ทฤษฎีระบบควบคุม

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
ระบบควบคุมมีความสำคัญอย่างมากในการปล่อยจรวดและยานอวกาศ
Wikibooks
วิกิตำรา มีตำราทฤษฎีระบบควบคุม:
:en:Control Systems

ทฤษฎีระบบควบคุม (อังกฤษ: control theory) เป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์และวิศวกรรมศาสตร์ ในที่นี้ การควบคุมหมายถึง การควบคุมระบบพลศาสตร์ ให้มีค่าเอาต์พุตที่ต้องการ โดยการป้อนค่าอินพุตที่เหมาะสมให้กับระบบ ตัวอย่างที่เห็นได้ทั่วไป เช่น ระบบควบคุมอุณหภูมิห้องของเครื่องปรับอากาศ หรือ แม้แต่ลูกลอยในโถส้วม ที่เปิดน้ำปิดน้ำโดยอัตโนมัติเมื่อน้ำหมดและน้ำเต็ม

การควบคุมการขับเคลื่อนยานพาหนะ เช่น รถยนต์ ก็ถือเป็นการควบคุมชนิดหนึ่ง โดยผู้ขับขี่เป็นผู้ควบคุมทิศทางและความเร็ว ซึ่งระบบควบคุมประเภทที่ต้องมีคนเข้ามาเกี่ยวข้องนี้ถือว่าเป็น ระบบควบคุมไม่อัตโนมัติ (manual control) แต่ทฤษฎีระบบควบคุมจะครอบคลุมเฉพาะการวิเคราะห์และออกแบบ ระบบควบคุมอัตโนมัติ (automatic control) เท่านั้น เช่น ระบบขับเคลื่อนอัตโนมัติ (cruise control)

ระบบควบคุมยังอาจแบ่งออกได้เป็นระบบควบคุมวงเปิด (open-loop control) คือ ระบบควบคุมที่ไม่ได้ใช้สัญญาณจากเอาต์พุต มาบ่งชี้ถึงลักษณะการควบคุม ส่วนระบบควบคุมวงปิด (closed-loop control) หรือ ระบบป้อนกลับ (feedback control) นั้นจะใช้ค่าที่วัดจากเอาต์พุต มาคำนวณค่าการควบคุม นอกจากนี้ยังอาจแบ่งได้ตามคุณลักษณะของระบบ เช่น เป็นเชิงเส้น (linear) / ไม่เป็นเชิงเส้น (nonlinear) , แปรเปลี่ยนตามเวลา (time-varying) / ไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลา (time-invariant) และเวลาต่อเนื่อง (Continuous time) / เวลาไม่ต่อเนื่อง (Discontinuous time)

เนื้อหา

ประวัติศาสตร์และการพัฒนาของทฤษฎีระบบควบคุม[แก้]

ระบบควบคุมในยุคโบราณ[แก้]

แสดงหลักการทำงานของลูกเหวี่ยงหนีศูนย์กลางที่เมื่อเครื่องจักรหมุนเร็วเกินกว่าค่าที่ต้องการลูกตุ้มจะเบนออกจากแกนกลางส่งผลให้ลิ้นควบคุมไอน้ำปล่อยไอน้ำน้อยลง ในทางกลับกันถ้าเครื่องยนต์หมุนช้าเกินไปลูกตุ้มจะหุบเข้าหาแกนกลางส่งผลให้ลิ้นควบคุมไอน้ำปล่อยไอน้ำเข้าสู่เครื่องจักรมากขึ้น
ลูกลอย (ballcock) การป้อนกลับเชิงลบรูปแบบหนึ่งที่ใช้ในการควบคุมระดับน้ำในถังเก็บน้ำ เช่น ถังเก็บน้ำบนชักโครก

การใช้ระบบควบคุมวงปิด นั้นมีมาแต่โบราณกาล ตัวอย่างเช่น นาฬิกาน้ำของกรีก ซึ่งมีการใช้ลูกลอยในการควบคุมระดับน้ำในถัง อุปกรณ์ที่ถือว่าเป็นจุดเริ่มต้น ของการใช้ระบบควบคุมป้อนกลับในวงการอุตสาหกรรม ก็คือ ลูกเหวี่ยงหนีศูนย์กลาง (centrifugal governor หรือเรียก fly-ball governor) ในการควบคุมความเร็วในการหมุน เครื่องจักรไอน้ำที่ประดิษฐ์ขึ้นโดย เจมส์ วัตต์ ในปี ค.ศ. 1788

จุดกำเนิดของทฤษฎีระบบควบคุม[แก้]

แบบจำลองคณิตศาสตร์ของระบบควบคุม 

ในยุคก่อนหน้านี้ การออกแบบระบบควบคุมต่าง ๆ นั้น เป็นไปในลักษณะลองผิดลองถูก ไม่ได้มีการใช้คณิตศาสตร์ในการวิเคราะห์ ออกแบบแต่อย่างใด จนกระทั่งในปี ค.ศ. 1840 นักดาราศาสตร์ชาวอังกฤษ จอร์จ แอรี ได้ประดิษฐ์อุปกรณ์ควบคุมทิศทางของกล้องดูดาว โดยอุปกรณ์นี้จะหมุนกล้องดูดาว เพื่อชดเชยกับการหมุนของโลกโดยอัตโนมัติ ในระหว่างการออกแบบ แอรีได้สังเกตถึงความไม่เสถียร (instability) ของระบบป้อนกลับ จึงใช้สมการเชิงอนุพันธ์ในการจำลองและวิเคราะห์พฤติกรรมของระบบ การวิเคราะห์เสถียรภาพของระบบนี้เป็นหัวใจสำคัญของทฤษฎีระบบควบคุม

ทฤษฎีเสถียรภาพ 

ในปี ค.ศ. 1868 เจมส์ เคลิร์ก แมกซ์เวลล์ เป็นบุคคลแรก ที่ทำการศึกษาถึงเสถียรภาพของ ลูกเหวี่ยงหนีศูนย์กลางของ เจมส์ วัตต์ โดยใช้แบบจำลองสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้น ทฤษฎีเสถียรภาพของระบบเชิงเส้นของแมกซ์เวลล์นี้ พิจารณาเสถียรภาพของระบบจาก รากของสมการคุณลักษณะ (characteristic equation) ของระบบ ต่อมาในปี ค.ศ. 1892 เลียปูนอฟได้ทำการศึกษาถึงเสถียรภาพของระบบไม่เป็นเขิงเส้น และสร้างทฤษฎีเสถียรภาพของเลียปูนอฟ (Lyapunov stability) แต่ทฤษฎีของเลียปูนอฟนี้เป็นทฤษฎีที่สำคัญที่ไม่ได้รับความสนใจ จนกระทั่งหลายสิบปีต่อมา

ระบบควบคุมแบบดั้งเดิม[แก้]

ระบบควบคุมแบบดั้งเดิม (อังกฤษ: classical control) หมายถึง ระบบควบคุมที่ออกแบบและวิเคราะห์บนโดเมนความถี่ (หรือโดเมนการแปลงฟูรีเย) และโดเมนการแปลงลาปลาส โดยการใช้แบบจำลองในรูปของ ฟังก์ชันส่งผ่าน (transfer function) โดยไม่ได้ใช้ข้อมูลรายละเอียดของไดนามิกส์ภายในของระบบ (internal system dynamic)

