ฟังก์ชันเลียปูนอฟ

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

ฟังก์ชันเลียปูนอฟ (อังกฤษ: Lyapunov function) เป็นฟังก์ชันที่ใช้ในการการหาเสถียรภาพของระบบพลวัตในทฤษฎีเสถียรภาพของเลียปูนอฟ โดยตั้งตามชื่อของ อเล็กซานเดอร์ มิคาอิลโลวิช เลียปูนอฟ นักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซีย (6 มิถุนายน ค.ศ. 1857 – 3 พฤศจิกายน ค.ศ. 1918) ฟังก์ชันนี้มีบทบาทสำคัญมากในทฤษฎีเสถียรภาพ และ ทฤษฎีระบบควบคุม

ในขณะนี้ยังไม่มีวิธีการทั่วไปในการหาฟังก์ชันเลียปูนอฟของระบบในกรณีทั่วไป เพราะในทฤษฎีเสถียรภาพของเลียปูนอฟสามารถบอกได้เพียงว่า ถ้าหากฟังก์ชันเลียปูนอฟสอดคล้องกับเกณฑ์ของเสถียรภาพจึงสามารถสรุปได้ว่าระบบนั้นมีเสถียรภาพ แต่ในทางกลับกัน ระบบที่มีเสถียรภาพไม่สามารถบ่งบอกได้ว่าฟังก์ชันแบบใดที่เป็นฟังก์ชันเลียปูนอฟได้ ดังนั้นในการพิสูจน์เสถียรภาพของระบบ จะกระทำโดยการสร้างฟังก์ชันที่มีคุณสมบัติตรงตามคุณสมบัติฟังก์ชันที่เข้าเกณฑ์การเป็นฟังก์เลียปูนอฟจะเรียกว่า ฟังก์ชันพลังงาน[1] (Energy function หรือ Lyapunov-candidate-functions) กล่าวคือ การที่ไม่สามารถหาฟังก์ชันเลียปูนอฟได้นันไม่ได้เป็นการพิสูจน์ได้ว่าระบบนั้นไม่ได้มีเสถียรภาพ แต่การที่สามารถหาฟังก์ชันเลียปูนอฟมาพิสูจน์เสถียรภาพได้เป็นการพิสูจน์ได้ว่าระบบนั้นๆมีเสถียรภาพ

ในทางปฏิบัติสำหรับระบบพลวัตทางฟิสิกส์ มักนิยมใช้กฎอนุรักษ์ต่างๆในการสร้างฟังก์ชันพลังงานได้

นิยามของฟังก์ชันพลังงาน[แก้]

กำหนดให้ V:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R} เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องและเป็นสเกลาร์
V จะเป็นฟังก์ชันพลังงานถ้าหาก V เป็นฟังก์ชันบวกแน่นอนเฉพาะแห่ง (locally positive-definite function) กล่าวคือ
  • V(x) > 0 \quad \forall x \in U\setminus\{0\} โดยที่ U เป็นเซตบริเวณใกล้เคียงรอบจุด x = 0
  • V(0) = 0 \,
หมายเหตุ: ตัวอย่างของฟังก์ชันพลังงาน ได้แก่ V(z) = z^TPz \, โดยที่ P = P^T \in R^{n \times n} > 0 \, กล่าวคือ P \, คือเมทริกซ์บวกแน่นอน [1]

นิยามของจุดสมดุลของระบบ[แก้]

กำหนดให้ g : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n
\dot{y} = g(y) \, เป็นระบบพลวัตอัตตาณัติที่กำหนดให้ โดยมีจุดสมดุลกำหนดให้เป็น y^* \, ดังนั้น
0 = g(y^*) \,

โดยไม่เสียความเป็นนัยยะทั่วไป เราสามารถแปลงพิกัดในอยู่ในรูป x = y - y^* \, เพื่อให้ระบบที่เราจะพิจารณาต่อไปมีจุดสมดุลอยู่ที่จุดกำเนิด ทำให้ความสะดวกต่อการพิจารณาต่อไป ดังต่อไปนี้

