติทางรูปร่างของวัตถุต่าง ๆ ที่ไม่แปรเปลี่ยนภายใต้การดึง ยืด หด บีบ (โดยไม่มีการฉีก การเจาะ หรือ การเชื่อมติดใหม่) โดยเรียกคุณสมบัติเหล่านี้ว่าความไม่แปรผันทางทอพอโลยี บางครั้งจึงนิยมเรียกทอพอโลยีว่า "เรขาคณิตแผ่นยาง"

นอกจากนี้ ทอพอโลยี ยังหมายความถึงวัตถุทางคณิตศาสตร์ประเภทหนึ่ง ซึ่งในความหมายนี้ ทอพอโลยี เป็นการกำหนดคุณสมบัติของเซตให้สามารถดำเนินการดึง ยืด หด จุดต่าง ๆ ภายในเซตนั้นได้ ซึ่งการกำหนดคุณสมบัติเชิงทอพอโลยีให้กับเซต จะเปลี่ยนเซตดังกล่าวให้เป็น ปริภูมิเชิงทอพอโลยี ทำให้เราสามารถศึกษาฟังก์ชันที่คงสภาพความเป็นทอพอโลยีที่เรากำหนดไว้ได้

ทอพอโลยีในปัจจุบันเป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่ถูกศึกษากันอย่างกว้างขวาง โดยมีการประยุกต์สาขาอื่น ๆ ในคณิตศาสตร์ เช่น พีชคณิตนามธรรม เข้ามาร่วมด้วย และทอพอโลยียังถูกนำไปประยุกต์กับคณิตศาสตร์สาขาอื่น ๆ เช่น ตรรกศาสตร์

ประวัติ

ตัวสาขาทอพอโลยีที่ศึกษากันในปัจจุบันมีจุดเริ่มต้นในช่วงต้นคริสต์ศตวรรษที่ 20 แต่ทฤษฎีบทบางประการเป็นที่รู้กันมาก่อนหน้านี้แล้ว เรอเน เดการ์ต ค้นพบคุณสมบัติพื้นฐานทางทอพอโลยีของทรงหลายหน้าในเรขาคณิต ประมาณปี ค.ศ. 1630 แต่บทความดังกล่าวได้หายสาบสูญไป^[1] คุณสมบัติพื้นฐานอย่างเดียวกันนั้นถูกค้นพบใหม่ในภายหลังโดยเลออนฮาร์ด ออยเลอร์ ซึ่งปัจจุบันรู้จักกันในชื่อ สมการของออยเลอร์สำหรับทรงหลายหน้า ซึ่งกล่าวว่า รูปทรงหลายเหลี่ยมนูนที่มีจำนวนจุดยอดเท่ากับ V จำนวนขอบเท่ากับ E และจำนวนหน้าเท่ากับ F จะสอดคล้องกับสมการ

V-E+F=2

มีผู้ให้ความเห็นว่าทฤษฎีบทข้างต้นเป็นหนึ่งในทฤษฎีบทแรกเริ่มของวิชาทอพอโลยี^[2] อีกปัญหาที่ได้รับการยกย่องว่าเป็นทฤษฎีบทแรก ๆ ของวิชาทอพอโลยี คือ ปัญหาสะพานทั้งเจ็ดแห่งเมืองเคอนิชส์แบร์ค ซึ่งเลออนฮาร์ด ออยเลอร์ได้ศึกษาและตีพิมพ์ผลลัพธ์ในปี ค.ศ. 1736

นักคณิตศาสตร์ที่ศึกษาทอพอโลยีในสมัยต่อมา อาทิ โอกุสแต็ง-หลุยส์ โคชี, ลุดวิก ชเลฟลี, โยฮันน์ เบเนดิกต์ ลิสติง, แบร์นฮาร์ท รีมัน และ เอนริโก เบตติ^[3] ลิสติงเป็นผู้ริเริ่มใช้คำว่า "Topologie" โดยเป็นครั้งแรกในงานชื่อ Vorstudien zur Topologie (การศึกษาเบื้องต้นทางทอพอโลยี) ในปี 1847 โดยเขียนเป็นภาษาเยอรมัน ลิสติงใช้คำนี้ในจดหมายส่วนตัวเป็นเวลาสิบปีมาก่อนแล้ว^[4] งานของนักคณิตศาสตร์ทั้งหมดที่กล่าวไป ได้รับการตรวจสอบและเพิ่มเติมอย่างมากโดย อ็องรี ปวงกาเร ในปี ค.ศ. 1895 ปวงกาเรได้ตีพิมพ์บทความสำคัญที่ให้กำเนิดสาขาทอพอโลยีชื่อ Analysis Situs หรือ การวิเคราะห์เชิงตำแหน่ง ในวารสารนั้นปวงกาเรได้พัฒนาแนวคิดเรื่อง ฮอมอโทปี, กรุปมูลฐาน และ ฟังก์ชันสมานสัณฐาน ซึ่งเป็นที่มาของวิชา ทอพอโลยีเชิงพีชคณิต^[3]