พัฒนาการของทฤษฎีระบบควบคุมในช่วงนี้นั้น ส่วนใหญ่พัฒนาขึ้นเพื่อประยุกต์ใช้งานในทางทหารและทางระบบสื่อสาร อันเนื่องมาจากสงครามโลกครั้งที่สอง และ การขยายตัวของโครงข่ายสื่อสารโทรศัพท์

พัฒนาการเพื่อใช้งานในระบบโครงข่ายโทรศัพท์ 

ในช่วงยุคที่มีการขยายตัวของระบบสื่อสารโทรศัพท์นั้น ระบบสื่อสารทางไกลมีความจำเป็นต้องใช้อุปกรณ์ขยายสัญญาณด้วยหลอดสุญญากาศ ในปี ค.ศ. 1927 แนวความคิดและประโยชน์ของระบบป้อนกลับแบบลบ ได้ถูกนำเสนอในรูปของ อุปกรณ์ขยายสัญญาณป้อนกลับแบบลบ (negative feedback amplifier) โดย เอช. เอส. แบล็ก แต่การวิเคราะห์เสถียรภาพของระบบขยายสัญญาณตามทฤษฎีของแมกซ์เวลล์ โดยใช้วิธีของ เราท์-ฮิวรวิทซ์ (Routh-Hurwitz) นั้นเป็นไปได้ยาก เนื่องจากความซับซ้อนของระบบ วิศวกรสื่อสารของ Bell Telephone Laboratories จึงได้นำเสนอการวิเคราะห์บนโดเมนความถี่ โดยในปี ค.ศ. 1932 แฮร์รี่ ไนควิสต์นำเสนอ เกณฑ์เสถียรภาพของไนควิสต์ (Nyquist stability criterion) ซึ่งใช้วิธีการพล็อตกราฟเชิงขั้ว ของผลตอบสนองความถี่ตลอดวงรอบ (loop frequency response) ของระบบ ต่อมาในปี ค.ศ. 1940 เฮนดริค โบดีได้นำเสนอวิธีการวิเคราะห์เสถียรภาพโดยขอบเขตอัตราขยาย (gain margin) และขอบเขตมุม (phase margin) จากกราฟระหว่างขนาดและมุม (phase) ของผลตอบสนองความถี่ เรียกว่า โบดีพล็อต (Bode plot)

พัฒนาการเพื่อการใช้งานทางด้านการทหาร 

ปัญหาหลายปํญหาในทางหทาร เช่น ปัญหาการนำร่องการเดินเรืออัตโนมัติ ปัญหาการเล็งเป้าโดยอัตโนมัติ นั้นเป็นแรงผลักดันสำคัญให้เกิดการพัฒนาการทางทฤษฎีระบบควบคุมที่สำคัญหลายอย่าง ในปี ค.ศ. 1922 มินอร์สกี (N. Minorsky) ได้กำหนดและวิเคราะห์กฎของ ระบบควบคุมพีไอดี หรือ สัดส่วน-ปริพันธ์-อนุพันธ์ (proportional-integral-derivative) ซึ่งยังเป็นที่นิยมใช้อย่างกว้างขวางในปัจจุบัน เพื่อใช้ในการนำร่องการเดินเรือ ปัญหาที่สำคัญในช่วงนั้นคือ การเล็งเป้าของปืนจากเรือหรือเครื่องบิน ซึ่งในปี ค.ศ. 1934 ฮาเซน (H.L. Házen) ได้บัญญัติคำสำหรับประเภทปัญหาการควบคุมกลไกนี้ว่า กลไกเซอร์โว (servomechanisms) การวิเคราะห์และออกแบบนั้นก็ใช้วิธีการบนโดเมนความถี่ จนกระทั่งในปีค.ศ. 1948 อีแวนส์ (W. R. Evans) ซึ่งทำงานกับปัญหาทางด้านการนำร่องและควบคุมเส้นทางบิน ซึ่งส่วนใหญ่นั้นเป็นระบบที่ไม่เสถียร ได้ประสบกับปํญหาการวิเคราะห์เสถียรภาพบนโดเมนของความถี่ จึงได้หันกลับไปศึกษาถึงรากของสมการคุณลักษณะ ซึ่งเป็นวิธีการวิเคราะห์บนโดเมนการแปลงลาปลาส และได้พัฒนาวิธี ทางเดินราก (root locus) ในการออกแบบระบบ

ระบบควบคุมสมัยใหม่[แก้]

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของเพนดูลัมผกผันสามารถประยุกต์ใช้กับระบบควบคุมการทรงตัวของพาหนะอย่าง เซกเวย์ (Segway) ได้
อุปกรณ์ที่ต้องการความแม่นยำและความละเอียดสูงอย่างหัวอ่านข้อมูลของฮาร์ดดิสก์ จำเป็นที่จะต้องมีการออกแบบตัวควบคุมที่มีประสิทธิภาพ ทนทานต่อการรบกวนต่างๆได้เป็นอย่างดี อาทิเช่น การสั่นสะเทือน, ผลกระทบจากกระแสไฟฟ้าในระบบเกิน เป็นต้น
ทฤษฎีระบบควบคุมมีส่วนสำคัญอย่างมากในการพัฒนาระบบการเคลือนไหวของหุ่นยนต์ที่มีความซับซ้อนสูงอย่างอาซิโม

ระบบควบคุมสมัยใหม่ (อังกฤษ: modern control) หมายถึง ระบบควบคุมที่ไม่ได้ใช้เทคนิคในการออกแบบแบบดั้งเดิม คือ จากรากของสมการคุณลักษณะ และอยู่บนโดเมนความถี่ แต่เป็นการออกแบบ โดยมีพื้นฐานจากแบบจำลองสมการอนุพันธ์ของไดนามิกส์ของระบบ และเป็นการออกแบบอยู่บนโดเมนเวลา

แรงผลักดันของพัฒนาการจากระบบควบคุมแบบดั้งเดิม มาสู่ระบบควบคุมสมัยใหม่นี้ มีอยู่หลักๆ สองประการคือ

ข้อจำกัดของระบบควบคุมแบบดั้งเดิมต่องานด้านอวกาศยาน : จากความสำเร็จในการส่งดาวเทียมสปุตนิก 1 ของสหภาพโซเวียตในปี ค.ศ. 1957 นั้นกระตุ้นให้เกิดความตื่นตัวของการประยุกต์ใช้งานทางด้านอวกาศยาน ความสำเร็จของโซเวียตนั้นเนื่องมาจากพัฒนาการทางด้านทฤษฎีระบบควบคุมแบบไม่เป็นเชิงเส้น ซึ่งไม่ได้รับความสนใจมากนักจากประเทศตะวันตก เนื่องจากความล้มเหลวในการใช้เทคนิคต่าง ๆ ของระบบควบคุมแบบดั้งเดิม กับงานด้านอวกาศยาน ซึ่งระบบส่วนใหญ่นั้น เป็นระบบหลายตัวแปรแบบไม่เป็นเชิงเส้น (nonlinear multivariable system) จึงมีการหันกลับมาพิจารณาการวิเคราะห์จากปัญหาดั้งเดิม ในรูปของแบบจำลองสมการอนุพันธ์ของระบบ


