พาย (ค่าคงตัว)

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
สัญลักษณ์ของพาย

พาย หรือ ไพ (อักษรกรีก: π) เป็นค่าคงตัวทางคณิตศาสตร์ ที่เกิดจากความยาวเส้นรอบวงหารด้วยเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม ค่า π มักใช้ในคณิตศาสตร์, ฟิสิกส์ และวิศวกรรม π เป็นอักษรกรีกที่ตรงกับตัว "p" ในอักษรละติน มีชื่อว่า "pi" (อ่านว่า พาย ในภาษาอังกฤษ แต่อ่านว่า พี ในภาษากรีก) บางครั้งเรียกว่า ค่าคงตัวของอาร์คิมิดีส (Archimedes' Constant) หรือจำนวนของลูดอล์ฟ (Ludolphine number หรือ Ludolph's Constant)

ในเรขาคณิตแบบยุคลิด π มีนิยามว่าเป็นอัตราส่วนของเส้นรอบวงหารด้วยเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม หรือเป็นอัตราส่วนของพื้นที่วงกลม หารด้วย รัศมียกกำลังกำลังสอง ในคณิตศาสตร์ชั้นสูงจะนิยาม π โดยใช้ฟังก์ชันตรีโกณมิติ เช่น π คือจำนวนบวก x ที่น้อยสุดที่ทำให้ sin (x) = 0

การเกิดค่าพาย

ค่า π โดยประมาณ 50 ตำแหน่งคือ

π = 3.14159265358979323846264338327950288419716939937510... (ลำดับ OEISA000796)

แม้ว่าค่านี้มีความละเอียดพอที่จะใช้ในงานวิศวกรรมหรือวิทยาศาสตร์แล้ว ปัจจุบันมีการคำนวณค่า π ได้หลายตำแหน่ง ซึ่งหาได้ทั่วไปจากอินเทอร์เน็ต คอมพิวเตอร์ส่วนบุคคลโดยทั่วไปสามารถคำนวณค่า π ได้พันล้านหลัก ขณะที่ซูเปอร์คอมพิวเตอร์คำนวณค่า π ได้เกินล้านล้านหลัก และไม่พบว่ามีรูปแบบที่ซ้ำกันของค่า π ปรากฏอยู่

สูตรที่เกี่ยวข้องกับ π[แก้]

เรขาคณิต[แก้]

π มักปรากฏในสูตรที่เกี่ยวกับวงกลมและทรงกลม

รูปร่างทางเรขาคณิต สูตร
เส้นรอบวงของวงกลมที่มีรัศมี r และเส้นผ่านศูนย์กลาง d C = \pi d = 2 \pi r \,\!
พื้นที่ของวงกลมที่มีรัศมี r A = \pi r^2 \,\!
พื้นที่ของวงรีที่มีแกนเอก a และแกนโท b A = \pi a b \,\!
ปริมาตรของทรงกลมที่มีรัศมี r และเส้นผ่านศูนย์กลาง d V = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{1}{6} \pi d^3 \,\!
พื้นที่ผิวของทรงกลมที่มีรัศมี r A = 4 \pi r^2 \,\!
ปริมาตรของทรงกระบอกที่สูง h และรัศมี r V = \pi r^2 h \,\!
พื้นที่ผิวของทรงกระบอกที่สูง h และรัศมี r A = 2 ( \pi r^2 ) + ( 2 \pi r ) h = 2 \pi r (r + h) \,\!
ปริมาตรของกรวยที่สูง h และรัศมี r V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \,\!
พื้นที่ผิวของกรวยที่สูง h และรัศมี r A = \pi r \sqrt{r^2 + h^2} + \pi r^2 =  \pi r (r + \sqrt{r^2 + h^2}) \,\!

การวิเคราะห์[แก้]

\frac2\pi=
\frac{\sqrt2}2
\frac{\sqrt{2+\sqrt2}}2
\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}2\ldots
\frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots = \frac{\pi}{4}
หรือเขียนอีกแบบได้เป็น:
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{2n+1} = \frac{\pi}{4}
 \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots = \frac{\pi}{2}
\prod_{n=1}^{\infty} \frac{(2n)^2}{(2n)^2-1} = \prod_{n=1}^{\infty} \frac{2n}{2n-1} \cdot \frac{2n}{2n+1} = \frac{\pi}{2}
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi}
\zeta(2) = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6}
\zeta(4)= \frac{1}{1^4} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{4^4} + \cdots = \frac{\pi^4}{90}
\Gamma\left({1 \over 2}\right)=\sqrt{\pi}
n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n
e^{i \pi} + 1 = 0\;

เศษส่วนต่อเนื่อง[แก้]

π เขียนในรูปเศษส่วนต่อเนื่องได้หลายแบบ เช่น

 \frac{4}{\pi} = 1 + \frac{1}{3 + \frac{4}{5 + \frac{9}{7 + \frac{16}{9 + \frac{25}{11 + \frac{36}{13 + ...}}}}}}

ทฤษฎีจำนวน[แก้]

ฟิสิกส์[แก้]

 \Delta x \Delta p \ge \frac{h}{4\pi}
 R_{ik} - {g_{ik} R \over 2} + \Lambda g_{ik} = {8 \pi G \over c^4} T_{ik}
 F = \frac{\left|q_1q_2\right|}{4 \pi \epsilon_0 r^2}

ดูเพิ่ม[แก้]