อนุพันธ์

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
สำหรับความหมายอื่น ดูที่ อนุพันธ์ (แก้ความกำกวม)
หัวข้อที่เกี่ยวข้องกับแคลคูลัส

ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัส | ฟังก์ชัน | ลิมิตของฟังก์ชัน | ความต่อเนื่อง | แคลคูลัสกับพหุนาม | ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย | แคลคูลัสเวกเตอร์ | แคลคูลัสเทนเซอร์

อนุพันธ์

กฎผลคูณ | กฎผลหาร | กฎลูกโซ่ | อนุพันธ์โดยปริยาย | ทฤษฎีบทของเทย์เลอร์

ปริพันธ์
การหาปริพันธ์โดยการแทนค่า | การหาปริพันธ์เป็นส่วน | การหาปริพันธ์โดยการแทนที่ฟังก์ชันตรีโกณมิติ | การหาปริพันธ์แบบจาน | การหาปริพันธ์ด้วยเชลล์ | การหาปริพันธ์แบบต่าง ๆ

ในวิชาคณิตศาสตร์ อนุพันธ์ของฟังก์ชันเป็นมโนทัศน์หนึ่งในสองมโนทัศน์หลักของแคลคูลัส (อีกมโนทัศน์หนึ่งคือปฏิยานุพันธ์ ซึ่งคือตัวผกผันของอนุพันธ์)

การหาอนุพันธ์ และการหาอนุพันธ์ได้[แก้]

อัตราส่วนเชิงผลต่างของนิวตัน[แก้]

อนุพันธ์ของฟังก์ชัน f ที่ x ในเชิงเรขาคณิต คือ ความชัน (slope) ของเส้นสัมผัส (tangent line) ของกราฟ f ที่ x. เราไม่สามารถหาความชันของเส้นสัมผัสจากฟังก์ชันที่กำหนดให้โดยตรงได้ เพราะว่าเรารู้เพียงจุดบนเส้นสัมผัส ซึ่งก็คือ (x, f (x)) เท่านั้น ในทางอื่น เราจะประมาณความชันของเส้นสัมผัสด้วยเส้นตัด (secant line) หลายๆเส้น ที่มีจุดตัดทั้ง 2 จุดอยู่ห่างกันเป็นระยะทางสั้น ๆ เมื่อหาลิมิตของความชันของเส้นตัดที่จุดตัดอยู่ใกล้กันมาก ๆ เราจะได้ความชันของเส้นสัมผัส ดังนั้น อาจนิยามอนุพันธ์ว่าคือ ลิมิตของความชันของเส้นตัดที่เข้าใกล้เส้นสัมผัส

แสดงความชันในแต่ละจุดของฟังก์ชัน \scriptstyle f(x)=1 + x\sin x^2 ซึ่งจะสังเกตเห็นได้ว่าเส้นที่แสดงความชันที่จุดใดๆจะสัมผัส (tangent) กับกราฟของฟังก์ชันที่จุดนั้นๆ ความชันในที่นี้ก็คืออนุพันธ์ของฟังก์ชันนั้นเอง หมายเหตุ สีเขียว คือ ความชันเป็นบวก สีแดง คือ ความชันเป็นลบ สีดำ คือ ความชันเป็นศูนย์
เส้นสัมผัสที่ (x, f (x))
เส้นตัดของส่วนโค้ง y= f (x) กำหนดโดยจุด (x, f (x)) และ (x+h, f (x+h))

เพื่อหาความชันของเส้นตัดที่จุดตัดอยู่ใกล้กันมาก ๆ ให้ h เป็นจำนวนที่มีค่าน้อยๆ h จะแทนการเปลี่ยนแปลงน้อยๆใน x ซึ่งจะเป็นจำนวนบวกหรือลบก็ได้ ดังนั้น ความชันของเส้นที่ลากผ่านจุด (x,f (x) ) และ (x+h,f (x+h) ) คือ

{f (x+h) -f (x) \over h}

ซึ่งนิพจน์นี้ก็คือ อัตราส่วนเชิงผลต่างของนิวตัน (Newton's difference quotient). อนุพันธ์ของ f ที่ x คือ ลิมิตของค่าของผลหารเชิงผลต่าง ของเส้นตัดที่เข้าใกล้กันมากๆ จนเป็นเส้นสัมผัส:

f' (x) =\lim_{h\to 0}{f (x+h) -f (x) \over h}
เส้นสัมผัสคือลิมิตของเส้นตัด

สัญกรณ์สำหรับการหาอนุพันธ์[แก้]

จุดวิกฤต[แก้]

อนุพันธ์ที่น่าจดจำ[แก้]

ฟิสิกส์[แก้]

การจัดการทางพีชคณิต[แก้]

ใช้อนุพันธ์ในการเขียนกราฟ[แก้]

ทั่วไป[แก้]

ดูเพิ่ม[แก้]

แหล่งข้อมูลอื่น[แก้]

อ้างอิง[แก้]