การประยุกต์ใช้คอมพิวเตอร์กับงานระบบควบคุม :

ดูบทความหลักที่: ระบบควบคุมดิจิตอล

พัฒนาการของคอมพิวเตอร์ มีส่วนสำคัญในการพัฒนาทฤษฎีต่างๆของระบบควบคุม เนื่องจากทำให้สามารถสร้างอุปกรณ์ควบคุมที่สามารถทำงานซับซ้อนได้ รวมทั้งการใช้คอมพิวเตอร์ช่วยคำนวณในการออกแบบกฎของการควบคุม ดังนั้นจึงมีการพัฒนาระบบควบคุมแบบต่าง ๆ ขึ้นอย่างมากมาย

ด้วยเหตุดังกล่าว จึงมีการพัฒนาทฤษฎีระบบควบคุม จากหลายแง่มุม

จากความพยายามในการใช้คอมพิวเตอร์ซึ่งเป็นดิจิทัล เพื่อการควบคุมระบบซึ่งโดยส่วนใหญ่จะเป็นระบบอนาล็อก จึงส่งผลให้มีการพัฒนาทางทฤษฎีระบบควบคุมดิจิทัล (อังกฤษ: digital control) โดยในปี ค.ศ. 1952 จอห์น รากัซซินี (J.R. Ragazzini) , แฟรงคลิน (G Franklin) และ ซาเดห์ (L.A. Zadeh ผู้คิดค้นฟัซซี่ลอจิก) ที่มหาวิทยาลัยโคลัมเบีย ได้พัฒนาทฤษฎีระบบแบบชักข้อมูล (sampled data systems) ขึ้น การใช้คอมพิวเตอร์ในการควบคุมกระบวนการในอุตสาหกรรมนั้น ครั้งแรกในปี ค.ศ. 1959 ที่ โรงกลั่นน้ำมัน พอร์ต อาเธอร์ (Port Arthur) ในรัฐเทกซัส

นอกจากนั้นแล้วแนวความคิดของการควบคุมที่ซับซ้อนขึ้นโดยมีการรวม ข้อกำหนดความต้องการทางด้านประสิทธิภาพ (performance) ในการออกแบบระบบควบคุม ซึ่งเรียกว่า ระบบควบคุมแบบเหมาะสมที่สุด (optimal control) รากฐานของทฤษฎีระบบควบคุมแบบเหมาะสมที่สุดนี้มีมายาวนานตั้งแต่ปี ค.ศ. 1696 จาก หลักของความเหมาะสมที่สุด (principle of optimality) ในปัญหา บราคิสโตโครน (Brachistochrone curve) และ แคลคูลัสของการแปรผัน (Calculus of variations) ในปีค.ศ. 1957 ริชาร์ด เบลแมน ได้ประยุกต์ใช้วิธีการกำหนดการพลวัตของเขาในการแก้ปัญหาระบบควบคุมแบบเหมาะสมที่สุด แบบเวลาไม่ต่อเนื่อง ต่อมาในปีค.ศ. 1958 พอนเทรียกิน (L.S. Pontryagin) ได้พัฒนา หลักการมากที่สุด (maximum principle หรือบางครั้งก็เรียก minimum principle) สำหรับแก้ปัญหาในรูปของแคลคูลัสของการแปรผัน แบบเวลาต่อเนื่อง

การสังเกตถึงผลกระทบของสัญญาณรบกวนต่อประสิทธิภาพของระบบควบคุมนั้นมีมาตั้งแต่ในช่วงระบบควบคุมยุคดั้งเดิม เช่นในช่วงสงครามโลกครั้งที่สอง ในการพัฒนาระบบควบคุมสำหรับเรดาร์ติดเครื่องบิน เพื่อควบคุมการยิง ที่ ห้องทดลองเรดิเอชัน (Radiation Lab) ที่ เอ็มไอที , ฮอลล์ (A.C. Hall) ได้ประสบปัญหาในการออกแบบ เขาได้สังเกตถึงผลกระทบจากการออกแบบที่ไม่ได้คำนึงถึงสัญญาณรบกวนต่อประสิทธิภาพของระบบ ถึงแม้ว่าจะมีการคำนึงถึงผลกระทบของสัญญาณรบกวน แต่ก็ไม่ได้มีการใช้แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของสัญญาณรบกวนในการวิเคราะห์แต่อย่างใด จนกระทั่ง นอร์เบิร์ต วีนเนอร์ ได้จำลองสัญญาณรบกวน โดยใช้แบบจำลองกระบวนการสตอแคสติก หรือ แบบจำลองทางสถิติ แบบเวลาต่อเนื่อง ในการพัฒนาระบบเล็งเป้าและควบคุมการยิงปืนต่อต้านอากาศยาน โดยใช้ข้อมูลจากเรดาร์ ซึ่งงานของเขาได้ถูกเก็บเป็นความลับ จนถึงปี ค.ศ. 1949 ในช่วงเดียวกันในปี ค.ศ. 1941 คอลโมโกรอฟ ก็ได้ทำการพัฒนาแบบจำลองสำหรับระบบเวลาไม่ต่อเนื่องขึ้น ระบบควบคุมที่ใช้แบบจำลองสคอแคสติกนี้ในการวิเคราะห์ จะเรียกว่า ระบบควบคุมสตอแคสติก (Stochastic control)

การวิเคราะห์และควบคุมระบบบนโดเมนเวลา โดยใช้แบบจำลองตัวแปรสถานะ หรือ แบบจำลองปริภูมิสถานะ (state space) นั้นเป็นหัวใจของทฤษฎีระบบควบคุมสมัยใหม่ รูดอล์ฟ อีมิว คาลมาน และ Bellman นั้นถือได้ว่าเป็นบุคคลที่มีส่วนสำคัญในการพัฒนาทฤษฎีระบบควบคุมโดยใช้แบบจำลองตัวแปรสถานะนี้ โดยที่ในปี ค.ศ. 1960 คาลมานได้นำทฤษฎีเสถียรภาพของเลียปูนอฟมาใช้ในการออกแบบระบบ ซึ่งเป็นผลให้ผลงานของเลียปูนอฟกลับมาได้รับความสนใจ นอกจากนี้แนวทางใหม่นี้ยังสามารถตอบคำถามเกี่ยวกับลักษณะเฉพาะของตัวระบบได้ ได้แก่ สภาพควบคุมได้ (controllability) สภาพสังเกตได้ (observability) ผลสัมฤทธิ์เล็กสุดเฉพาะกลุ่ม (minimal realization) และยังนำไปสู่การออกแบบตัวควบคุมแบบใหม่ เช่น การวางขั้ว (pole placement) ตัวควบคุมอิงตัวสังเกต (observer-based controller) และตัวควบคุมกำลังสองเชิงเส้นเหมาะที่สุด (optimal linear quadratic regulator)[1] [2]คาลมานได้พัฒนาวิธีการออกแบบระบบควบคุมแบบเหมาะสมที่สุด จากแบบจำลองปริภูมิสถานะ ในรูปของปัญหาระบบเชิงเส้นคงค่าแบบเหมาะสมที่สุดตามสมการกำลังสอง หรือ LQR (linear quadratic regulator) ในปีเดียวกันนี้ คาลมานได้นำเสนอผลงานของเขาในการประยุกต์ใช้แบบจำลองตัวแปรสถานะนี้เข้ากับแนวความคิดทางด้านสตอแคสติกของวีนเนอร์ และคิดค้นสิ่งที่เรารู้จักกันในชื่อ ตัวกรองคาลมาน (Kalman filter) ขึ้นมา โดยการใช้งานจริงครั้งแรกของตัวกรองคาลมาน นั้นได้ถูกประยุกต์เป็นส่วนหนึ่งของระบบนำร่องในโครงการอพอลโล ตั้งแต่นั้นมาตัวกรองคาลมานก็ได้ถูกประยุกต์ใช้งานอย่างกว้างขวางในปัจจุบัน

