การแปลง Z ขั้นสูง

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

การแปลง Z ขั้นสูง (อังกฤษ: advanced Z-transform หรือ modified Z-transform) เป็นการแปลง Z ที่ได้ผนวกผลของการหน่วง (delay) ที่ไม่ได้เป็นพหุคูณของอัตราการชักตัวอย่าง (sampling rate) บนโดเมนเวลาของสัญญาณ การแปลง Z ขั้นสูงถูกประยุกต์ใช้กันอย่างมากในการประมวลผลสัญญาณ (signal processing) และการควบคุมดิจิทัล (digital control) ตัวอย่างเช่น การสร้างแบบจำลองการประมวลผลสัญญาณที่รวมผลของการหน่วงเชิงเวลาแบบแม่นยำ เป็นต้น

การแปลง Z ขั้นสูง ถูกเสนอโดย จูรี่ (Eliahu Ibraham Jury)[1][2] นักทฤษฎีระบบควบคุมผู้ได้รับรางวัล Richard E. Bellman Control Heritage Award ประจำปี ค.ศ. 1993

นิยาม[แก้]

การแปลง Z ขั้นสูง มีนิยามดังต่อไปนี้

F(z, m) = \sum_{k=0}^{\infty} f(k T + m)z^{-k}

โดยที่

  • T คาบของการชักตัวอย่าง (sampling period)
  • m พารามิเตอร์การหน่วง (delay parameter) โดยที่ m \in [0, T).


คุณสมบัติ[แก้]

ภาวะเชิงเส้น[แก้]

\mathcal{Z} \left\{ \sum_{k=1}^{n} c_k f_k(t) \right\} = \sum_{k=1}^{n} c_k F(z, m).

การเลือนเชิงเวลา[แก้]

\mathcal{Z} \left\{ u(t - n T)f(t - n T) \right\} = z^{-n} F(z, m).

การหน่วง[แก้]

\mathcal{Z} \left\{ f(t) e^{-a\, t} \right\} = e^{-a\, m} F(e^{a\, T} z, m).

การคูณเชิงเวลา[แก้]

\mathcal{Z} \left\{ t^y f(t) \right\} = \left(-T z \frac{d}{dz} + m \right)^y F(z, m).

ทฤษฎีค่าสุดท้าย[แก้]

\lim_{k = \infty} f(k T + m) = \lim_{z = 1} (1-z^{-1})F(z, m).

หมายเหตุ: ในกรณีที่ พารามิเตอร์การหน่วงmเป็นคงคงที่ ในกรณีนี้คุณสมบัติของการแปลง Z แบบปรกติกับการแปลง Z ขั้นสูงจะเหมือนกันทั้งหมด

ตารางการแปลง Z ขั้นสูงของฟังก์ชันต่างๆ[แก้]

f(t) F(z,m)
1(t) \frac{z}{z-1}
t \frac{mT}{z-1} + \frac{T}{(z-1)^2}
e-at \frac{ e^{-amT} }{ z-e^{-aT} }
1 - e-at \frac{1}{z-1} + \frac{ e^{-amT} }{ z-e^{-aT} }
sin ωt \frac{z \sin {(m \omega T)} + \sin {[(1-m) \omega T]}}{z^2 - 2z \cos {\omega T} + 1 }

ตัวอย่าง[แก้]

ในที่นี้เรากำหนดให้ f(t) = \cos(\omega t)

\begin{align}
F(z, m) =& \mathcal{Z} \left\{ \cos \left(\omega \left(k T + m \right) \right) \right\} \\
        =& \mathcal{Z} \left\{ \cos (\omega k T) \cos (\omega m) - \sin (\omega k T) \sin (\omega m) \right\} \\
        =& \cos(\omega m) \mathcal{Z} \left\{ \cos (\omega k T) \right\} - \sin (\omega m) \mathcal{Z} \left\{ \sin (\omega k T) \right\} \\
        =& \cos(\omega m) \frac{z \left(z - \cos (\omega T) \right)}{z^2 - 2z \cos(\omega T) + 1} - \sin(\omega m) \frac{z \sin(\omega T)}{z^2 - 2z \cos(\omega T) + 1} \\
        =& \frac{z^2 \cos(\omega m) - z \cos(\omega(T - m))}{z^2 - 2z \cos(\omega T) + 1}
\end{align}.

ถ้า m=0 แล้ว F(z, m) จะลดรูปกลายเป็นการแปลง Z แบบปรกติ

F(z, 0) = \frac{z^2 - z \cos(\omega T)}{z^2 - 2z \cos(\omega T) + 1}

ซึ่งก็ตรงกับผลการแปลงการแปลง Z แบบปรกติของf(t).นั้นเอง

เพิ่มเติม[แก้]

บรรณานุกรม[แก้]

อ้างอิง[แก้]

  1. Eliahu Ibrahim Jury (1958). Sampled-Data Control Systems. John Wiley & Sons. 
  2. Eliahu Ibrahim Jury (1973). Theory and Application of the Z-Transform Method. Krieger Pub Co. ISBN 0-88275-122-0.