ระบบควบคุมพีไอดี

ระบบควบคุมแบบสัดส่วน-ปริพันธ์-อนุพันธ์ (อังกฤษ: PID controller) เป็นระบบควบคุมแบบป้อนกลับที่ใช้กันอย่างกว้างขวาง ซึ่งค่าที่นำไปใช้ในการคำนวณเป็นค่าความผิดพลาดที่หามาจากความแตกต่างของตัวแปรในกระบวนการและค่าที่ต้องการ ตัวควบคุมจะพยายามลดค่าผิดพลาดให้เหลือน้อยที่สุดด้วยการปรับค่าสัญญาณขาเข้าของกระบวนการ ค่าตัวแปรของ PID ที่ใช้จะปรับเปลี่ยนตามธรรมชาติของระบบ

แผนภาพบล็อกของการควบคุมแบบพีไอดี

วิธีคำนวณของ PID ขึ้นอยู่กับสามตัวแปรคือค่าสัดส่วน, ปริพันธ์ และ อนุพันธ์ ค่าสัดส่วนกำหนดจากผลของความผิดพลาดในปัจจุบัน, ค่าปริพันธ์กำหนดจากผลบนพื้นฐานของผลรวมความผิดพลาดที่ซึ่งพึ่งผ่านพ้นไป, และค่าอนุพันธ์กำหนดจากผลบนพื้นฐานของอัตราการเปลี่ยนแปลงของค่าความผิดพลาด น้ำหนักที่เกิดจากการรวมกันของทั้งสามนี้จะใช้ในการปรับกระบวนการ

โดยการปรับค่าคงที่ใน PID ตัวควบคุมสามารถปรับรูปแบบการควบคุมให้เหมาะกับที่กระบวนการต้องการได้ การตอบสนองของตัวควบคุมจะอยู่ในรูปของการไหวตัวของตัวควบคุมจนถึงค่าความผิดพลาด ค่าโอเวอร์ชูต (overshoots) และ ค่าแกว่งของระบบ (oscillation) วิธี PID ไม่รับประกันได้ว่าจะเป็นระบบควบคุมที่เหมาะสมที่สุดหรือสามารถทำให้กระบวนการมีความเสถียรแน่นอน

การประยุกต์ใช้งานบางครั้งอาจใช้เพียงหนึ่งถึงสองรูปแบบ ขึ้นอยู่กับกระบวนการเป็นสำคัญ พีไอดีบางครั้งจะถูกเรียกว่าการควบคุมแบบ PI, PD, P หรือ I ขึ้นอยู่กับว่าใช้รูปแบบใดบ้าง

ทฤษฎี

การควบคุมแบบ PID ได้ชื่อตามการรวมกันของเทอมของตัวแปรทั้งสามตามสมการ:

$\mathrm{MV (t)}=\,P_{\mathrm{out}} + I_{\mathrm{out}} + D_{\mathrm{out}}$

เมื่อ

$P_{\mathrm{out}}$, $I_{\mathrm{out}}$, และ $D_{\mathrm{out}}$ เป็นผลของสัญญาณขาออกจากระบบควบคุม PID จากแต่ละเทอมซึ่งนิยามตามรายละเอียดด้านล่าง

สัดส่วน

กราฟ PV ต่อเวลา, K_p กำหนดเป็น 3 ค่า(K_i และ K_d คงที่)

เทอมของสัดส่วน (บางครั้งเรียก อัตราขยาย) จะเปลี่ยนแปลงเป็นสัดส่วนของค่าความผิดพลาด การตอบสนองของสัดส่วนสามารถทำได้โดยการคูณค่าความผิดพลาดด้วยค่าคงที่ K_p, หรือที่เรียกว่าอัตราขยายสัดส่วน

เทอมของสัดส่วนจะเป็นไปตามสมการ:

$P_{\mathrm{out}}=K_p\,{e (t)}$

เมื่อ

$P_{\mathrm{out}}$: สัญญาณขาออกของเทอมสัดส่วน

$K_p$: อัตราขยายสัดส่วน, ตัวแปรปรับค่าได้

$e$: ค่าความผิดพลาด $= SP - PV$

$t$: เวลา

ผลอัตราขยายสัดส่วนที่สูงค่าความผิดพลาดก็จะเปลี่ยนแปลงมากเช่นกัน แต่ถ้าสูงเกินไประบบจะไม่เสถียรได้ ในทางตรงกันข้าม ผลอัตราขยายสัดส่วนที่ต่ำ ระบบควบคุมจะมีผลตอบสนองต่อกระบวนการน้อยตามไปด้วย

ปริพันธ์

กราฟ PV ต่อเวลา, K_i กำหนดเป็นสามค่า (K_p และ K_d คงที่)

ผลจากเทอมปริพันธ์ (บางครั้งเรียก reset) เป็นสัดส่วนของขนาดความผิดพลาดและระยะเวลาของความผิดพลาด ผลรวมของความผิดพลาดในทุกช่วงเวลา (ปริพันธ์ของความผิดพลาด) จะให้ออฟเซตสะสมที่ควรจะเป็นในก่อนหน้า ความผิดพลาดสะสมจะถูกคูณโดยอัตราขยายปริพันธ์ ขนาดของผลของเทอมปริพันธ์จะกำหนดโดยอัตราขยายปริพันธ์, $K_i$.