ในปัจจุบันแนวทางการวิเคราะห์และควบคุมระบบบนโดเมนเวลา โดยใช้แบบจำลองตัวแปรสถานะสามารถประยุกต์ใช้ได้กับงานวิศวกรรมห้วงอากาศอวกาศ (aerospace engineering) การควบคุมกระบวนการ (process control) และเศษฐมิติ (econometrics)[1]

ประเภทของปัญหาระบบควบคุม[แก้]

ปัญหาของทฤษฎีระบบควบคุมนั้น สามารถแยกออกได้เป็นประเภทใหญ่ 2 ประเภท คือ

  1. ปัญหาระบบคงค่า (regulator problem) คือ ปัญหาที่มีจุดประสงค์ของการควบคุม ให้เอาต์พุตของระบบมีค่าคงที่ ต้านทานการรบกวน (disturbance) ที่เข้ามาในระบบ และมีผลทำให้ระบบเปลี่ยนแปลง
  2. ปัญหาระบบปรับค่าตาม (tracking หรือ servo problem) คือ ปัญหาที่มีจุดประสงค์ของการควบคุม ให้เอาต์พุตมีค่าเท่ากับสัญญาณอ้างอิง เมื่อสัญญาณอ้างอิงเปลี่ยนไป ระบบควบคุมจะทำการปรับให้ สัญญาณเอาต์พุตมีค่าตามสัญญาณอ้างอิง

ประเภทของระบบ[แก้]

เราอาจจะสามารถจำแนกประเภทของระบบได้หลายแบบตามแต่เงื่อนไขในการจำแนกระบบที่ใช้ แต่ในบริบทของทฤษฎีระบบควบคุมนั้น เรามักจำแนกระบบตามภาวะเชิงเส้น , การแปรเปลี่ยนตามเวลา และความต่อเนื่องโดเมนเวลา ดังต่อไปนี้ คือ

จำแนกตามภาวะเชิงเส้น[แก้]

ระบบเชิงเส้น[แก้]

ระบบเชิงเส้น (Linear Systems) คือระบบที่มีภาวะเชิงเส้น (Linearity) กล่าวคือ ถ้าให้ x_1 (t),  x_2 (t) เป็นสัญญาณขาเข้าของระบบ และ y_i (t) = H \left \{ x_i (t) \right \} โดยที่ i \in \{1,2\}เป็นสัญญาณขาออก ถ้าระบบมีภาวะเชิงเส้นแล้วจะต้องสอดคล้องกับคุณสมบัติดังนี้

\alpha y_1 (t) + \beta y_2 (t) = H \left \{ \alpha x_1 (t) + \beta x_2 (t) \right \}

\forall \alpha ,\beta  \in \mathbb R \,

หมายเหตุ: เราเรียกหลักการข้างต้นว่าหลักการซ้อนทับ (superposition)

ระบบไม่เชิงเส้น[แก้]

ระบบไม่เชิงเส้น (Nonlinear Systems) คือระบบที่ไม่มีสมบัติภาวะเชิงเส้นดังกล่าว

จำแนกตามการแปรเปลี่ยนตามเวลา[แก้]

ระบบไม่แปรเปลี่ยนตามเวลา[แก้]

ดูบทความหลักที่: ระบบมีพลวัตแบบเวลายง

ระบบไม่แปรเปลี่ยนตามเวลา (Time-invariant system) คือระบบที่คุณสมบัติของระบบไม่เปลี่ยนไปเมื่อเวลาเปลี่ยนไป กล่าวคือ สมมุติว่าไม่มีความล่าช้าเกิดขึ้นในระบบ (ระบบรับสัญญาณขาเข้าแล้วสามารถให้สัญญาณขาออกได้ในทันที) ถ้าป้อนสัญญาณขาเข้า x (t) ที่เวลา t จะได้สัญญาณขาออกเป็น y (t) ที่เวลา t ดังนั้นหากป้อนสัญญาณขาเข้าเดิมที่เวลา t + \delta นั้นคือ x (t + \delta) สัญญาญาณขาออกผลลัพธ์ก็ต้องเป็น ค่าเดิม คือ y (t + \delta)เพียงแต่จะปรากฏที่เวลา t + \delta ตามเวลาที่ป้อนสัญญาณขาเข้า x (t + \delta)

ระบบแปรเปลี่ยนตามเวลา[แก้]

ระบบแปรเปลี่ยนตามเวลา (Time-variant system) คือระบบที่จะปลี่ยนแปลงคุณสมบัติไปตามเวลา กล่าวคือ ถ้าป้อนสัญญาณขาเข้า x (t) ที่เวลา t แล้วจะได้สัญญาณขาออกเป็น y (t) ที่เวลา t ดังนั้นหากป้อนสัญญาณขาเข้าเดิมที่เวลา t + \delta นั้นคือ x (t + \delta) สัญญาญาณขาออกผลลัพธ์ จะไม่ได้ค่าเดิม คือ y (t + \delta) แต่จะเป็นค่าอื่นเพราะในช่วงเวลา \delta นั้นระบบได้เปลี่ยนคุณสมบัติไปแล้ว

จำแนกตามความต่อเนื่องโดเมนเวลา[แก้]

ระบบเวลาต่อเนื่อง[แก้]

ระบบเวลาต่อเนื่อง (Continuous time systems) คือระบบที่มีโดเมนเวลาเป็นสมาชิกเซตของจำนวนจริง กล่าวคือ  t \in \ \mathbb R \,

ระบบเวลาวิยุต[แก้]

ระบบเวลาวิยุต หรือ ระบบเวลาไม่ต่อเนื่อง (Discontinuous time systems) คือระบบที่มีโดเมนเวลาเป็นสมาชิกเซตของจำนวนเต็ม (แม้ในบางครั้ง อาจจะไม่ใช้จำนวนเต็ม แต่ ถ้ากล่าวโดยไม่เสียนัยยะความเป็นทั่วไป เราสามารถแทนจำนวนเหล่านั้นที่แม้ไม่ใช้จำนวนเต็มได้ด้วย ดัชนีเวลา (time index) ที่เป็นจำนวนเต็มได้เสมอ) กล่าวคือ  t \in \ \mathbb Z \,

:หมายเหตุ เรามักจะใช้อักษร n หรือ  k แทน t ในกรณีที่เป็นเวลาวิยุต

ระบบผสม[แก้]

