ทฤษฎีเมเชอร์
ทฤษฎีเมเชอร์ (อังกฤษ: measure theory) เป็นสาขาทางคณิตศาสตร์ของคณิตวิเคราะห์เชิงจริง เพื่อใช้อธิบายนิยามทางคณิตศาสตร์ของ "ความยาว" "พื้นที่" "ปริมาตร" หรืออะไรก็ตามที่วัดได้ ตัวอย่างการนำทฤษฎีเมเชอร์ไปใช้ในสาขาอื่น คือ การที่นักคณิตศาสตร์หลายท่านมองว่าความน่าจะเป็นเหมาะสมเป็นปริมาณเมเชอร์ประเภทหนึ่ง จึงได้ใช้ทฤษฎีเมเชอร์ในการพัฒนาทฤษฎีความน่าจะเป็นเชิงคณิตศาสตร์ (mathematical probability) (หรือทฤษฎีความน่าจะเป็นยุคใหม่) ขึ้น ก่อให้เกิดความก้าวหน้ากับทฤษฎีความน่าจะเป็นเป็นอย่างมาก
อย่างไรก็ตาม จุดประสงค์เริ่มต้นของการสร้างสาขาทฤษฎีเมเชอร์คือ การนำไปใช้กับทฤษฎีของปริพันธ์ เพื่อขยายทฤษฎีปริพันธ์ของรีมันน์ไปยังขอบเขตที่กว้างขึ้น โดยนักคณิตศาสตร์ที่มีส่วนสำคัญในการคิดค้นทฤษฎีเมเชอร์ในยุคแรก ๆ คือ จูเซ็ปเป้ เพียโน มารี คามิลเลอร์ จอร์แดน เอมีล โบเรล และอองรี เลอเบ็ก
นิยามทางคณิตศาสตร์ของเมเชอร์[แก้]
คำอธิบายอย่างไม่เป็นทางการ[แก้]
ในทางคณิตศาสตร์ เมเชอร์ จะต้องมีคุณสมบัติ 3 ข้อดังจะอธิบายหยาบ ๆ ต่อไปนี้
- ไม่ว่าจะวัดวัตถุอะไร ต้องวัดค่าของวัตถุนั้นได้อย่างน้อยที่สุดคือศูนย์ ไม่มีทางได้ค่าลบ
- สำหรับวัตถุว่างเปล่า (เทียบเท่าเซตว่างในทางคณิตศาสตร์) เราวัดความไม่มีตัวตนนั้นได้ศูนย์
- เอาวัตถุหลาย ๆ ชิ้นที่ไม่มีส่วนเชื่อมกัน มารวมกันเป็นชิ้นเดียว, ค่าที่วัดได้ของวัตถุชิ้นใหม่นั้นก็คือ ค่าที่วัดได้จากวัตถุแต่ละชิ้น แล้วนำมาบวกกันนั่นเอง
จากคำอธิบายอย่างหยาบข้างต้น จะเห็นว่าแม้ในนิยามอย่างเป็นทางการของทฤษฎีเมเชอร์ในหัวข้อต่อไปจะดูซับซ้อน แต่แนวคิดของทฤษฎีเมเชอร์นั้นง่ายและสมเหตุสมผลเป็นอย่างยิ่ง.
นิยามอย่างเป็นทางการ[แก้]
ในทางคณิตศาสตร์ เมเชอร์: μ คือ ฟังก์ชันที่ส่งค่าจากโดเมนประเภทซิกมาแอลจีบรา Σ ที่นิยามบนเซต X ไปยังเรนจ์ที่เป็นจำนวนจริงบวกขยาย [0, ∞] และ μ ต้องมีคุณสมบัติสองข้อต่อไปนี้
1. เซตว่างมีปริมาณที่วัดได้เท่ากับศูนย์ (หรือเรียกว่ามี เมเชอร์เท่ากับศูนย์) :
2. มี สภาพการบวกนับได้ (countable additivity) หรืออาจเรียกว่ามีสภาพการบวกแบบซิกมา (σ-additivity) : ถ้ากำหนดให้ E1, E2, E3, ... เป็นลำดับแบบนับได้ของเซตที่ไม่มีส่วนร่วมเป็นคู่ ๆใน Σ แล้ว,
เราจะใช้สัญกรณ์ (X,Σ,μ) เพื่อนิยามปริภูมิเมเชอร์ หรืออาจเรียกว่าปริภูมิเมเชอร์. นั่นคือปริภูมิเมเชอร์ประกอบไปด้วยเซต X, ซิกมาแอลจีบรา บนเซต X และฟังก์ชันที่นิยามบน ซิกมาแอลจีบรา นั้น. อนึ่ง แต่ละสมาชิกใน Σ จะถูกเรียกว่าเซตที่สามารถวัดได้ (measurable sets).