มอริซ เฟรเชต์ ให้นิยาม ปริภูมิเมตริก เป็นครั้งแรกในปี ค.ศ. 1906^[5] และในปี ค.ศ. 1914 เฟลิซ เฮาส์ดอร์ฟ เป็นคนแรกที่ให้ชื่อ ปริภูมิเชิงทอพอโลยี และนิยามปริภูมิที่ในปัจจุบันเราเรียกว่า ปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟ^[6] นิยามปริภูมิเชิงทอพอโลยีในปัจจุบันขยายนัยทั่วไปกว่าปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟและนิยามโดย กาซีมีแยช กูราตอฟสกี ในปี ค.ศ. 1922^[7] ทอพอโลยีในปัจจุบันเกี่ยวข้องกับทฤษฎีเซตเป็นอย่างยิ่ง

รางวัลอาเบลประจำปี 2022 มอบให้แด่ Dennis Sullivan สำหรับงานของเขาในทอพอโลยีในความหมายโดยกว้างที่สุด ซึ่งรวมไปถึงมุมมองทางพีชคณิต เรขาคณิต และระบบพลวัตของทอพอโลยี^[8]

สาขาย่อยของทอพอโลยี

ทอพอโลยีทั่วไป

ทอพอโลยีทั่วไป (general topology) เป็นสาขาหลักของทอพอโลยี ซึ่งให้นิยามวัตถุพื้นฐานในทอพอโลยีผ่านทฤษฎีเซต และเป็นที่ประยุกต์ใช้ในทอพอโลยีสาขาอื่น หัวข้อที่ศึกษาในทอพอโลยีทั่วไปเช่น ปริภูมิเชิงทอพอโลยี ฟังก์ชันสมานสัณฐาน เป็นต้น ส่วนทฤษฎีพื้นฐานเช่น บทตั้งของอูรีซอห์น และ ทฤษฎีบทของไทโคนอฟ

เนื่องจากบทนิยามพื้นฐานของวัตถุในทอพอโลยีนิยามผ่านจุดและเซต จึงนิยมเรียกทอพอโลยีทั่วไปว่า ทอพอโลยีจุด-เซต (point-set topology)

ทอพอโลยีเชิงพีชคณิต

ทอพอโลยีเชิงพีชคณิต (algebraic topology) เป็นการประยุกต์ใช้เครื่องมือจาก พีชคณิตนามธรรม เพื่อศึกษาปริภูมิเชิงทอพอโลยี แนวคิดสำคัญคือการพยายามหาตัวยืนยง (invariant) สำหรับปริภูมิเชิงทอพอโลยีเพื่อที่จะจำแนกปริภูมิเชิงทอพอโลยี ตัวยืนยงที่สำคัญคือ กรุปหลักมูล และ กรุปโฮโมโลยี

ทอพอโลยีเชิงเรขาคณิต

ทอพอโลยีเชิงเรขาคณิต (geometric topology) เป็นการศึกษา แมนิโฟลด์ และการส่งระหว่างแมนิโฟลด์ สาขาหนึ่งของทอพอโลยีเชิงเรขาคณิตที่เป็นที่สนใจคือ ทอพอโลยีในมิติต่ำ (low-dimensional topology) ซึ่งรวมหัวข้อย่อยเช่น ทฤษฎีเงื่อน

ทอพอโลยีเชิงอนุพันธ์

ทอพอโลยีเชิงอนุพันธ์ (differential topology) ศึกษาโครงสร้างเชิงทอพอโลยีของแมนิโฟลด์หาอนุพันธ์ได้

แนวคิดสำคัญในทอพอโลยี

ปริภูมิเชิงทอพอโลยี

คำว่า ทอพอโลยี ในความหมายว่า ทอพอโลยีบน $X$ ยังหมายถึงแฟมิลีของสับเซตของเซต $X$ ที่ถูกกำหนดให้เป็นเซตเปิด

ให้ $X$ เป็นเซต และ $\tau$ เป็นแฟมิลีของสับเซตของ $X$ เราจะกล่าวว่า $\tau$ เป็นทอพอโลยีบน $X$ เมื่อ

