การแปลง Z ขั้นสูง

การแปลง Z ขั้นสูง (อังกฤษ: advanced Z-transform หรือ modified Z-transform) เป็นการแปลง Z ที่ได้ผนวกผลของการหน่วง (delay) ที่ไม่ได้เป็นพหุคูณของอัตราการชักตัวอย่าง (sampling rate) บนโดเมนเวลาของสัญญาณ การแปลง Z ขั้นสูงถูกประยุกต์ใช้กันอย่างมากในการประมวลผลสัญญาณ (signal processing) และการควบคุมดิจิทัล (digital control) ตัวอย่างเช่น การสร้างแบบจำลองการประมวลผลสัญญาณที่รวมผลของการหน่วงเชิงเวลาแบบแม่นยำ เป็นต้น

การแปลง Z ขั้นสูง ถูกเสนอโดย จูรี่ (Eliahu Ibraham Jury) นักทฤษฎีระบบควบคุมผู้ได้รับรางวัล Richard E. Bellman Control Heritage Award ประจำปี ค.ศ. 1993

นิยาม

การแปลง Z ขั้นสูง มีนิยามดังต่อไปนี้

$F(z, m) = \sum_{k=0}^{\infty} f(k T + m)z^{-k}$

โดยที่

• T คาบของการชักตัวอย่าง (sampling period)
• m พารามิเตอร์การหน่วง (delay parameter) โดยที่ $m \in [0, T).$

คุณสมบัติ

ภาวะเชิงเส้น

$\mathcal{Z} \left\{ \sum_{k=1}^{n} c_k f_k(t) \right\} = \sum_{k=1}^{n} c_k F(z, m).$

การเลือนเชิงเวลา

$\mathcal{Z} \left\{ u(t - n T)f(t - n T) \right\} = z^{-n} F(z, m).$

การหน่วง

$\mathcal{Z} \left\{ f(t) e^{-a\, t} \right\} = e^{-a\, m} F(e^{a\, T} z, m).$

การคูณเชิงเวลา

$\mathcal{Z} \left\{ t^y f(t) \right\} = \left(-T z \frac{d}{dz} + m \right)^y F(z, m).$

ทฤษฎีค่าสุดท้าย

$\lim_{k = \infty} f(k T + m) = \lim_{z = 1} (1-z^{-1})F(z, m).$

หมายเหตุ: ในกรณีที่ พารามิเตอร์การหน่วงmเป็นคงคงที่ ในกรณีนี้คุณสมบัติของการแปลง Z แบบปรกติกับการแปลง Z ขั้นสูงจะเหมือนกันทั้งหมด

ตารางการแปลง Z ขั้นสูงของฟังก์ชันต่างๆ

f(t)	F(z,m)
1(t)	$\frac{z}{z-1}$
t	$\frac{mT}{z-1} + \frac{T}{(z-1)^2}$
e-at	$\frac{ e^{-amT} }{ z-e^{-aT} }$
1 - e-at	$\frac{1}{z-1} + \frac{ e^{-amT} }{ z-e^{-aT} }$
sin ωt	$\frac{z \sin {(m \omega T)} + \sin {[(1-m) \omega T]}}{z^2 - 2z \cos {\omega T} + 1 }$

ตัวอย่าง

ในที่นี้เรากำหนดให้ $f(t) = \cos(\omega t)$

$\begin{align} F(z, m) =& \mathcal{Z} \left\{ \cos \left(\omega \left(k T + m \right) \right) \right\} \\ =& \mathcal{Z} \left\{ \cos (\omega k T) \cos (\omega m) - \sin (\omega k T) \sin (\omega m) \right\} \\ =& \cos(\omega m) \mathcal{Z} \left\{ \cos (\omega k T) \right\} - \sin (\omega m) \mathcal{Z} \left\{ \sin (\omega k T) \right\} \\ =& \cos(\omega m) \frac{z \left(z - \cos (\omega T) \right)}{z^2 - 2z \cos(\omega T) + 1} - \sin(\omega m) \frac{z \sin(\omega T)}{z^2 - 2z \cos(\omega T) + 1} \\ =& \frac{z^2 \cos(\omega m) - z \cos(\omega(T - m))}{z^2 - 2z \cos(\omega T) + 1} \end{align}$.

ถ้า $m=0$ แล้ว $F(z, m)$ จะลดรูปกลายเป็นการแปลง Z แบบปรกติ

$F(z, 0) = \frac{z^2 - z \cos(\omega T)}{z^2 - 2z \cos(\omega T) + 1}$

ซึ่งก็ตรงกับผลการแปลงการแปลง Z แบบปรกติของ$f(t).$นั้นเอง

เพิ่มเติม

• Z-transform

บรรณานุกรม

• Eliahu Ibraham Jury, Theory and Application of the Z-Transform Method, Krieger Pub Co, 1973. ISBN 0-88275-122-0.