ระบบผสม (Hybrid systems) คือระบบที่โดเมนของเวลาต่อเนื่องเป็นช่วงๆ กล่าวคือ มีทั้งช่วงที่ต่อเนื่องและไม่ต่อเนื่องในโดเมนของเวลา ตัวอย่างของระบบที่ศึกษากันคือ ระบบเชิงเส้นกระโดดแบบมาร์คอฟ (Markovian jump linear system : MJLS) [3] [4] [5] [6]

ในกรณีที่เป็น ระบบเชิงเส้นกระโดดแบบมาร์คอฟและเวลาไม่ต่อเนื่อง ระบบจะมีแบบจำลองดังต่อไปนี้

x (k + 1) = A_{r (k)}x (k) + B_{r (k)}u (k) + F_{r (k)}w (k)

y (k) = C_{r (k)}x (k) + G_{r (k)}v (k)

โดยที่

r (k) \in \{ 1,2,3,...m\} เป็นตัวแปรสถานะของกระบวนการมาร์คอฟ (Markov process) ที่มีความน่าจะเป็นในการเปลี่ยนสถานะเป็น Prob (r (k + 1) = j|r (k) = i) = q_{ij} และเมทริกซ์ของระบบแปรเปลี่ยนขึ้นกับ r (k)

w (k) เป็นสัญญาณรบกวนที่มีต่อตัวระบบ

 v (k) เป็นสัญญาณรบกวนที่มีการสังเกต (สัญญาณขาออก)

ส่วน x (k), y (k), A, B, C, D, F จะนิยามในส่วนของแบบจำลองปริภูมิสถานะ ต่อไป

ทฤษฎีระบบควบคุมแบบดั้งเดิม[แก้]

ระบบควบคุมวงปิด[แก้]

เนื่องจากระบบควบคุมแบบวงเปิดมีปัญหาด้านเสถียรภาพของระบบเพราะไม่มีการป้อนกลับของสัญญาณขาออก ซึ่งไม่เหมาะกับการใช้งานหลายอย่าง จึงมีความต้องการที่จะออกแบบระบบควบคุมที่สามารถตรวจจับความคลาดเคลือนของระหว่างสัญญาณขาออกและสัญญาณอ้างอิงได้ จึงได้มีการคิดค้นระบบควบคุมแบบป้อนกลับ (Feedback control systems) ขึ้นมาเพื่อหลีกเลี่ยงปัญหาที่เกิดขึ้นกับระบบควบคุมแบบวงเปิด โดยมีโครงสร้างดังในรูป

หลักการควบคุมป้อนกลับ (Feedback control systems) เป็นหลักการพื้นฐานที่ใช้ในการควบคุมระบบพลวัตอย่างแพร่หลาย ในภาพเป็นการป้อนกลับแบบลบ (Negative feedback) เพราะสัญญาณจากเซนเซอร์ (Measured error) จะถูกนำไปหักล้างจากสัญญาณอ้างอิง (Reference input) เพื่อที่จะทำไปสร้างสัญญาณความคลาดเคลื่อน (Measured error) (ผลต่างระหว่างค่าที่ผู้ออกแบบต้องการและสัญญาณจากตัวตรวจจับ (Sensor)) ซึ่งจะนำไปป้อนสู่ตัวควบคุม (Controller) และตัวควบคุมจะสร้างสัญญาณควบคุม (System input หรือ Control signal) ป้อนสู่ระบบพลวัต (Plant, Dynamic systems) หลังจากนั้นจะนำสัญญาณขาออกของระบบพลวัต (ที่วัดได้จากตัวตรวจจับ) มาป้อนสู่ระบบป้อนกลับต่อไปเช่นนี้เรื่อยๆ

ระบบควบคุมแบบป้อนกลับมีความได้เปรียบเหนือกว่าระบบควบคุมแบบวงเปิด ดังต่อไปนี้

  • สามารถกำจัดการรบกวนได้ (อาทิ เช่น ผลจากแรงเสียดทานที่ไม่ได้รวมอยู่ในแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของระบบ)
  • สามารถรับประกันสมรรถนะได้มากขึ้นแม้กับแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่มีตัวแปรที่มีความไม่แน่นอนอยู่ด้วย (อาทิ เช่น กรณีที่ผลจากการที่แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ไม่สามารถอธิบายระบบได้อย่างสมบรูณแบบ)
  • ระบบที่ไม่มีเสถียรภาพโดยธรรมชาติอยู่แล้วสามารถทำให้มีเสถียรภาพได้หากติดตั้งตัวควบคุมที่เหมาะสม
  • ระบบมีความคงทนต่อความเปลี่ยนแปลงมากขึ้นแม้ในกรณีที่พารามิเตอร์ของระบบมีการเปลี่ยนแปลง
  • ระบบสามารถปรับค่าสัญญาณขาออกตามสัญญาณอ้างอิงได้ดีมาขึ้นในปัญหาระบบปรับค่าตาม

ในบางระบบ ระบบควบคุมแบว่าเปิดและเปิดจะใช้ควบคู่กัน โดยที่ในกรณีนีระบบวงเปิดจะเรียกว่า feedforward

ฟังก์ชันส่งผ่านของระบบวงปิด[แก้]

A simple feedback control loop

ฟังก์ชันส่งผ่าน (transfer function) คือความสัมพันธ์ทางคณิตศาสตร์ที่ใช้แสดงถึงความสัมพันธ์ระหว่างสัญญาณขาออก (output signal) ต่อสัญญาณขาเข้า (input signal) โดยฟังก์ชันส่งผ่านสามารถหาได้จากความสัมพันธ์ดังต่อไปนี้ สมมุติให้ ตัวควบคุม C, ระบบพลวัต P, ตัวตรวจจับ F เป็นเชิงเส้น และ ไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลา (ฟังก์ชันส่งผ่านของ C (s), P (s), and F (s) ไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลา) และในที่นี้เราจะพิจารณาผลการแปลงการแปลงลาปลาสของฟังก์ชันส่งผ่านย่อยๆ กล่าวคือ ฟังก์ชันส่งผ่านของ C (s), P (s), and F (s) ซึ่งการหาฟังก์ชันส่งผ่านหาได้ดังนี้

การแปลงโดเมนเวลาเป็นโดเมนความถี่โดยใช้การแปลงลาลาส ซึ่งสัญญาณขาออกในโดเมนเวลาจะเป็นการสังวัตนาการ (Convolution) ระหว่าง สัญญาณขาเข้าและผลตอบสนองอิมพัลส์ (impulse response) เมื่อผ่านการแปลงลาลาส จะได้สัญญาณขาออกในโดเมนความถี่ ที่จะอยู่ในรูปการคูณกันระหว่าง ผลการแปลงลาลาสของผลตอบสนองอิมพัลส์ (ฟังก์ชันส่งผ่าน) และผลการแปลงลาลาสของสัญญาณขาเข้า ซึ่งทำให้การวิเคราะห์ง่ายลงไปได้มาก
Y (s) = P (s) U (s) \,\!
U (s) = C (s) E (s) \,\!
E (s) = R (s) - F (s) Y (s).\,\!