เซตว่าง และ เซต $X$ เป็นสมาชิกของ $\tau$
ยูเนียนใด ๆ ของเซตใน $\tau$ จะเป็นสมาชิกของ $\tau$ หรือกล่าวอีกอย่างว่า $\tau$ มีคุณสมบัติปิดภายใต้ยูเนียน
อินเตอร์เซกชันของสองเซตใน $\tau$ เป็นสมาชิกของ $\tau$

ถ้า $\tau$ เป็นทอพอโลยีบน $X$ เราจะเรียก $(X,\tau )$ ว่าเป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยี (ในหลายครั้งเราจะละ $\tau$ ไว้แล้วกล่าวว่า $X$ เป็นปริภมิเชิงทอพอโลยี) สมาชิกใน $\tau$ จะเรียกว่าเป็น เซตเปิด (open set) ใน $X$ เซตที่เป็นคอมพลิเมนต์ของเซตเปิดใน $X$ จะเรียกว่า เซตปิด (closed set) สังเกตว่าสับเซตของ $X$ ตัวใดอาจเป็นเซตเปิด, เซตปิด, เซตเปิดและปิด หรือไม่เป็นทั้งสองอย่างพร้อมกัน สมบัติความเป็นเซตเปิดและความเป็นเซตปิดไม่ได้เป็นนิเสธของกันและกัน

ฟังก์ชันต่อเนื่องและฟังก์ชันสมานสัณฐาน

การแปลงรูปอย่างต่อเนื่องจากแก้วกาแฟไปเป็นโดนัท (ทอรัส) และการเปลี่ยนวัว (ที่ไม่มีรู) ให้เป็นทรงกลม ต่างก็เป็นตัวอย่างของฟังก์ชันสมานสัณฐาน

ฟังก์ชัน $f\colon X\to Y$ ระหว่างปริภูมิเชิงทอพอโลยี $(X,\tau )$ และ $(Y,\omega )$ จะเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง (continuous function) ก็ต่อเมื่อบุพภาพ $f^{-1}(U)$ ของเซตเปิด $U\in \omega$ ใด ๆ เป็นเซตเปิดด้วย (นั่นคือ $f^{-1}(U)\in \tau$ ) นิยามข้างต้นสมมูลกับนิยามฟังก์ชันต่อเนื่องทั่ว ๆ ไปบนเซตของจำนวนจริง เมื่อ $X=Y=\mathbb {R}$ และทอพอโลยีที่กำหนดให้บน $\mathbb {R}$ เป็นทอพอโลยีมาตรฐาน

ในกรณีที่ $f$ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องและหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง และอินเวอร์สของมันเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องด้วย จะเรียก $f$ ว่าเป็นฟังก์ชันสมานสัณฐาน (homeomorphism) ปริภูมิเชิงทอพอโลยีสองอันใด ๆ ที่มีฟังก์ชันสมาณสัณฐานระหว่างกัน จะมีคุณสมบัติทางทอพอโลยีเหมือนกัน ตัวอย่างเช่นลูกบาศก์และทรงกลมสมานสัณฐานต่อกัน โดนัทและแก้วกาแฟสมานสัณฐานต่อกัน แต่ทรงกลมไม่สมานสัณฐานกับโดนัท

อ้างอิง

↑ Stillwell, p. 469
↑ Richeson 2008, p. 63; Aleksandrov 1969, p. 204
↑ ^3.0 ^3.1 Richeson (2008)
↑ Listing, Johann Benedict, "Vorstudien zur Topologie", Vandenhoeck und Ruprecht, Göttingen, p. 67, 1848
↑ Fréchet, Maurice (1906). Sur quelques points du calcul fonctionnel. OCLC 8897542.
↑ Hausdorff, Felix, "Grundzüge der Mengenlehre", Leipzig: Veit. In (Hausdorff Werke, II (2002), 91–576)
↑ Croom 1989, p. 129
↑ "Prize winner 2022". The Norwegian Academy of Science and Letters. สืบค้นเมื่อ 23 March 2022.

