ทฤษฎีเมเชอร์

ทฤษฎีเมเชอร์ (อังกฤษ: measure theory) เป็นสาขาทางคณิตศาสตร์ของคณิตวิเคราะห์เชิงจริง เพื่อใช้อธิบายนิยามทางคณิตศาสตร์ของ "ความยาว" "พื้นที่" "ปริมาตร" หรืออะไรก็ตามที่วัดได้ ตัวอย่างการนำทฤษฎีเมเชอร์ไปใช้ในสาขาอื่น คือ การที่นักคณิตศาสตร์หลายท่านมองว่าความน่าจะเป็นเหมาะสมเป็นปริมาณเมเชอร์ประเภทหนึ่ง จึงได้ใช้ทฤษฎีเมเชอร์ในการพัฒนาทฤษฎีความน่าจะเป็นเชิงคณิตศาสตร์ (mathematical probability) (หรือทฤษฎีความน่าจะเป็นยุคใหม่) ขึ้น ก่อให้เกิดความก้าวหน้ากับทฤษฎีความน่าจะเป็นเป็นอย่างมาก

อย่างไรก็ตาม จุดประสงค์เริ่มต้นของการสร้างสาขาทฤษฎีเมเชอร์คือ การนำไปใช้กับทฤษฎีของปริพันธ์ เพื่อขยายทฤษฎีปริพันธ์ของรีมันน์ไปยังขอบเขตที่กว้างขึ้น โดยนักคณิตศาสตร์ที่มีส่วนสำคัญในการคิดค้นทฤษฎีเมเชอร์ในยุคแรก ๆ คือ จูเซ็ปเป้ เพียโน มารี คามิลเลอร์ จอร์แดน เอมีล โบเรล และอองรี เลอเบ็ก

นิยามทางคณิตศาสตร์ของเมเชอร์

คำอธิบายอย่างไม่เป็นทางการ

ในทางคณิตศาสตร์ เมเชอร์ จะต้องมีคุณสมบัติ 3 ข้อดังจะอธิบายหยาบ ๆ ต่อไปนี้

1. ไม่ว่าจะวัดวัตถุอะไร ต้องวัดค่าของวัตถุนั้นได้อย่างน้อยที่สุดคือศูนย์ ไม่มีทางได้ค่าลบ
2. สำหรับวัตถุว่างเปล่า (เทียบเท่าเซตว่างในทางคณิตศาสตร์) เราวัดความไม่มีตัวตนนั้นได้ศูนย์
3. เอาวัตถุหลาย ๆ ชิ้นที่ไม่มีส่วนเชื่อมกัน มารวมกันเป็นชิ้นเดียว, ค่าที่วัดได้ของวัตถุชิ้นใหม่นั้นก็คือ ค่าที่วัดได้จากวัตถุแต่ละชิ้น แล้วนำมาบวกกันนั่นเอง

จากคำอธิบายอย่างหยาบข้างต้น จะเห็นว่าแม้ในนิยามอย่างเป็นทางการของทฤษฎีเมเชอร์ในหัวข้อต่อไปจะดูซับซ้อน แต่แนวคิดของทฤษฎีเมเชอร์นั้นง่ายและสมเหตุสมผลเป็นอย่างยิ่ง.

นิยามอย่างเป็นทางการ

ในทางคณิตศาสตร์ เมเชอร์: μ คือ ฟังก์ชันที่ส่งค่าจากโดเมนประเภทซิกมาแอลจีบรา Σ ที่นิยามบนเซต X ไปยังเรนจ์ที่เป็นจำนวนจริงบวกขยาย [0, ∞] และ μ ต้องมีคุณสมบัติสองข้อต่อไปนี้

1. เซตว่างมีปริมาณที่วัดได้เท่ากับศูนย์ (หรือเรียกว่ามี เมเชอร์เท่ากับศูนย์) :

$\mu (\varnothing) = 0;$

2. มี สภาพการบวกนับได้ (countable additivity) หรืออาจเรียกว่ามีสภาพการบวกแบบซิกมา (σ-additivity) : ถ้ากำหนดให้ E₁, E₂, E₃, ... เป็นลำดับแบบนับได้ของเซตที่ไม่มีส่วนร่วมเป็นคู่ ๆใน Σ แล้ว,

$\mu\left (\bigcup_{i=1}^\infty E_i\right) = \sum_{i=1}^\infty \mu (E_i).$

เราจะใช้สัญกรณ์ (X,Σ,μ) เพื่อนิยามปริภูมิเมเชอร์ หรืออาจเรียกว่าปริภูมิเมเชอร์. นั่นคือปริภูมิเมเชอร์ประกอบไปด้วยเซต X, ซิกมาแอลจีบรา บนเซต X และฟังก์ชันที่นิยามบน ซิกมาแอลจีบรา นั้น. อนึ่ง แต่ละสมาชิกใน Σ จะถูกเรียกว่าเซตที่สามารถวัดได้ (measurable sets).

หมายเหตุ: ปริภูมิความน่าจะเป็น

ในทฤษฎีความน่าจะเป็นเชิงคณิตศาสตร์, ฟังก์ชันความน่าจะเป็น ก็คือ ฟังก์ชันเมเชอร์ที่มีเงื่อนไขเพิ่มเติม คือ

3.