แก้หา Y (s) ในรูปของ R (s) จะได้ว่า:

Y (s) = \left ( \frac{P (s) C (s)}{1 + F (s) P (s) C (s)} \right) R (s) = H (s) R (s).

โดยที่ H (s) = \frac{P (s) C (s)}{1 + F (s) P (s) C (s)} เราจะเรียกว่า ฟังก์ชันส่งผ่านของระบบวงปิดของระบบ (closed-loop transfer function)

ตัวควบคุมพีไอดี[แก้]

ระบบควบคุมแบบสัดส่วน-ปริพันธ์-อนุพันธ์ (PID controller) เป็นระบบควบคุมแบบป้อนกลับที่ใช้กันอย่างกว้างขวาง ซึ่งค่าที่นำไปใช้ในการคำนวณเป็นค่าความผิดพลาดที่หามาจากความแตกต่างของตัวแปรในกระบวนการและค่าที่ต้องการ ตัวควบคุมจะพยายามลดค่าผิดพลาดให้เหลือน้อยที่สุดด้วยการปรับค่าสัญญาณขาเข้าของกระบวนการ ค่าตัวแปรของ PID ที่ใช้จะปรับเปลี่ยนตามธรรมชาติของระบบ
ดูบทความหลักที่: ระบบควบคุมพีไอดี

ตัวควบคุมพีไอดี หรือ ตัวควบคุมแบบสัดส่วน-ปริพันธ์-อนุพันธ์ เป็นตัวควบคุมที่ได้รับความนิยมเป็นอย่างสูงและใช้งานอย่างแพร่หลาย โดยในปัจจุบันยังมีการใช้งานในแวดวงอุตสาหกรรม จนไปถึงยานอวกาศ ทั้งนี้เพราะเป็นตัวคบคุมที่มีใช้งานกันมานานและจนได้รับความไว้วางในแง่ของประสิทธิภาพ อีกทั้งแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของมันก็เรียบง่ายและง่ายต่อการนำไปติดตั้ง ตัวควบคุมพีไอดีมีแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ดังต่อไปนี้

กำหนดให้ u (t) คือสัญญาณควบคุมที่จะส่งให้ตัวระบบ

และ y (t) คือสัญญาณขาออกที่ถูกวัดมาได้

และ r (t) คือสัญญาณอ้างอิง

สัญญาณความคลาดเคลื่อนคือ e (t) =r (t) - y (t) ดังนั้น

u (t) =  K_P e (t) + K_I \int e (t) \text{d}t + K_D \frac{\text{d}}{\text{d}t}e (t).

สมรรถนะและเสถียรถาพของระบบจะถูกกำหนดโดยการปรับแต่งค่าพารามิเตอร์สามตัว คือ  K_P,  K_I และ  K_D นอกเหนือจากการปรับแต่งค่าเหล่านี้หลังจากการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ของตัวระบบแล้ว ในทางปฏิบัติ ยังนิยมปรับแต่งค่าโดยใช้หลักการของ Ziegler–Nichols หรือใช้ประสบการณ์ของวิศวกร โดยที่เสถียรภาพของระบบมักขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์  K_P แต่เพียงอย่างเดียว ส่วน  K_I มักส่งผลในแง่ของความคงทนต่อการเปลี่ยนแปลงฉับพลันต่อตัวระบบ และ  K_D มักเกี่ยวกับรูปร่างของผลตอบสนอง เมื่อพิจารณาบนโดเมนการแปลงลาปลาส จะได้ว่า

u (s) =  K_P e (s) + K_I \frac{1}{s} e (s) + K_D s e (s)
u (s) =  (K_P + K_I \frac{1}{s} + K_D s) e (s)

โดยจะเห็นได้ว่าฟังกชั่นส่งผ่านของตัวควบคุมพีไอดีคือ

C (s) = (K_P + K_I \frac{1}{s} + K_D s).

แม้ระบบควบคุมแบบดั้งเดิมที่ใช้ตัวควบคุมพีไอดีจะมีความสามารถที่ถูกปรับปรุงดีขึ้นมากกว่าระบบควบคุมแบบเปิดมาก แต่ก็ยังเหมาะแค่กับระบบที่มีสัญญาณเข้าทางเดียวและสัญญาณขาออกทางเดียว (Single-Input and Single-Output) และยังไม่สามารถใช้ควบคุมระบบที่มีความซับซ้อนสูงได้ โดยเฉพาะอย่างยิ่งระบบที่มีสัญญาณขาเข้าหลายทางและสัญญาณขาออกหลายทาง (Multiple-Input and Multiple-Output)

ทฤษฎีระบบควบคุมสมัยใหม่[แก้]

ระบบพลวัตส่วนใหญ่มักมีพฤติกรรมที่สามารถใช้สมการอนุพันธ์อันดับใดๆมาอธิบายได้ ในขณะเดียวกันสมการเชิงอนุพันธ์อันดับใดๆก็สามารถลดอันดับให้เหลือเพียงสมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่งได้ จากความจริงตรงนี้จึงได้มีการเสนอวิธีการใหม่ในการวิเคราะห์และควบคุมระบบ ซึ่งจะวิเคราะห์บนโดเมนเวลาและได้มีการนำแบบจำลองปริภูมิสถานะมาใช้ซึ่งจะอยู่ในรูปของสมการอนุพันธ์อันดับหนึ่งและแตกต่างจากระบควบคุมแบบดั้งเดิมที่นิยมวิเคราะห์พฤติกรรมของระบบบนโดเมนความถี่ นอกจากนี้การนำแบบจำลองปริภูมิสถานะมาใช้ทำให้เราสามารถสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์สำหรับระบบแบบสัญญาณขาเข้าหลายทางสัญญาณขาออกหลายทาง (MIMO) ได้โดยการกำหนดมิติของตัวแปรในสมการปริภูมิสถานะอย่างเหมาะสม

แบบจำลองปริภูมิสถานะ[แก้]

ดูบทความหลักที่: แบบจำลองปริภูมิสถานะ

กรณีระบบเชิงเส้น[แก้]

กำหนดให้ระบบพลวัตมี p สัญญาณขาเข้า q สัญญาณขาออก และ n ตัวแปรสถานะ

สมการปริภูมิสถานะคือ:

\dot{\mathbf{x}} (t) = A (t) \mathbf{x} (t) + B (t) \mathbf{u} (t)
\mathbf{y} (t) = C (t) \mathbf{x} (t) + D (t) \mathbf{u} (t)

โดยที่:

\mathbf{x} (\cdot) คือ เวกเตอร์ของตัวแปรสถานะ (state vector) ,  \mathbf{x} (t) \in \mathbb{R}^n;
\mathbf{y} (\cdot) คือ เวกเตอร์ของสัญญาณขาออก (output vector) ,  \mathbf{y} (t) \in \mathbb{R}^q;
\mathbf{u} (\cdot) คือ เวกเตอร์ของสัญญาณขาเข้า หรือ เวกเตอร์ของสัญญาณควบคุม (input vector, control vector) ,  \mathbf{u} (t) \in \mathbb{R}^p;
A (\cdot) คือ เมทริกซ์ของตัวแปรสถานะ หรือ เมทริกซ์พลวัต (state matrix, dynamics matrix) ,  \operatorname{dim}[A (\cdot)] = n \times n,
B (\cdot) คือ เมทริกซ์ขาเข้า (input matrix) ,  \operatorname{dim}[B (\cdot)] = n \times p,
C (\cdot) คือ เมทริกซ์ขาออก (output matrix) ,  \operatorname{dim}[C (\cdot)] = q \times n,
D (\cdot) คือ เมทริกซ์ป้อนผ่าน (feedthrough (or feedforward) matrix) (ในกรณีที่ระบบไม่มีการป้อนสัญญาณขาเข้า, D (\cdot) เป็นเมทริกซ์ศูนย์),  \operatorname{dim}[D (\cdot)] = q \times p,
\dot{\mathbf{x}} (t) := \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}t} \mathbf{x} (t).

