พีชคณิตนามธรรม

การหมุนหน้าต่าง ๆ ของลูกบาศก์ของรูบิกประกอบรวมกันเป็นกรุป ซึ่งเป็นโครงสร้างพื้นฐานในพีชคณิตนามธรรม

พีชคณิตนามธรรม (อังกฤษ: abstract algebra) คือสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่ศึกษาเกี่ยวกับโครงสร้างเชิงพีชคณิต เช่น กรุป ริง และฟิลด์ คำว่า "พีชคณิตนามธรรม" ถูกใช้เพื่อแยกแยะสาขาออกจาก พีชคณิตพื้นฐาน หรือ "พีชคณิตในโรงเรียน" ที่สอนเกี่ยวกับกฎสำหรับการจัดการสูตรและนิพจน์ที่เกี่ยวข้องกับจำนวนจริงและจำนวนเชิงซ้อน

โครงสร้างเชิงพีชคณิต และฟังก์ชันสมสัณฐานระหว่างโครงสร้างดังกล่าว ประกอบกันเป็นแคทิกอรี ทฤษฎีแคทิกอรีซึ่งถูกพัฒนาในศตวรรษที่ 20 เป็นสาขาของคณิตศาสตร์ที่สามารถอธิบายการสร้างและสมบัติต่าง ๆ ของโครงสร้างเชิงพีชคณิตจำนวนมาก

พีชคณิตสากลเป็นอีกสาขาหนึ่งที่ศึกษาโครงสร้างเชิงพีชคณิตในภาพรวม

ประวัติและตัวอย่าง

เท่าที่ผ่านมาในอดีต โครงสร้างเชิงพีชคณิต มักปรากฏขึ้นพบในสาขาอื่น ๆ ของคณิตศาสตร์ จากนั้นจะถูกระบุในรูปแบบที่ใช้สัจพจน์ และสุดท้ายจึงกลายเป็นวัตถุที่ถูกนำมาศึกษาในพีชคณิตนามธรรม ด้วยสาเหตุนี้ พีชคณิตนามธรรมจึงมีความเชื่อมโยงอย่างสำคัญกับสาขาอื่น ๆ ของคณิตศาสตร์อย่างมากมาย

ตัวอย่างของโครงสร้างเชิงพีชคณิตที่มีตัวดำเนินการทวิภาคแค่ตัวเดียว เช่น

• แมกมา
• ควอไซกรุป
• โมนอยด์ เซมิกรุป และ ที่สำคัญที่สุดคือ กรุป

ตัวอย่างที่ซับซ้อนยิ่งขึ้น เช่น

• ริง และ ฟิลด์
• มอดูล และ ปริภูมิเวกเตอร์
• พีชคณิตการเปลี่ยนหมู่ และ พีชคณิตแบบลี (Lie algebra)
• แลตทิซ และ พีชคณิตแบบบูล