หมายเหตุ: ปริภูมิความน่าจะเป็น[แก้]
ในทฤษฎีความน่าจะเป็นเชิงคณิตศาสตร์, ฟังก์ชันความน่าจะเป็น ก็คือ ฟังก์ชันเมเชอร์ที่มีเงื่อนไขเพิ่มเติม คือ
3.
นอกจากนั้นมักจะใช้สัญกรณ์ แทนปริภูมิความน่าจะเป็น แทนที่จะใช้สัญกรณ์ (X,Σ,μ) เนื่องจาก X มักใช้แทนตัวแปรสุ่ม และใช้ μ แทนค่าเฉลี่ย .
คุณสมบัติที่พิสูจน์ได้จากนิยาม[แก้]
Monotonicity[แก้]
μ มีคุณสมบัติ monotonic: กำหนดให้ E1 และ E2 เป็นเซตที่สามารถวัดได้ (เป็นสมาชิกใน Σ) และ E1 ⊆ E2, แล้ว μ (E1) ≤ μ (E2).
คำอธิบายอย่างหยาบ: ถ้าวัตถุหนึ่งและวัตถุสองสามารถวัดค่าได้ และวัตถุแรกจริง ๆ แล้วเป็นเพียงส่วนประกอบของวัตถุสอง ค่าที่วัดได้ของวัตถุสองจะมากกว่าหรือเท่ากับวัตถุแรกเสมอ
เมเชอร์ของยูเนียนแบบนับได้ของเซต[แก้]
กำหนดให้ เป็นลำดับแบบนับได้ของเซตใน Σ จะได้ว่า
- .
นอกจากนั้นเรายังได้ว่า ถ้ากำหนดให้ เป็นเซตใน Σ และ , แล้วจะได้ว่า อยู่ใน Σ ด้วยและ
- .
เมเชอร์ของอินเตอร์เซกชันแบบนับได้ของเซต[แก้]
กำหนดให้ เป็นเซตใน Σ และ , แล้วจะได้ว่า อยู่ใน Σ ด้วยและ ยิ่งไปกว่านั้น ถ้ามีสมาชิก อย่างน้อยหนึ่งตัวที่มีค่าเมเชอร์จำกัด เราจะได้ว่า
- .
คุณสมบัตินี้ไม่เป็นจริงถ้าไม่มีสมาชิก ใด ๆ เลยที่มีเมเชอร์จำกัด (คือมีค่าเมเชอร์เป็นอนันต์ทุกตัว) ตัวอย่างเช่น ถ้าให้ n ∈ N,
เราจะได้ว่าทุก ๆ มีเมเชอร์อนันต์แต่ว่าอินเตอร์เซ็กชันของเซตทั้งหมดมีเมเชอร์เป็นศูนย์
ตัวอย่างของเมเชอร์ต่าง ๆ ทางคณิตศาสตร์ที่น่าสนใจ[แก้]
- เมเชอร์การนับ นิยามจากการนับจำนวนสมาชิกของเซตนั่นเอง
- เลอเบ็กเมเชอร์ หรือ เมเชอร์ของเลอเบ็ก เป็นหนึ่งในเมเชอร์ที่สำคัญที่สุด ได้ขยายนิยามความยาวที่เราคุ้นเคย เช่น ความยาวของเซต [0,5] คือ 5 ไปยังเซตอื่น ๆ เช่น ความยาวของเซตตรรกยะในช่วง [0,1] สามารถวัดได้ ด้วยเลอเบ็กเมเชอร์.
- เมเชอร์ความน่าจะเป็น คือ ฟังก์ชันความน่าจะเป็นดังที่กำหนดไว้ในสัจพจน์ของความน่าจะเป็น. กล่าวง่าย ๆ เมเชอร์ความน่าจะเป็น ก็คือเมเชอร์หรือเมเชอร์ธรรมดาที่ได้นิยามไว้ในหัวข้อข้างต้น แต่มีคุณสมบัติเพิ่มเติมหนึ่งข้อ คือ เมเชอร์ของเซต X (เซตที่ใหญ่ที่สุด) ต้องมีค่าเท่ากับหนึ่ง.
- โบเรลเมเชอร์
- จอร์แดนเมเชอร์
ดูเพิ่ม[แก้]
อ้างอิง[แก้]
- P. Halmos, Measure theory, D. van Nostrand and Co., 1950
- Kopp and Capinski, Measure, Integration and Probability, 2nd Edition, Springer, 2000.
- D. H. Fremlin, Measure Theory, Torres Fremlin, 2000. Available online at http://www.essex.ac.uk/maths/staff/fremlin/mt.htm
- F. Jones, Lebesgue Integration in Euclidean Spaces, Jones and Barlett Publisher, 1999.