โดยทั่วไปแล้ว เมทริกซ์ข้างต้นจะเป็นเมทริกซ์แปรผันตามเวลาได้ แต่ในกรณีเฉพาะที่ระบบไม่แปรผันตามเวลา (LTI) มักจะถูกนำมาศึกษาอยางแพร่หลายเพราะมีความซับซ้อนน้อยกว่าและเหมาะต่อการศึกษาในระดับพื้นฐาน นอกจากนี้ตัวแปรเวลาสามารถมีได้ทั้งแบบเวลาต่อเนื่อง (continuous time : t \in \mathbb{R}) และแบบเวลาวิยุต (ไม่ต่อเนื่อง) (discrete time : t \in \mathbb{Z}) โดยในกรณีของเวลาไม่ต่อเนื่องมักนิยมใช้ตัวแปร k นอกเหนื่อจากระบบแบบที่กล่าวมาแล้วยังมีระบบผสมซึ่งเป็นระบบที่มีโดเมนของเวลาอยู่ทั่งบนแกนเวลาต่อเนื่องและไม่ต่อเนื่อง

สมการปริภูมิสถานะข้างต้นหากพิจารณาตามโดเมนของเวลาจะมีรูปแบบต่างๆกันดังต่อไปนี้ :

ชนิดของระบบ แบบจำลองสมการปริภูมิสถานะ
เวลาต่อเนื่องและไม่เปลี่ยนแปรตามเวลา (Continuous time-invariant) \dot{\mathbf{x}} (t) = A \mathbf{x} (t) + B \mathbf{u} (t)
\mathbf{y} (t) = C \mathbf{x} (t) + D \mathbf{u} (t)
เวลาต่อเนื่องและเปลี่ยนแปรตามเวลา (Continuous time-variant) \dot{\mathbf{x}} (t) = \mathbf{A} (t) \mathbf{x} (t) + \mathbf{B} (t) \mathbf{u} (t)
\mathbf{y} (t) = \mathbf{C} (t) \mathbf{x} (t) + \mathbf{D} (t) \mathbf{u} (t)
เวลาไม่ต่อเนื่องและไม่เปลี่ยนแปรตามเวลา (Explicit discrete time-invariant) \mathbf{x} (k+1) = A \mathbf{x} (k) + B \mathbf{u} (k)
\mathbf{y} (k) = C \mathbf{x} (k) + D \mathbf{u} (k)
เวลาไม่ต่อเนื่องและเปลี่ยนแปรตามเวลา (Explicit discrete time-variant) \mathbf{x} (k+1) = \mathbf{A} (k) \mathbf{x} (k) + \mathbf{B} (k) \mathbf{u} (k)
\mathbf{y} (k) = \mathbf{C} (k) \mathbf{x} (k) + \mathbf{D} (k) \mathbf{u} (k)
โดเมนการแปลงการแปลงลาปลาส
โดยที่เวลาต่อเนื่องและไม่เปลี่ยนแปรตามเวลา
(Laplace domain of
continuous time-invariant)
s \mathbf{X} (s) = A \mathbf{X} (s) + B \mathbf{U} (s)
\mathbf{Y} (s) = C \mathbf{X} (s) + D \mathbf{U} (s)
โดเมน Z
โดยที่เวลาไม่ต่อเนื่องและไม่เปลี่ยนแปรตามเวลา
(Z-domain of discrete time-invariant)
z \mathbf{X} (z) = A \mathbf{X} (z) + B \mathbf{U} (z)
\mathbf{Y} (z) = C \mathbf{X} (z) + D \mathbf{U} (z)

กรณีระบบไม่เชิงเส้น[แก้]

\mathbf{\dot{x}} (t) = \mathbf{f} (t, x (t), u (t))
\mathbf{y} (t) = \mathbf{h} (t, x (t), u (t))

สภาพควบคุมได้[แก้]

ดูบทความหลักที่: สภาพควบคุมได้

สภาพควบคุมได้ (อังกฤษ: Controllability) จะบ่งบอกถึงความสามารถที่สัญญาณขาเข้าที่เป็นไปได้ (admissible inputs) จะสามารถขับเคลื่อนตัวแปรสถานะให้ไปถึงค่าใดๆได้ในช่วงเวลาจำกัด (เวลาอันตะ) ไม่ว่าค่าเริ่มต้น (initial value) ของตัวแปรสถานะนั้นๆจะเป็นค่าอะไร ในกรณีระบบพลวัตเชิงเส้นเวลาต่อเนื่องไม่แปรผันตามเวลานั้นเงื่อนไขที่จะทำให้มีสภาพควบคุมได้ ก็ต่อเมื่อ

\operatorname{rank}\begin{bmatrix}B& AB& A^{2}B& ...& A^{n-1}B\end{bmatrix} = n

หมายเหตุ : ค่าลำดับขั้น (Rank) คือ ค่าซึ่งแสดงถึงจำนวนแถว (หรือหลัก) ในเมทริกซ์ที่มีความอิสระเชิงเส้น (linearly independent) ต่อกัน

สภาพสังเกตได้[แก้]

ดูบทความหลักที่: สภาพสังเกตได้

สภาพสังเกตได้ (อังกฤษ: Observability) เป็นสภาพที่บ่งบอกว่าระบบพลวัตมีความสามารถที่จะส่งผ่านข้อมูลของตัวแปรสถานะได้ดีแค่ไหนเมื่อพิจารณาจากสัญญาณขาออก สภาพควบคุมได้ และ สภาพสังเกตได้ เป็นสภาพคู่กันทางคณิตศาสตร์ (Duality) กล่าวคือ ในขณะที่ สภาพสังเกตได้ หมายถึง สภาพที่แสดงออกถึงว่าสัญญาณขาเข้าสามารถขับเคลื่อนตัวแปรสถานะไปที่ค่าใดๆที่ต้องการได้ แต่ สภาพสังเกตได้ จะเป็นสภาพที่แสดงว่าออกว่าการรู้รอยสัญญาณขาออก (output trajectory) จะให้ข้อมูลเพียงพอต่อการคาดคะเนค่าเริ่มต้นของตัวแปรสถานะของระบบได้ ในกรณีระบบพลวัตเชิงเส้นเวลาต่อเนื่องไม่แปรผันตามเวลานั้นเงื่อนไขที่จะทำให้มีสภาพสังเกตได้ได้ ก็ต่อเมื่อ

\operatorname{rank}\begin{bmatrix}C\\ CA\\ ...\\ CA^{n-1}\end{bmatrix} = n

การแยกตัวประกอบคาลมาน[7][แก้]