$\mu (X) = 1.$

นอกจากนั้นมักจะใช้สัญกรณ์ $(\Omega,\mathfrak{F},P)$ แทนปริภูมิความน่าจะเป็น แทนที่จะใช้สัญกรณ์ (X,Σ,μ) เนื่องจาก X มักใช้แทนตัวแปรสุ่ม และใช้ μ แทนค่าเฉลี่ย .

คุณสมบัติที่พิสูจน์ได้จากนิยาม

Monotonicity

μ มีคุณสมบัติ monotonic: กำหนดให้ E₁ และ E₂ เป็นเซตที่สามารถวัดได้ (เป็นสมาชิกใน Σ) และ E₁ ⊆ E₂, แล้ว μ (E₁) ≤ μ (E₂).

คำอธิบายอย่างหยาบ: ถ้าวัตถุหนึ่งและวัตถุสองสามารถวัดค่าได้ และวัตถุแรกจริง ๆ แล้วเป็นเพียงส่วนประกอบของวัตถุสอง ค่าที่วัดได้ของวัตถุสองจะมากกว่าหรือเท่ากับวัตถุแรกเสมอ

เมเชอร์ของยูเนียนแบบนับได้ของเซต

กำหนดให้ $E_1, E_2, E_3, ...$ เป็นลำดับแบบนับได้ของเซตใน Σ จะได้ว่า

$\mu\left ( \bigcup_{i=1}^\infty E_i\right) \le \sum_{i=1}^\infty \mu (E_i)$.

นอกจากนั้นเรายังได้ว่า ถ้ากำหนดให้ $E_1, E_2, E_3, ...$ เป็นเซตใน Σ และ $E_n \subseteq E_{n+1} ,\forall n \in \mathbb{N}$, แล้วจะได้ว่า $\bigcup_{n=1}^\infty E_n$ อยู่ใน Σ ด้วยและ

$\mu\left (\bigcup_{i=1}^\infty E_i\right) = \lim_{i\to\infty} \mu (E_i)$.

เมเชอร์ของอินเตอร์เซกชันแบบนับได้ของเซต

กำหนดให้ $E_1, E_2, E_3, ...$ เป็นเซตใน Σ และ $E_{n+1} \subseteq E_n ,\forall n \in \mathbb{N}$, แล้วจะได้ว่า $\bigcap_{n=1}^\infty E_n$ อยู่ใน Σ ด้วยและ ยิ่งไปกว่านั้น ถ้ามีสมาชิก $E_n$ อย่างน้อยหนึ่งตัวที่มีค่าเมเชอร์จำกัด เราจะได้ว่า

$\mu\left (\bigcap_{i=1}^\infty E_i\right) = \lim_{i\to\infty} \mu (E_i)$.

คุณสมบัตินี้ไม่เป็นจริงถ้าไม่มีสมาชิก $E_n$ ใด ๆ เลยที่มีเมเชอร์จำกัด (คือมีค่าเมเชอร์เป็นอนันต์ทุกตัว) ตัวอย่างเช่น ถ้าให้ n ∈ N,

$E_n = [n, \infty) \subseteq \mathbb{R}$

เราจะได้ว่าทุก ๆ $E_n$ มีเมเชอร์อนันต์แต่ว่าอินเตอร์เซ็กชันของเซตทั้งหมดมีเมเชอร์เป็นศูนย์

ตัวอย่างของเมเชอร์ต่าง ๆ ทางคณิตศาสตร์ที่น่าสนใจ

• เมเชอร์การนับ นิยามจากการนับจำนวนสมาชิกของเซตนั่นเอง
• เลอเบ็กเมเชอร์ หรือ เมเชอร์ของเลอเบ็ก เป็นหนึ่งในเมเชอร์ที่สำคัญที่สุด ได้ขยายนิยามความยาวที่เราคุ้นเคย เช่น ความยาวของเซต [0,5] คือ 5 ไปยังเซตอื่น ๆ เช่น ความยาวของเซตตรรกยะในช่วง [0,1] สามารถวัดได้ ด้วยเลอเบ็กเมเชอร์.
• เมเชอร์ความน่าจะเป็น คือ ฟังก์ชันความน่าจะเป็นดังที่กำหนดไว้ในสัจพจน์ของความน่าจะเป็น. กล่าวง่าย ๆ เมเชอร์ความน่าจะเป็น ก็คือเมเชอร์หรือเมเชอร์ธรรมดาที่ได้นิยามไว้ในหัวข้อข้างต้น แต่มีคุณสมบัติเพิ่มเติมหนึ่งข้อ คือ เมเชอร์ของเซต X (เซตที่ใหญ่ที่สุด) ต้องมีค่าเท่ากับหนึ่ง.
• โบเรลเมเชอร์
• จอร์แดนเมเชอร์

ดูเพิ่ม

• เมเชอร์ภายนอก
• ปริพันธ์ของเลอเบ็ก
• เมเชอร์ของเลอเบ็ก
• เมเชอร์ผลคูณ