เมเชอร์ (คณิตศาสตร์)

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
(เปลี่ยนทางจาก ทฤษฎีเมเชอร์)
ไปยังการนำทาง ไปยังการค้นหา
เมเชอร์ เป็นการระบุตัวเลขแก่เซต ซึ่งอาจมองได้ว่าเป็นการระบุขนาดของเซต

ในคณิตศาสตร์ เมเชอร์ (อังกฤษ: measure) บนเซตใด ๆ เป็นวิธีการให้ตัวเลขแก่ซับเซตบางตัวของเซตนั้น ซึ่งนิยมตีความว่าตัวเลขนั้นแทนขนาดของเซต ในมุมมองดังกล่าว เมเชอร์เป็นการวางนัยทั่วไปของแนวคิดเชิงเรขาคณิตอันได้แก่ ความยาว พื้นที่ และปริมาตร ตัวอย่างการนำทฤษฎีเมเชอร์ไปใช้ในสาขาอื่น คือ การที่นักคณิตศาสตร์หลายท่านมองว่าความน่าจะเป็นเหมาะสมเป็นปริมาณเมเชอร์ประเภทหนึ่ง จึงได้ใช้ทฤษฎีเมเชอร์ในการพัฒนาทฤษฎีความน่าจะเป็นเชิงคณิตศาสตร์ (mathematical probability) (หรือทฤษฎีความน่าจะเป็นยุคใหม่) ขึ้น ก่อให้เกิดความก้าวหน้ากับทฤษฎีความน่าจะเป็นเป็นอย่างมาก

จุดเริ่มต้นของการสร้างสาขาทฤษฎีเมเชอร์เพื่อนำไปใช้กับทฤษฎีของปริพันธ์และขยายทฤษฎีปริพันธ์ของรีมันน์ไปยังขอบเขตที่กว้างขึ้น โดยนักคณิตศาสตร์ที่มีส่วนสำคัญในการคิดค้นทฤษฎีเมเชอร์ในยุคแรก ๆ คือ จูเซ็ปเป้ เพียโน กามีย์ ฌอร์ด็อง เอมีล โบเรล และอองรี เลอเบ็ก

นิยามทางคณิตศาสตร์ของเมเชอร์[แก้]

สภาพการบวกแบบอนันต์นับได้ของเมเชอร์: เมเชอร์ของยูเนียนนับได้ จะเท่ากับผลรวมของเมเชอร์ของสับเซตในยูเนียนนั้น

คำอธิบายอย่างไม่เป็นทางการ[แก้]

ในทางคณิตศาสตร์ เมเชอร์ จะต้องมีคุณสมบัติ 3 ข้อดังจะอธิบายหยาบ ๆ ต่อไปนี้

  1. ไม่ว่าจะวัดวัตถุอะไร ต้องวัดค่าของวัตถุนั้นได้อย่างน้อยที่สุดคือศูนย์ ไม่มีทางได้ค่าลบ
  2. สำหรับวัตถุว่างเปล่า (เทียบเท่าเซตว่างในทางคณิตศาสตร์) เราวัดความไม่มีตัวตนนั้นได้ศูนย์
  3. เอาวัตถุหลาย ๆ ชิ้นที่ไม่มีส่วนเชื่อมกัน มารวมกันเป็นชิ้นเดียว, ค่าที่วัดได้ของวัตถุชิ้นใหม่นั้นก็คือ ค่าที่วัดได้จากวัตถุแต่ละชิ้น แล้วนำมาบวกกันนั่นเอง

จากคำอธิบายอย่างหยาบข้างต้น จะเห็นว่าแม้ในนิยามอย่างเป็นทางการของทฤษฎีเมเชอร์ในหัวข้อต่อไปจะดูซับซ้อน แต่แนวคิดของทฤษฎีเมเชอร์นั้นง่ายและสมเหตุสมผลเป็นอย่างยิ่ง.