ดูบทความหลักที่: การแยกตัวประกอบคาลมาน

การแยกตัวประกอบคาลมาน (อังกฤษ: Kalman decomposition) เป็นกระบวนการแยกส่วนประกอบของเมทริกซ์ในสมการปริภูมิสถานะของระบบเชิงเส้นไม่เปลี่ยนตามเวลา linear time-invariant (LTI) ให้อยู่ในรูปแบบที่สามารถจำแนกได้ว่าส่วนใดในเมทริกซ์ของระบบ มีผลต่อ สภาพสังเกตได้ และสภาพควบคุมได้ ทำให้ง่ายต่อการวิเคราะห์คุณลักษณะของระบบ

จากสมการปริภูมิสถานะของระบบข้างต้น จะเห็นได้ว่าพารามิเตอร์ที่กำหนดลักษณะของระบบ LTI สามารถเขียนโดยย่อได้เป็นเวกเตอร์ \, (A, B, C, D) ในที่นี้จะสมมุติว่าระบบมีมิติเป็น \, n.

การแยกตัวประกอบคาลมาน ถูกนิยามว่า คือ การแปลงเวกเตอร์ \, (A, B, C, D) ให้เป็น \, (\hat{A}, \hat{B}, \hat{C}, \hat{D}) โดยคูณเมทริกซ์การแปลง \, T ดังต่อไปนี้

\, {\hat{A}} = {T^{-1}}AT
\, {\hat{B}} = {T^{-1}}B
\, {\hat{C}} = CT
\, {\hat{D}} = D

โดยเมทริกซ์การแปลง \, T มีมิติ \, n \times n เป็นเมทริกซ์ผกผันได้ ถูกนิยามดังต่อไปนี้ ดังต่อไปนี้:

\,  T = \begin{bmatrix} T_{r\overline{o}} & T_{ro} & T_{\overline{ro}} & T_{\overline{r}o}\end{bmatrix}

โดยที่

  • \, T_{r\overline{o}} เป็นเมทริกซ์ที่หลัก span ปริภูมิย่อย ของตัวแปรสถานะที่มีสถาพเข้าถึงได้ (reachable) และ ไม่มีสภาพสังเกตได้ (unobservable)
  • \, T_{ro} ถูกเลือกโดยที่หลักของ \, \begin{bmatrix} T_{r\overline{o}} & T_{ro}\end{bmatrix} เป็นฐานหลักของปริภูมิย่อยที่มีสภาพเข้าถึงได้ (reachable)
  • \, T_{\overline{ro}} ถูกเลือกโดยที่หลักของ \, \begin{bmatrix} T_{r\overline{o}} & T_{\overline{ro}}\end{bmatrix} เป็นฐานหลักของปริภูมิย่อยที่ไม่มีสภาพสังเกตได้ (unobservable)
  • \, T_{\overline{r}o} ถูกเลือกโดยที่ \,\begin{bmatrix} T_{r\overline{o}} & T_{ro} & T_{\overline{ro}} & T_{\overline{r}o}\end{bmatrix} ยังสามารถผกผันได้

จะเห็นได้ว่าโดยการสร้งเมทริกซ์ \, T ในลักษณะข้างต้น เมทริกซ์ \, T จึงผกผันได้ เป็นที่น่าสังเกตว่าเมทริกซ์ย่อยในเมทริกซ์ \, T นั้นสามารถเป็นเมทริกซ์ศูนย์ได้ ยกตัวอย่างเช่น กรณีที่ระบบมีสภาพสังเกตได้และควบคุมได้ เมทริกซ์ \, T ลดรูปเหลือ \, T = T_{ro} โดยที่ เมทริกซ์ย่อยอื่นเป็นเมทริกซ์ศูนย์

รูปแบบมาตรฐาน[แก้]

ระบบที่ได้รับการแปลงแล้ว \, (\hat{A}, \hat{B}, \hat{C}, \hat{D}) จะมีรูปแบบดังต่อไปนี้:

\, \hat{A} = \begin{bmatrix}A_{r\overline{o}} & A_{12} & A_{13} & A_{14} \\
0 & A_{ro} & 0 & A_{24} \\
0 & 0 & A_{\overline{ro}} & A_{34}\\
0 & 0 & 0 & A_{\overline{r}o}\end{bmatrix}
\, \hat{B} = \begin{bmatrix}B_{r\overline{o}} \\ B_{ro} \\ 0 \\ 0\end{bmatrix}
\, \hat{C} = \begin{bmatrix}0 & C_{ro} & 0 & C_{\overline{r}o}\end{bmatrix}
\, \hat{D} = D

โดยที่

  • ระบบย่อย \, (A_{ro}, B_{ro}, C_{ro}, D) มี สภาพเข้าถึงได้ และ สภาพสังเกตได้
  • ระบบย่อย \, \left (\begin{bmatrix}A_{r\overline{o}} & A_{12}\\ 0 & A_{ro}\end{bmatrix},\begin{bmatrix}B_{r\overline{o}} \\ B_{ro}\end{bmatrix},\begin{bmatrix}0 & C_{ro}\end{bmatrix}, D\right) มี สภาพเข้าถึงได้
  • ระบบย่อย \, \left (\begin{bmatrix}A_{ro} & A_{24}\\ 0 & A_{\overline{r}o}\end{bmatrix},\begin{bmatrix}B_{ro} \\ 0 \end{bmatrix},\begin{bmatrix}C_{ro} & C_{\overline{r}o}\end{bmatrix}, D\right) มี สภาพสังเกตได้

บุคคลสำคัญในวงการทฤษฎีระบบควบคุม[แก้]

สาขาของทฤษฎีระบบควบคุม[แก้]

ดูเพิ่ม[แก้]

หัวข้อที่น่าสนใจในทฤษฎีระบบควบคุม

อ้างอิง[แก้]

  1. 1.0 1.1 เดวิด บรรเจิดพงศ์ชัย, "ระบบควบคุมพลวัต การวิเคราะห์ การออกแบบ และการประยุกต์ (Dynamical Control Systems Analysis, Design and Applications)" สำนักพิมพ์แห่งจุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย 2551 (ISBN 978-974-03-2205-4)
  2. A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems, by R. E. Kalman, 1960
  3. Yuguang Fang, Kenneth A. Loparo, Stabilization of Continuous-Time Jump Linear, IEEE TRANSACTIONS ON AUTOMATIC CONTROL, VOL. 47, NO. 10, OCTOBER 2002 page 1590-1603
  4. Yuguang, Kenneth A. Loparo, Xiangbo Feng, Stability of Discrete Time Jump Linear Systems, Journal of Mathematical Systems, Estimation ,and Control, Vol 5, No. 3 , pp. 275-321
  5. Vijay Gupta, Richard M. Murray, Ling Shi,Bruno Sinopoli Networked Sensing, Estimation and Control Systems
  6. Vijay Gupta,Richard M. Murray Lecture Summary: Markov Jump Linear Systems
  7. Lectures on Dynamic Systems and Control, Lecture 25 - Mohammed Dahleh, Munther Dahleh, George Verghese — MIT OpenCourseWare

แหล่งข้อมูลอื่น[แก้]