การวิเคราะห์เชิงจริง

ในภาพเป็นตัวอย่างลำดับที่ลู่เข้า ซึ่งเป็นพื้นฐานของการวิเคราะห์เชิงจริง

ในวิชาคณิตศาสตร์ การวิเคราะห์เชิงจริง (อังกฤษ: Real analysis) เป็นสาขาหนึ่งของคณิตวิเคราะห์ ที่ศึกษาสมบัติของจำนวนจริง ลำดับและอนุกรมที่มีพจน์เป็นจำนวนจริง ตลอดจน ฟังก์ชันค่าจริง แนวคิดพื้นฐานที่เกี่ยวข้องได้แก่ การลู่เข้า ลิมิต ความต่อเนื่อง การหาอนุพันธ์ได้ และ การหาปริพันธ์ได้

หัวข้อในการวิเคราะห์เชิงจริง

การลู่เข้าและลิมิต

ดูบทความหลักที่: ลิมิต

ลำดับคือฟังก์ชันจากเซตจำนวนนับไปยังเซตอื่น ในส่วนสาขาการวิเคราะห์เชิงจริงเราสนใจลำดับที่มีสมาชิกเป็นจำนวนจริง ซึ่งอาจมองได้เป็นการเขียนจำนวนจริง $a_{1},a_{2},\dotsc$ เรียงกันต่อไปเรื่อย ๆ ไม่มีที่สิ้นสุด

ตัวอย่างเช่น ลำดับของค่าประมาณของ ${\sqrt {2}}$ สามารถเขียนได้เป็น

$1.4,1.41,1.414,\dotsc$

โดยที่พจน์ที่ $i$ จะเท่ากับค่าของ ${\sqrt {2}}$ จนถึงทศนิยมตัวที่ $i$ ซึ่งจะเห็นได้ว่าสมาชิกแต่ละตัวในลำดับนี้มีค่าเข้าใกล้ ${\sqrt {2}}$ มากขึ้นเรื่อย ๆ ซึ่งสามารถนิยามให้รัดกุมในทางคณิตศาสตร์ได้ เราเรียกค่าที่ลำดับเข้าใกล้มากขึ้นเรื่อย ๆ ว่า ลิมิต ตัวอย่างเช่น ลิมิตของลำดับข้างต้นคือ ${\sqrt {2}}$ นอกจากนี้เรายังสามารถพิจารณาลิมิตของลำดับประเภทอื่นได้ เช่น ลิมิตของอนุกรม และลิมิตของฟังก์ชัน

ทฤษฎีบทในสาขาการวิเคราะห์เชิงจริงที่เกี่ยวข้องกับลิมิต เช่น ทฤษฎีบทบ็อลท์ซาโน-ไวเออร์ชตราส

ความต่อเนื่อง

ดูบทความหลักที่: ฟังก์ชันต่อเนื่อง

ฟังก์ชันจากเซตของจำนวนจริงไปยังเซตของจำนวนจริงสามารถเขียนเป็นกราฟบนระบบพิกัดฉากได้ เราจะเรียกฟังก์ชัน $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ ว่าเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง (ในมุมมองง่าย ๆ) ถ้ากราฟของฟังก์ชันเป็นเส้นต่อเนื่องเส้นเดียว และไม่ "ขาด" หรือ "กระโดด" แยกจากกัน ความพยายามที่จะนิยามแนวคิดเรื่องความต่อเนื่องข้างต้นให้รัดกุมในเชิงคณิตศาสตร์ส่งผลให้ แบร์นาร์ท บ็อลท์ซาโน และ คาร์ล ไวเออร์ชตราส สร้างบทนิยามลิมิตแบบ (ε, δ) ขึ้นมา

นิยามของความต่อเนื่องในทางคณิตศาสตร์มีดังนี้ ให้ $X\subseteq \mathbb {R}$ เป็นเซตใด ๆ และ $f\colon X\to \mathbb {R}$ เป็นฟังก์ชันใด ๆ จะกล่าวว่า $f$ ต่อเนื่องที่จุด $p\in X$ ถ้าสำหรับ $\varepsilon >0$ ใด ๆ จะมี $\delta >0$ ที่ทำให้สำหรับทุก $x\in X$ ที่ซึ่ง $\left\vert x-p\right\vert <\delta$ แล้วจะได้ว่า $\left\vert f(x)-f(p)\right\vert <\varepsilon$

เมื่อ $f$ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง แล้วจะมีสมบัติมากมายตามมาจากทฤษฎีบทที่เกี่ยวข้อง เช่น ทฤษฎีบทค่ามัชฌิม ทฤษฎีบทค่าระหว่างกลาง และทฤษฎีบทค่าขีดสุด เป็นต้น

อนุพันธ์และปริพันธ์

ดูบทความหลักที่: อนุพันธ์ และ ปริพันธ์