นิยามอย่างเป็นทางการ[แก้]

ให้ μ เป็นฟังก์ชันที่ส่งค่าจากโดเมนประเภทซิกมาแอลจีบรา Σ ที่นิยามบนเซต X ไปยังเรนจ์ที่เป็นจำนวนจริงขยาย [0, ∞] จะเรียก μ ว่าเป็น เมเชอร์ (measure) ก็ต่อเมื่อ μ มีสมบัติต่อไปนี้

  1. ความไม่เป็นลบ: ทุกค่า E ใน Σ จะต้องได้ว่า
  2. เซตว่างมีเมเชอร์เท่ากับศูนย์:
  3. มี สภาพการบวกแบบอนันต์นับได้ (countable additivity) หรืออาจเรียกว่ามีสภาพการบวกแบบซิกมา (σ-additivity) : ถ้ากำหนดให้ E1, E2, E3, ... เป็นลำดับแบบนับได้ของเซตที่ไม่มีส่วนร่วมเป็นคู่ ๆ ใน Σ แล้ว,

เราจะเรียกสามสิ่งอันดับ (X,Σ,μ) ที่สอดคล้องกับเงื่อนไขข้างต้นว่า ปริภูมิเมเชอร์ (measurable space) และแต่ละสมาชิกใน Σ จะถูกเรียกว่าเซตที่หาเมเชอร์ได้ (measurable sets)

ปริภูมิความน่าจะเป็น[แก้]

ในทฤษฎีความน่าจะเป็น ฟังก์ชันความน่าจะเป็น ก็คือ เมเชอร์ที่มีเงื่อนไขเพิ่มเติม คือ เมเชอร์ของปริภูมิมีค่าเท่ากับหนึ่ง หรือก็คือ

นอกจากนั้นมักจะใช้สัญกรณ์ แทนปริภูมิความน่าจะเป็น แทนที่จะใช้สัญกรณ์ (X,Σ,μ) เพื่อลดความกำกวมเนื่องจาก X มักใช้แทนตัวแปรสุ่ม และใช้ μ แทนค่าเฉลี่ย

คุณสมบัติที่พิสูจน์ได้จากนิยาม[แก้]

ให้ μ เป็นเมเชอร์

ความเป็นฟังก์ชันทางเดียว[แก้]

μ มีสมบัติเป็นฟังก์ชันทางเดียว : กำหนดให้ E1 และ E2 เป็นเซตที่หาเมเชอร์ได้ (เป็นสมาชิกใน Σ) และ E1E2 แล้วจะได้ว่า μ (E1) ≤ μ (E2)

เมเชอร์ของยูเนียนแบบนับได้ของเซต[แก้]

กำหนดให้ เป็นลำดับแบบนับได้ของเซตใน Σ จะได้ว่า

.

นอกจากนั้นเรายังได้ว่า ถ้ากำหนดให้ เป็นเซตใน Σ และ , แล้วจะได้ว่า อยู่ใน Σ ด้วยและ

เมเชอร์ของอินเตอร์เซกชันแบบนับได้ของเซต[แก้]

กำหนดให้ เป็นเซตใน Σ และ , แล้วจะได้ว่า อยู่ใน Σ ด้วยและ ยิ่งไปกว่านั้น ถ้ามีสมาชิก อย่างน้อยหนึ่งตัวที่มีค่าเมเชอร์จำกัด เราจะได้ว่า

.

คุณสมบัตินี้ไม่เป็นจริงถ้าไม่มีสมาชิก ใด ๆ เลยที่มีเมเชอร์จำกัด (คือมีค่าเมเชอร์เป็นอนันต์ทุกตัว) ตัวอย่างเช่น ถ้าให้ nN,

เราจะได้ว่าทุก ๆ มีเมเชอร์อนันต์แต่ว่าอินเตอร์เซ็กชันของเซตทั้งหมดมีเมเชอร์เป็นศูนย์


ตัวอย่างของเมเชอร์ต่าง ๆ ทางคณิตศาสตร์ที่น่าสนใจ[แก้]


ดูเพิ่ม[แก้]

อ้างอิง[แก้]

  • P. Halmos, Measure theory, D. van Nostrand and Co., 1950
  • Kopp and Capinski, Measure, Integration and Probability, 2nd Edition, Springer, 2000.
  • D. H. Fremlin, Measure Theory, Torres Fremlin, 2000. Available online at http://www.essex.ac.uk/maths/staff/fremlin/mt.htm
  • F. Jones, Lebesgue Integration in Euclidean Spaces, Jones and Barlett Publisher, 1999.