\dot{x} = g(x + y^*) = f(x) \,
 f(0) = 0 \,

พื้นฐานของทฤษฎีเสถียรภาพเลียปูนอฟสำหรับระบบอัตตาณัติ[แก้]

กำหนดให้ x^* = 0 \, เป็นจุดสมดุลของระบบอัตตาณัติ
\dot{x} = f(x) \,
และให้ \dot{V}(x) = \frac{\partial V}{\partial x}\cdot \frac{dx}{dt} = \nabla V \cdot \dot{x} = \nabla V\cdot f(x)

เป็นเป็นอนุพันธ์เชิงเวลาของฟังก์ชันพลังงานV

เสถียรภาพของจุดสมดุล[แก้]

ถ้าฟังก์ชันพลังงาน V เป็นบวกแน่นอนเฉพาะที่ และอนุพันธ์เชิงเวลาของฟังก์ชันพลังงานเป็นลบกึ่งแน่นอนเฉพาะที่ (locally negative semidefinite):

\dot{V}(x) \le 0 \quad \forall x \in \mathcal{B}\setminus\{0\}

สำหรับย่าน \mathcal{B} รอบจุด 0 จะสรุปได้ว่าจุดสมดุลนั้นมีเสถียรภาพ (stable)

เสถียรภาพเฉพาะที่เชิงเส้นกำกับ[แก้]

ถ้าฟังก์ชันพลังงาน V เป็นบวกแน่นอนเฉพาะที่ และอนุพันธ์เชิงเวลาของฟังก์ชันพลังงานเป็นลบแน่นอนเฉพาะที่ (locally negative definite):

\dot{V}(x) < 0 \quad \forall x \in \mathcal{B}\setminus\{0\}

สำหรับย่าน \mathcal{B} รอบจุด 0 จะสรุปได้ว่าจุดสมดุล มีเสถียรภาพเฉพาะที่เชิงเส้นกำกับ (locally asymptotically stable)

เสถียรภาพวงกว้างเชิงเส้นกำกับ[แก้]

ถ้าฟังก์ชันพลังงาน V เป็นบวกแน่นอนวงกว้าง (globally positive definite) และอนุพันธ์เชิงเวลาของฟังก์ชันพลังงานเป็นลบแน่นอนวงกว้าง (globally negative definite):

\dot{V}(x) < 0 \quad \forall x \in \mathbb{R}^n\setminus\{0\},

จะสรุปได้ว่าจุดสมดุล มีเสถียรภาพวงกว้างเชิงเส้นกำกับ (globally asymptotically stable)


หมายเหตุ :ฟังก์ชันพลังงาน V(x) จะไม่มีขอบเขตถ้าหาก \| x \| \to \infty  \Rightarrow V(x) \to \infty

ตัวอย่าง[แก้]

พิจารณาสมการอนุพันธ์ ที่มีคำตอบเป็น x โดยที่ x  \in \mathbb{R}:

\dot x = -x

จะเห็นว่า |x| มีค่าเป็นบวกรอบจุดกำเนิด ซึ่งเราสามารถนำมาเป็นฟังก์ชันพลังงานได้ กำหนดให้ V(x)=|x| โดยที่ x  \in \mathbb{R}\setminus\{0\} ดังนั้น

\dot V(x) = V'(x) f(x) = \mathrm{sign}(x)\cdot (-x) = -|x|<0

จะเห็นได้ว่าระบบที่ถูกอธิบายด้วยสมการอนุพันธ์ข้างต้นมีเสถียรภาพเชิงเส้นกำกับรอบจุดกำเนิด

ดูเพิ่ม[แก้]

อ้างอิง[แก้]

  1. 1.0 1.1 เดวิด บรรเจิดพงศ์ชัย, "ระบบควบคุมพลวัต การวิเคราะห์ การออกแบบ และการประยุกต์ (Dynamical Control Systems Analysis, Design and Applications)" สำนักพิมพ์แห่งจุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย 2551 (ISBN 978-974-03-2205-4)

แหล่งข้อมูลอื่น[แก้]