อนุพันธ์

สำหรับความหมายอื่น ดูที่ อนุพันธ์ (แก้ความกำกวม)

ในวิชาคณิตศาสตร์ อนุพันธ์ของฟังก์ชันเป็นมโนทัศน์หนึ่งในสองมโนทัศน์หลักของแคลคูลัส (อีกมโนทัศน์หนึ่งคือปฏิยานุพันธ์ ซึ่งคือตัวผกผันของอนุพันธ์)

อัตราส่วนเชิงผลต่างของนิวตัน

อนุพันธ์ของฟังก์ชัน f ที่ x ในเชิงเรขาคณิต คือ ความชัน (slope) ของเส้นสัมผัส (tangent line) ของกราฟ f ที่ x. เราไม่สามารถหาความชันของเส้นสัมผัสจากฟังก์ชันที่กำหนดให้โดยตรงได้ เพราะว่าเรารู้เพียงจุดบนเส้นสัมผัส ซึ่งก็คือ (x, f (x)) เท่านั้น ในทางอื่น เราจะประมาณความชันของเส้นสัมผัสด้วยเส้นตัด (secant line) หลายๆเส้น ที่มีจุดตัดทั้ง 2 จุดอยู่ห่างกันเป็นระยะทางสั้น ๆ เมื่อหาลิมิตของความชันของเส้นตัดที่จุดตัดอยู่ใกล้กันมาก ๆ เราจะได้ความชันของเส้นสัมผัส ดังนั้น อาจนิยามอนุพันธ์ว่าคือ ลิมิตของความชันของเส้นตัดที่เข้าใกล้เส้นสัมผัส

แสดงความชันในแต่ละจุดของฟังก์ชัน $\scriptstyle f(x)=1 + x\sin x^2$ ซึ่งจะสังเกตเห็นได้ว่าเส้นที่แสดงความชันที่จุดใดๆจะสัมผัส (tangent) กับกราฟของฟังก์ชันที่จุดนั้นๆ ความชันในที่นี้ก็คืออนุพันธ์ของฟังก์ชันนั้นเอง หมายเหตุ สีเขียว คือ ความชันเป็นบวก สีแดง คือ ความชันเป็นลบ สีดำ คือ ความชันเป็นศูนย์

เส้นสัมผัสที่ (x, f (x))

เส้นตัดของส่วนโค้ง y= f (x) กำนหดโดยจุด (x, f (x)) และ (x+h, f (x+h))

เพื่อหาความชันของเส้นตัดที่จุดตัดอยู่ใกล้กันมาก ๆ ให้ h เป็นจำนวนที่มีค่าน้อยๆ h จะแทนการเปลี่ยนแปลงน้อยๆใน x ซึ่งจะเป็นจำนวนบวกหรือลบก็ได้ ดังนั้น ความชันของเส้นที่ลากผ่านจุด (x,f (x) ) และ (x+h,f (x+h) ) คือ

${f (x+h) -f (x) \over h}$

ซึ่งนิพจน์นี้ก็คือ อัตราส่วนเชิงผลต่างของนิวตัน (Newton's difference quotient). อนุพันธ์ของ f ที่ x คือ ลิมิตของค่าของผลหารเชิงผลต่าง ของเส้นตัดที่เข้าใกล้กันมากๆ จนเป็นเส้นสัมผัส:

$f' (x) =\lim_{h\to 0}{f (x+h) -f (x) \over h}$

เส้นสัมผัสคือลิมิตของเส้นตัด

อนุพันธ์ที่น่าจดจำ

• สำหรับกรณีทั่วไป:
  • $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\,C=0$
  • $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}x^n = nx^{n-1}$.
• สำหรับฟังก์ชันลอการิทึม:
  • อนุพันธ์ของ ln $x$ คือ $\frac{1}{x}$.
  • อนุพันธ์ของ $\log_b x = \frac{1}{x\ln b}$
• สำหรับฟังก์ชันเลขชี้กำลัง:
  • $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}$e^x$= \mathrm{e}^x$
  • $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}a^x = a^x \ln a$
• สำหรับฟังก์ชันตรีโกณมิติ:
  • $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sin x=\cos x$.
  • $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\cos x = -\sin x$.
  • $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\tan x = \sec^2 x$.
  • $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\csc x = -\csc x\cot x$.
  • $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sec x = \sec x \tan x$.
  • $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\cot x = -\csc^2 x$.

ดูเพิ่ม

• ปฏิยานุพันธ์
• ปริพันธ์