เทอมปริพันธ์จะเป็นไปตามสมการ:

$I_{\mathrm{out}}=K_{i}\int_{0}^{t}{e (\tau)}\,{d\tau}$

เมื่อ

$I_{\mathrm{out}}$: สัญญาณขาออกของเทอมปริพันธ์

$K_i$: อัตราขยายปริพันธ์, ตัวแปรปรับค่าได้

$e$: ความผิดพลาด $= SP - PV$

$t$: เวลา

$\tau$: ตัวแปรปริพันธ์หุ่น

เทอมปริพันธ์ (เมื่อรวมกับเทอมสัดส่วน) จะเร่งกระบวนการให้เข้าสู่จุดที่ต้องการและขจัดความผิดพลาดที่เหลืออยู่ที่เกิดจากการใช้เพียงเทอมสัดส่วน แต่อย่างไรก็ตาม เทอมปริพันธ์เป็นการตอบสนองต่อความผิดพลาดสะสมในอดีต จึงสามารถทำให้เกิดโอเวอร์ชูตได้ (ข้ามจุดที่ต้องการและเกิดการหันเหไปทางทิศทางอื่น)

อนุพันธ์

กราฟ PV ต่อเวลา, สำหรับ K_d 3 ค่า (K_p และ K_i คงที่)

อัตราการเปลี่ยนแปลงของความผิดพลาดจากกระบวนการนั้นคำนวณหาจากความชันของความผิดพลาดทุกๆเวลา (นั่นคือ เป็นอนุพันธ์อันดับหนึ่งสัมพันธ์กับเวลา) และคูณด้วยอัตราขยายอนุพันธ์ $K_d$ ขนาดของผลของเทอมอนุพันธ์ (บางครั้งเรียก อัตรา) ขึ้นกับ อัตราขยายอนุพันธ์ $K_d$

เทอมอนุพันธ์เป็นไปตามสมการ:

$D_{\mathrm{out}}=K_d\frac{d}{dt}e (t)$

เมื่อ

$D_{\mathrm{out}}$: สัญญาณขาออกของเทอมอนุพันธ์

$K_d$: อัตราขยายอนุพันธ์, ตัวแปรปรับค่าได้

$e$: ความผิดพลาด $= SP - PV$

$t$: เวลา

เทอมอนุพันธ์จะชะลออัตราการเปลี่ยนแปลงของสัญญาณขาออกของระบบควบคุมและด้วยผลนี้จะช่วยให้ระบบควบคุมเข้าสู่จุดที่ต้องการ ดังนั้นเทอมอนุพันธ์จะใช้ในการลดขนาดของโอเวอร์ชูตที่เกิดจาเทอมปริพันธ์และทำให้เสถียรภาพของการรวมกันของระบบควบคุมดีขึ้น แต่อย่างไรก็ตามอนุพันธ์ของสัญญาณรบกวนที่ถูกขยายในระบบควบคุมจะไวมากต่อการรบกวนในเทอมของความผิดพลาดและสามารถทำให้กระบวนการไม่เสถียรได้ถ้าสัญญาณรบกวนและอัตราขยายอนุพันธ์มีขนาดใหญ่เพียงพอ

ผลรวม

เทอมสัดส่วน, ปริพันธ์, และอนุพันธ์ จะนำมารวมกันเป็นสัญญาณขาออกของการควบคุมแบบ PID กำหนดให้ $u (t)$ เป็นสัญญาณขาออก สมการสุดท้ายของวิธี PID คือ:

$\mathrm{u (t)}=\mathrm{MV (t)}=K_p{e (t)} + K_{i}\int_{0}^{t}{e (\tau)}\,{d\tau} + K_{d}\frac{d}{dt}e (t)$

รหัสเทียม

รหัสเทียม (อังกฤษ: pseudocode) ของ ขั้นตอนวิธีระบบควบคุมพีไอดี โดยอยู่บนสมมุติฐานว่าตัวประมวลผลประมวลผลแบบขนานอย่งสมบรูณ์แบบ เป็นดังต่อไปนี้

previous_error = setpoint - actual_position
integral = 0
start:
  error = setpoint - actual_position
  integral = integral + (error*dt)
  derivative = (error - previous_error)/dt
  output = (Kp*error) + (Ki*integral) + (Kd*derivative)
  previous_error = error
  wait(dt)
  goto start

