พาราโบลา

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

พาราโบลา




บทนิยาม : พาราโบลาคือเซตของจุดทุกจุดบนระนาบ ซึ่งอยู่ห่างจากเส้นตรงที่เส้นหนึ่งบนระนาบและจุดคงที่จุดหนึ่งบนระนาบนอกเส้นตรงคงที่นั้น เป็นระยะทางเท่ากับเสมอ


ส่วนประกอบของพาราโบลา

- เส้นคงที่ เรียกว่า ไดเรกตริกซ์ของพาราโบลา - จุดคงที่ (F) เรียกว่า โฟกัสของพาราโบลา - แกนของพาราโบลา คือเส้นตรงที่ลากผ่านโฟกัส และตั้งฉากกับไดเรกตริกซ์ - จุดยอด (V) คือจุดยอดที่พาราโบ-ลาตัดกับแกนของพาราโบลา - เลตัสเรกตัม (AB) คือส่วนของเส้น ตรงที่ผ่านโฟกัส และ มีจุดปลายทั้ง สองอยู่บนพาราโบลา และตั้งฉากกับ แกนของพาราโบลา - เส้นตรงที่ผ่านจุดโฟกัส และตั้งฉากกับไดเรกตริกซ์ เรียกว่า แกนของพาราโบลา


พาราโบลาที่มีจุดยอดอยู่ที่ (0,0) สมการของพาราโบลาที่มีจุดยอด อยู่ที่ (0,0) แกนของพาราโบลา คือแกน x หรือ แกน y ซึ่งสามารถ แบ่งออกได้เป็น 4 ลักษณะ ดังนี้ ก. แกนของพาราโบลาคือแกน x และ โฟกัสอยู่ที่ (c,o) เมื่อ c > o ไดเรกตริกซ์ คือ เส้นตรง x = -c กราฟของพาราโบลาเปิดขวา



ให้ P (x,y) เป็นจุดใดๆ บนพาราโบลา PR = PQ

[แก้]

x2 - 2cx + c2 + y2 == x2 - 2cx + c2 y2 = 4cx เมื่อ c > 0

ข. แกนของพาราโบลาคือแกน x และโฟกัสอยู่ที่ (c,0) เมื่อ c < 0 ไดเรกตริกซ์ คือ เส้นตรง x = -c กราฟของพาราโบลาเปิดซ้าย


ใช้วิธีการเดียวกับ ข้อ ก. จะได้สมการของพาราโบลา y2 = 4cx เมื่อ c < 0 จากรูปที่ 2 เรียก AB ว่า เลตัสเรกตัมของพาราโบลา เราสามารถคำนวณหา AB ได้ ซึ่งก็คือ ความกว้างของ พาราโบลา ที่โฟกัส


สมมุติให้ พิกัดของ A คือ (x,c) ดังนั้น x2 = 4 c c x2 = 4 c2 ดังนั้น x = 2c (เพราะว่า x> 0) แสดงว่า AF = 2c เพราะฉะนั้น AB = 2 AF = 4c นั้นคือ ความยาวของลาตัสเรกตัม = 4c = |4 c| หน่วย โดยทั่วไป สำหรับพาราโบลา ในลักษณะอื่นๆ เราสามารถแสดงได้ว่า ความยาวของลาตัสเรกตัม (L.S.) = |4 c| หน่วย


ค. แกนของพาราโบลาคือแกน y และโฟกัสอยู่ที่ (0,2) เมื่อ c > 0 ไดเรกตริกซ์ คือเส้นตรง y = -c กราฟของพาราโบลาจะหงาย

มีสมการ x2 = 4cy เมื่อ c > 0 

สมมุติให้ P (x,y) เป็นจุดๆบนพาราโบลา จากนิยาม PF = PQ

[แก้]

x2 + y2 - 2cy + c2 == y2 + 2cy + c2 x2 = 4cy เมื่อ c > 0


ง. แกนของพาราโบลาคือแกน y และโฟกัสอยู่ที่ (0,c) เมื่อ c < 0 ไดเรกตริกซ์ คือ เส้นตรง y = -c กราฟของพาราโบลาจะคว่ำ



ด้วยวิธีเดียวกับข้อ ค. จะได้สมการพาราโบลา x2 = 4cy เมื่อ c < 0



สรุป : รูปแบบและลักษณะของพาราโบลาที่มีจุดยอดอยู่ (0,0)



การหาสมการของพาราโบลาที่จุดยอดที่จุด (h,k) และมีแกนขนานกับ แกน x หรือแกน y 1. เมื่อแกนของพาราโบลาขนานกับแกน x



