ทอพอโลยี

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
ไปยังการนำทาง ไปยังการค้นหา
การเปลี่ยนรูปถ้วยกาแฟเป็นโดนัท

ทอพอโลยี (อังกฤษ: Topology, มาจากภาษากรีก: topos, สถานที่ และ logos, การเรียน) เป็นสาขาหลักทางคณิตศาสตร์ที่สนใจเกี่ยวกับคุณสมบัติทางรูปร่างของวัตถุต่าง ๆ ที่ไม่แปรเปลี่ยนภายใต้การดึง ยืด หด บีบ (โดยไม่มีการฉีก การเจาะ หรือ การเชื่อมติดใหม่) โดยเรียกคุณสมบัติเหล่านี้ว่าความไม่แปรผันทางทอพอโลยี บางครั้งจึงนิยมเรียกทอพอโลยีว่า "เรขาคณิตแผ่นยาง"

นอกจากนี้ ทอพอโลยี ยังหมายความถึงวัตถุทางคณิตศาสตร์ประเภทหนึ่ง ซึ่งในความหมายนี้ ทอพอโลยี เป็นการกำหนดคุณสมบัติของเซตให้สามารถดำเนินการดึง ยืด หด จุดต่าง ๆ ภายในเซตนั้นได้ ซึ่งการกำหนดคุณสมบัติเชิงทอพอโลยีให้กับเซต จะเปลี่ยนเซตดังกล่าวให้เป็น ปริภูมิเชิงทอพอโลยี ทำให้เราสามารถศึกษาฟังก์ชันที่คงสภาพความเป็นทอพอโลยีที่เรากำหนดไว้ได้

ทอพอโลยีในปัจจุบันเป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่ถูกศึกษากันอย่างกว้างขวาง โดยมีการประยุกต์สาขาอื่น ๆ ในคณิตศาสตร์ เช่น พีชคณิตนามธรรม เข้ามาร่วมด้วย และทอพอโลยียังถูกนำไปประยุกต์กับคณิตศาสตร์สาขาอื่น ๆ เช่น ตรรกศาสตร์

ประวัติ[แก้]

ตัวสาขาทอพอโลยีที่ศึกษากันในปัจจุบันมีจุดเริ่มต้นในช่วงต้นคริสต์ศตวรรษที่ 20 แต่ทฤษฎีบทบางประการเป็นที่รู้กันมาก่อนหน้านี้แล้ว เรอเน เดการ์ต ค้นพบคุณสมบัติพื้นฐานทางทอพอโลยีของทรงหลายหน้าในเรขาคณิต ประมาณปี ค.ศ. 1630 แต่บทความดังกล่าวได้หายสาบสูญไป[1] คุณสมบัติพื้นฐานอย่างเดียวกันนั้นถูกค้นพบใหม่ในภายหลังโดยเลออนฮาร์ด ออยเลอร์ ซึ่งปัจจุบันรู้จักกันในชื่อ สมการของออยเลอร์สำหรับทรงหลายหน้า ซึ่งกล่าวว่า รูปทรงหลายเหลี่ยมนูนที่มีจำนวนจุดยอดเท่ากับ V จำนวนขอบเท่ากับ E และจำนวนหน้าเท่ากับ F จะสอดคล้องกับสมการ

มีผู้ให้ความเห็นว่าทฤษฎีบทข้างต้นเป็นหนึ่งในทฤษฎีบทแรกเริ่มของวิชาทอพอโลยี[2] อีกปัญหาที่ได้รับการยกย่องว่าเป็นทฤษฎีบทแรก ๆ ของวิชาทอพอโลยี คือ ปัญหาสะพานทั้งเจ็ดแห่งเมืองเคอนิชส์แบร์ค ซึ่งเลออนฮาร์ด ออยเลอร์ได้ศึกษาและตีพิมพ์ผลลัพธ์ในปี ค.ศ. 1736

นักคณิตศาสตร์ที่ศึกษาทอพอโลยีในสมัยต่อมาดังเช่น โอกุสแต็ง-หลุยส์ โคชี, ลุดวิก ชเลฟลี, โยฮันน์ เบเนดิกต์ ลิสติง, แบร์นฮาร์ท รีมัน และ เอนริโก เบตติ งานของนักคณิตศาสตร์ทั้งหมดที่กล่าวไป ได้รับการตรวจสอบและเพิ่มเติมอย่างมากโดย อ็องรี ปวงกาเร และในปี ค.ศ. 1895 ปวงกาเรได้ตีพิมพ์บทความสำคัญที่ให้กำเนิดสาขาทอพอโลยีชื่อ Analysis Situs หรือ การวิเคราะห์เชิงตำแหน่ง ในวารสารนั้นปวงกาเรได้พัฒนาแนวคิดเรื่อง ฮอมอโทปี, กรุปมูลฐาน และ ฟังก์ชันสมานสัณฐาน ซึ่งเป็นที่มาของวิชา ทอพอโลยีเชิงพีชคณิต