Stillwell, John. Mathematics and Its history (3. ed.). New York: Springer. ISBN 978-1-4614-2632-5.
Aleksandrov, P.S. (1969) [1956], "Chapter XVIII Topology", ใน Aleksandrov, A.D.; Kolmogorov, A.N.; Lavrent'ev, M.A. (บ.ก.), Mathematics / Its Content, Methods and Meaning (2nd ed.), The M.I.T. Press
Richeson, D. (2008), Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topology, Princeton University Press

แหล่งข้อมูลอื่น

Munkres, J.R., Topology: A First Course, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1975.
Elementary Topology: A First Course Viro, Ivanov, Netsvetaev, Kharlamov (St. Petersburg University)
An invitation to Topology Planar Machines' web site
Geometry and Topology Index เก็บถาวร 2006-12-31 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน, MacTutor History of Mathematics archive เก็บถาวร 2009-02-04 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน
ODP category
The Topological Zoo เก็บถาวร 2012-02-04 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน by the Geometry Center at the University of Minnesota
Topology Atlas
Topology Course Lecture Notes Aisling McCluskey and Brian McMaster, Topology Atlas
Topology Glossary เก็บถาวร 2009-07-13 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน

[1] Stillwell, p. 469

[2] Richeson 2008, p. 63; Aleksandrov 1969, p. 204

[Richeson2-3] 3.0 ^3.1 Richeson (2008)

[4] Listing, Johann Benedict, "Vorstudien zur Topologie", Vandenhoeck und Ruprecht, Göttingen, p. 67, 1848

[5] Fréchet, Maurice (1906). Sur quelques points du calcul fonctionnel. OCLC 8897542.

[6] Hausdorff, Felix, "Grundzüge der Mengenlehre", Leipzig: Veit. In (Hausdorff Werke, II (2002), 91–576)

[7] Croom 1989, p. 129

[Abel-2022-8] "Prize winner 2022". The Norwegian Academy of Science and Letters. สืบค้นเมื่อ 23 March 2022.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

ด ค ก สาขาของวิชาคณิตศาสตร์
ประวัติ เส้นเวลา โครงร่าง หัวข้อ อภิธานศัพท์
รากฐาน	ทฤษฎีเซต คณิตตรรกศาสตร์ ทฤษฎีการพิสูจน์ ทฤษฎีโมเดล ทฤษฎีการเวียนเกิด ทฤษฎีแคทิกอรี ทฤษฎีไทป์ ปรัชญาของคณิตศาสตร์
พีชคณิต	พีชคณิตพื้นฐาน พีชคณิตเชิงเส้น พีชคณิตเชิงหลายเส้น พีชคณิตนามธรรม ทฤษฎีกรุป ทฤษฎีกาลัว พีชคณิตสลับที่ พีชคณิตสากล พีชคณิตเชิงโฮโมโลยี
คณิตวิเคราะห์	แคลคูลัส การวิเคราะห์เชิงจริง การวิเคราะห์เชิงซ้อน การวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน การวิเคราะห์ฮาร์มอนิก ทฤษฎีเมเชอร์‎ สมการเชิงอนุพันธ์
วิยุตคณิต	คณิตศาสตร์เชิงการจัด ทฤษฎีกราฟ ทฤษฎีเกม ทฤษฎีอันดับ
เรขาคณิต	เรขาคณิตจำกัด เรขาคณิตเชิงพีชคณิต เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ เรขาคณิตแบบยุคลิด เรขาคณิตวิเคราะห์ เรขาคณิตวิยุต
ทฤษฎีจำนวน	เลขคณิต ทฤษฎีจำนวนเชิงพีชคณิต ทฤษฎีจำนวนเชิงวิเคราะห์ เรขาคณิตไดโอแฟนไทน์
ทอพอโลยี	ทอพอโลยีทั่วไป ทอพอโลยีเชิงพีชคณิต ทอพอโลยีเชิงเรขาคณิต ทฤษฎีเงื่อน ทอพอโลยีเชิงอนุพันธ์ ทฤษฎีโฮโมโทปี
ประยุกต์	ความน่าจะเป็น สถิติศาสตร์ คณิตศาสตร์การเงิน คณิตศาสตร์เคมี คณิตศาสตร์จิตวิทยา คณิตศาสตร์ชีววิทยา คณิตศาสตร์ฟิสิกส์ คณิตศาสตร์เศรษฐศาสตร์ ทฤษฎีระบบควบคุม
คณนา	การวิเคราะห์เชิงตัวเลข การหาค่าเหมาะที่สุด ทฤษฎีการคำนวณ พีชคณิตของคอมพิวเตอร์ วิทยาการคอมพิวเตอร์
อื่น ๆ	ประวัติของคณิตศาสตร์ คณิตศาสตร์นันทนาการ คณิตศาสตร์และศิลปะ การสอนคณิตศาสตร์
หมวดหมู่ สถานีย่อย