รูปที่ 1 แสดงพาราโบลาเมื่อ c > 0

ให้ จุดยอด อยู่ที่ (h,k) โฟกัส อยู่ที่ (h + c,k) ไดเรกตริกซ์เป็นเส้นตรง ที่ x = h - c ย้ายแกน ให้จุด (0,0) เลื่อนไปที่จุด 0' (h,k) ระยะห่างระหว่างจุดยอดกับโฟกัสเท่ากับ |c|หน่วย ดังนั้น สมการของพาราโบลาเมื่อเทียบกับแกนใหม่คือ (y') 2 = 4cx' แต่ถ้าพิกัดของ P เมื่อเทียบกับแกนเดิมคือ (x,y) จะได้ว่า y' = y - k และ x' = x - h ดังนั้น สมการของพาราโบลา เทียบกับแกนเดิมคือ

(y - k) 2 = 4c (x - h)

เมื่อ c > 0  


รูปที่ 2 แสดงพาราโบลา เมื่อ c < 0

ด้วยวิธีการเลื่อนแกนทางขนาน เช่นเดียวกับ ข้อ 1 สมการของพาราโบลาคือ


(y - k) 2 = 4c (x - h)

เมื่อ c < 0 

จากสมการ (y - k) 2 = 4c (x - h) กระจายได้ y2 - 2ky + k2 = 4cx - 4ch y2 - 2ky + - 4cx + k2 + 4ch = 0 เมื่อ A = -2k , B = -4c , C = k2 + 4ch จะได้ y2 + Ay + Bx + C = 0


จะได้ สมการของพาราโบลาที่มีแกนของพาราโบลา ขนานกับ แกน x จะได้ สมการของพาราโบลา ในรูปทั่วไป

y2 + Ay + Bx + C = 0

เมื่อ B ไม่เท่ากับ 0 



2.เมื่อแกนของพาราโบลาขนานกับแกน y


รูป 3 แสดงพาราโบลา เมื่อ c > 0

ให้ จุดยอด อยู่ที่ (h , k) โฟกัสอยู่ที่ (h , k + c) ไดเรกตริกซ์เป็นเส้นตรง y = k - c ย้ายแกนให้จุด (0,0) เลื่อนไปที่จุด 0' (h,k) ระยะห่างระหว่างจุดยอดกับ โฟกัสเท่ากับ ฝcฝหน่วย ดังนั้น สมการของพาราโบลาเมื่อเทียบกับแกนใหม่คือ (x') 2 = 4cy' แต่ถ้าพิกัด ของ P เมื่อเทียบกับแกนเดิม คือ (x,y) จะได้ว่า x' = x - h และ y' = y - k ดังนั้นสมการของพาราโบลา เทียบกับแกนเดิมคือ

(x - h) 2 = 4c (y - k)

เมื่อ c > 0 


รูป 4 แสดงพาราโบลา เมื่อ c < 0

ด้วยวิธีการเลื่อนแกนทางขนาน เช่นเดียวกับข้อ 2 สมการของพาราโบลา คือ

(x - h) 2 = 4c (y - k) เมื่อ c < 0

เมื่อ c < 0  

จากสมการ (x - h) 2 = 4c (y - k) กระจายได้ x2 - 2hx + h2 = 4cy - 4ck x2 - 2hx - 4cy + h2 + 4ck = 0 เมื่อ A = -2k , B = -4c , c = h2+ 4ck จะได้ y2 + Ay + Bx + C = 0 เมื่อ ดังนั้น สมการของพาราโบลาที่มีแกนของพาราโบลา ขนานกับแกน y จะได้สมการของพาราโบลา ในรูปทั่วไป

y2 + Ay + Bx + C = 0

เมื่อ B ไม่เท่ากับ 0 



สรุป : รูปแบบและลักษณะของพาราโบลา ที่มีจุดยอดอยู่ที่ (h,k)



ข้อสังเกต 1. การดูลักษณะของพาราโบลา ว่าจะหงาย คว่ำ เปิดด้านขวา หรือด้านซ้าย ให้ดูแกนของพาราโบลา และเครื่องหมายของ c 2. การดูแกนของพาราโบลา ให้ดูตัวแปรในสมการว่าตัวแปรใดมีกำลังสูงสุดเท่ากับหนึ่ง แกนของพาราโบลา จะขนานกับแกนพิกัดของ ตัวแปรนั้น เช่น (x-h) 2 = 4c (y-k) จะมีแกนของพาราโบลาขนานกับแกน y เป็นต้น 3. |c| = c = ระยะห่างระหว่าง จุดยอดและโฟกัส = ระยะห่างระหว่างจุดยอดและไดเรกตริกซ์ 4. การหาพิกัดของโฟกัสและสมการไดเรกตริกซ์ เพียงแต่ใช้จุดยอด และ |c| เป็นหลักในการหาก็เพียงพอ