การปรับจูน

การปรับจูนด้วยมือ

ถ้าระบบยังคงทำงาน ขั้นแรกให้ตั้งค่า $K_i$ และ $K_d$ เป็นศูนย์ เพิ่มค่า $K_p$ จนกระทั่งสัญญาณขาออกเกิดการแกว่ง (oscillate) แล้วตั้งค่า $K_p$ ให้เหลือครึ่งหนึ่งของค่าที่ทำให้เกิดการแกว่งสำหรับการตอบสนองชนิด "quarter amplitude decay" แล้วเพิ่ม $K_i$ จนกระทั่งออฟเซตถูกต้องในเวลาที่พอเพียงของกระบวนการ แต่ถ้า $K_i$ มากไปจะทำให้ไม่เสถียร สุดท้ายถ้าต้องการ ให้เพิ่มค่า $K_d$ จนกระทั่งลูปอยู่ในระดับที่ยอมรับได้ แต่ถ้า $K_d$ มากเกินไปจะเป็นเหตุให้การตอบสนองและโอเวอร์ชูตเกินยอมรับได้ ปกติการปรับจูน PID ถ้าเกิดโอเวอร์ชูตเล็กน้อยจะช่วยให้เข้าสู่จุดที่ต้องการเร็วขึ้น แต่ในบางระบบไม่สามารถยอมให้เกิดโอเวอร์ชูตได้ และถ้าค่า $K_p$ น้อยเกินไปก็จะทำให้เกิดการแกว่ง

ผลของการเพิ่มค่าตัวแปรอย่างอิสระ

ตัวแปร	ช่วงเวลาขึ้น (Rise time)	โอเวอร์ชูต (Overshoot)	เวลาสู่สมดุล (Settling time)	ความผิดพลาดสถานะคงตัว (Steady-state error)	เสถียรภาพ
$K_p$	ลด	เพิ่ม	เปลี่ยนแปลงเล็กน้อย	ลด	ลด
$K_i$	ลด	เพิ่ม	เพิ่ม	ลดลงอย่างมีนัยสำคัญ	ลด
$K_d$	ลดลงเล็กน้อย	ลดลงเล็กน้อย	ลดลงเล็กน้อย	ตามทฤษฏีไม่มีผล	ดีขึ้นถ้า $K_d$ มีค่าน้อย

วิธีการ Ziegler–Nichols

วิธีการนี้นำเสนอโดย John G. Ziegler และ Nathaniel B. Nichols ในคริสต์ทศวรรษที่ 1940 ขั้นแรกให้ตั้งค่า $K_i$ และ $K_d$ เป็นศูนย์ เพิ่มอัตราขยาย P สูงที่สุด, $K_u$, จนกระทั่งเริ่มเกิดการแกว่ง นำค่า $K_u$ และค่าช่วงการแกว่ง $P_u$ มาหาค่าตัวแปรที่เหลือดังตาราง:

Ziegler–Nichols method

Control Type	$K_p$	$K_i$	$K_d$
P	$0.50{K_u}$	-	-
PI	$0.45{K_u}$	$1.2{K_p}/P_u$	-
PID	$0.60{K_u}$	$2{K_p}/P_u$	${K_p}{P_u}/8$

ดูเพิ่ม

• ทฤษฎีระบบควบคุม
• Feedback
• Instability
• Oscillation
• PI controller

อ้างอิง

• Liptak, Bela (1995). Instrument Engineers' Handbook: Process Control. Radnor, Pennsylvania: Chilton Book Company. pp. 20–29. ISBN 0-8019-8242-1. 
• Tan, Kok Kiong; Wang Qing-Guo, Hang Chang Chieh (1999). Advances in PID Control. London, UK: Springer-Verlag. ISBN 1-85233-138-0. 

• Van, Doren, Vance J. (July 1, 2003). "Loop Tuning Fundamentals". Control Engineering (Red Business Information). 
• Sellers, David. "An Overview of Proportional plus Integral plus Derivative Control and Suggestions for Its Successful Application and Implementation" (PDF). สืบค้นเมื่อ 2007-05-05. 

• Graham, Ron (10/03/2005). "FAQ on PID controller tuning". สืบค้นเมื่อ 2009-01-05. 

แหล่งข้อมูลอื่น

PID tutorials

• PID Tutorial
• P.I.D. Without a PhD: a beginner's guide to PID loop theory with sample programming code
• What's All This P-I-D Stuff, Anyhow? Article in Electronic Design
• Shows how to build a PID controller with basic electronic components (pg. 22)
• Virtual PID Controller Laboratory
  • PID Design & Tuning
• ตัวอย่างการประยุกต์ใช้งานตัวควบคุมพีไอดีกับปัญหา Inverted Pendulum โดยมหาวิทยาลัยคาร์เนกีเมลลอน

หัวข้อพิเศษและการประยุกต์ใช้การควบคุมแบบพีไอดี

• Proven Methods and Best Practices for PID Control
• PID Control Primer Article in Embedded Systems Programming