มอริซ เฟรเชต์ ให้นิยาม ปริภูมิเมตริก เป็นครั้งแรกในปี ค.ศ. 1906 และในปี ค.ศ. 1914 เฟลิซ เฮาส์ดอร์ฟ เป็นคนแรกที่ให้ชื่อ ปริภูมิเชิงทอพอโลยี และนิยามปริภูมิที่ในปัจจุบันเราเรียกว่า ปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟ นิยามปริภูมิเชิงทอพอโลยีในปัจจุบันขยายนัยทั่วไปกว่าปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟและนิยามโดย กาซีมีแยช กูราตอฟสกี ในปี ค.ศ. 1922

สาขาย่อยของทอพอโลยี[แก้]

ทอพอโลยีทั่วไป[แก้]

ดูบทความหลักที่: ทอพอโลยีทั่วไป

ทอพอโลยีทั่วไป (General topology) เป็นสาขาหลักของทอพอโลยี ซึ่งให้นิยามวัตถุพื้นฐานในทอพอโลยีผ่านทฤษฎีเซต และเป็นที่ประยุกต์ใช้ในทอพอโลยีสาขาอื่น หัวข้อที่ศึกษาในทอพอโลยีทั่วไปเช่น ปริภูมิเชิงทอพอโลยี ฟังก์ชันสมานสัณฐาน เป็นต้น ส่วนทฤษฎีพื้นฐานเช่น บทตั้งของอูรีซอห์น และ ทฤษฎีบทของไทโคนอฟ

เนื่องจากบทนิยามพื้นฐานของวัตถุในทอพอโลยีนิยามผ่านจุดและเซต จึงนิยมเรียกทอพอโลยีทั่วไปว่า ทอพอโลยีจุด-เซต (Point-set topology)

ทอพอโลยีเชิงพีชคณิต[แก้]

ดูบทความหลักที่: ทอพอโลยีเชิงพีชคณิต

ทอพอโลยีเชิงพีชคณิต (Algebraic topology) เป็นการประยุกต์ใช้เครื่องมือจาก พีชคณิตนามธรรม เพื่อศึกษาปริภูมิเชิงทอพอโลยี แนวคิดสำคัญคือการพยายามหาตัวยืนยง (invariant) สำหรับปริภูมิเชิงทอพอโลยีเพื่อที่จะจำแนกปริภูมิเชิงทอพอโลยี ตัวยืนยงที่สำคัญคือ กรุปหลักมูล และ กรุปโฮโมโลยี

ทอพอโลยีเชิงเรขาคณิต[แก้]

ดูบทความหลักที่: ทอพอโลยีเชิงเรขาคณิต

ทอพอโลยีเชิงเรขาคณิต (Geometric topology) เป็นการศึกษา แมนิโฟลด์ และการส่งระหว่างแมนิโฟลด์ สาขาหนึ่งของทอพอโลยีเชิงเรขาคณิตที่เป็นที่สนใจคือ ทอพอโลยีในมิติต่ำ (Low-dimensional topology) ซึ่งรวมหัวข้อย่อยเช่น ทฤษฎีเงื่อน

ทอพอโลยีเชิงอนุพันธ์[แก้]

ดูบทความหลักที่: ทอพอโลยีเชิงอนุพันธ์

ทอพอโลยีเชิงอนุพันธ์ (Differential topology) ศึกษาโครงสร้างเชิงทอพอโลยีของแมนิโฟลด์หาอนุพันธ์ได้

แนวคิดสำคัญในทอพอโลยี[แก้]

ปริภูมิเชิงทอพอโลยี[แก้]

ดูบทความหลักที่: ปริภูมิเชิงทอพอโลยี

ให้ X เป็นเซต และ T เป็นเซตของสับเซตของ X เราจะกล่าวว่า T เป็นทอพอโลยีบน X เมื่อ

  1. เซตว่าง และ เซต X เป็นสมาชิกของ T
  2. ยูเนียนของกลุ่มเซตใด ๆ ที่อยู่ใน T เป็นสมาชิกของ T หรือกล่าวอีกอย่างว่า T มีคุณสมบัติปิดภายใต้ยูเนียน
  3. อินเตอร์เซกชันของสองเซตใน T เป็นสมาชิกของ T

ถ้า T เป็นทอพอโลยีบน X เราจะเรียก X กับ T ว่าเป็น topological space (ในหลายครั้งเราจะละ T ไว้แล้วกล่าวว่า X เป็น topological space)

อ้างอิง[แก้]

  1. Stillwell, p. 469
  2. Richeson 2008, p. 63; Aleksandrov 1969, p. 204
  • Stillwell, John. Mathematics and Its history (3. ed.). New York: Springer. ISBN 978-1-4614-2632-5.
  • Aleksandrov, P.S. (1969) [1956], "Chapter XVIII Topology", ใน Aleksandrov, A.D.; Kolmogorov, A.N.; Lavrent'ev, M.A. (บ.ก.), Mathematics / Its Content, Methods and Meaning (2nd ed.), The M.I.T. Press
  • Richeson, D. (2008), Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topology, Princeton University Press

แหล่งข้อมูลอื่น[แก้]