การแปลงลาปลาส

ในทางคณิตศาสตร์ การแปลงลาปลาส (อังกฤษ: Laplace transform) คือการแปลงเชิงปริพันธ์ที่ใช้กันอย่างกว้างขวาง แสดงอยู่ในรูป $\displaystyle\mathcal{L} \left\{f(t)\right\}$ การแปลงลาปลาสจะทำให้เกิดความเป็นเชิงเส้นของ f(t) ซึ่งค่า t เป็นอาร์กิวเมนต์จริง(t ≥ 0) จะแปลงไปอยู่ในรูปฟังก์ชัน F(s) โดย s เป็นอาร์กิวเมนต์เชิงซ้อน การแปลงนี้เป็นการทำฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งที่สำคัญมากในการใช้งานในทางปฏิบัติ คู่ฟังก์ชัน f(t) กับ F(s) นั้นจับคู่กันในตาราง การแปลงลาปลาสถูกใช้ประโยชน์จากคุณสมบัติที่มันมีความสัมพันธ์และการดำเนินการของฟังกันดังเดิม f(t) น้นสอดคล้องกับความสัมพันธ์กับการดำเนินการในรูปของ F(s) การแปลงลาปลาสถูกประยุกต์ใช้ในงานสำคัญมากมายที่เป็นแนวคิดทางวิทยาศาสตร์ สำหรับชื่อลาปลาสนี้มาจากชื่อของปีแยร์-ซีมง ลาปลาส ผู้ที่นำการแปลงนี้ไปใช้ในทฤษฎีความน่าจะเป็น

การแปลงลาปลาสเกี่ยวข้องกับการแปลงฟูรีเย แต่ขณะที่การแปลงฟูรีเยนั้นใช้ในการแก้ฟังก์ชันหรือสัญญาณในโหมดของการสั่นสะเทือน

คุณสมบัติ

กำหนดให้ f(t) และ g(t) มีผลการแปลงลาปลาสเป็น F(s) และ G(s) ตามลำดับ:

$f(t) = \mathcal{L}^{-1} \{ F(s) \}$

$g(t) = \mathcal{L}^{-1} \{ G(s) \}$

ตารางต่อไปนี้เป็นตารางคุณสมบัติของการแปลงลาปลาสด้านเดียว (unilateral Laplace transform):

คุณสมบัติของการแปลงลาปลาสด้านเดียว

	โดเมนเวลา	โดเมน 's'	หมายเหตุ
ภาวะเชิงเส้น (Linearity)	$a f(t) + b g(t) \$	$a F(s) + b G(s) \$	สามารถพิสูจน์ได้โดยคุณสมบัติความเป็นเชิงเส้นของการหาปริพันธ์ (ปริพันธ์ผลบวกเท่ากับ ปริพันธ์ขององค์ประกอบย่อยของผลบวกนั้น)
อนุพันธ์เชิงความถี่ (Frequency differentiation)	$t f(t) \$	$-F'(s) \$	$F'\,$ เป็นอนุพันธอันดับแรกของ $F\,$.
อนุพันธ์เชิงความถี่ (Frequency differentiation)	$t^{n} f(t) \$	$(-1)^{n} F^{(n)}(s) \$	รูปแบบทั่วไปของอนุพันธอันดับ nth ของ F(s)
อนุพันธ์ (Differentiation)	$f'(t) \$	$s F(s) - f(0) \$	สมมุติให้ ƒ เป็นฟังก์ชันที่อนุพันธได้ (differentiable function)
อนุพันธอันดับสอง (Differentiation)	$f''(t) \$	$s^2 F(s) - s f(0) - f'(0) \$	สมมุติให้ ƒ มีอนุพันธอันดับสอง
อนุพันธอันดับใดๆ (Differentiation)	$f^{(n)}(t) \$	$s^n F(s) - s^{n - 1} f(0) - \cdots - f^{(n - 1)}(0) \$	สมมุติให้ ƒ มีอนุพันธอันดับ n ใดๆ
ปริพันธ์เชิงความถี่ (Frequency integration)	$\frac{f(t)}{t} \$	$\int_s^\infty F(\sigma)\, d\sigma \$
ปริพันธ์ Integration	$\int_0^t f(\tau)\, d\tau = (u * f)(t)$	${1 \over s} F(s)$	$u(t)$ คือ ฟังก์ชันขั้นบันไดเฮวิไซด์ (Heaviside step function) และ $(u * f)(t)$ คือสังวัตนาการ (convolution) ของ $u(t)$ และ $f(t)$
การขยายเชิงเวลา (Time scaling)	$f(at) \$	$\frac{1}{|a|} F \left ( {s \over a} \right )$
การเลื่อนเชิงความถี่ (Frequency shifting)	$e^{at} f(t) \$	$F(s - a) \$
การเลื่อนเชิงเวลา (Time shifting)	$f(t - a) u(t - a) \$	$e^{-as} F(s) \$	$u(t)$ คือ ฟังก์ชันขั้นบันไดเฮวิไซด์ (Heaviside step function)
การคูณ (Multiplication)	$f(t) g(t) \$	$\frac{1}{2\pi i}\lim_{T\to\infty}\int_{c-iT}^{c+iT}F(\sigma)G(s-\sigma)\,d\sigma \$	การหาปริพันธ์จะกระทำบนแกนแนวดิ่ง $Re(\sigma)=c$ ซึ่งอยู่ในขอบเขตการลู่เข้า (region of convergence) ของ F
สังวัตนาการ (Convolution)	$(f * g)(t) = \int_0^t f(\tau)g(t-\tau)\,d\tau$	$F(s) \cdot G(s) \$	ในนิยามของการสังวัตนาการ เราสามรถกำหนดให้ ƒ(t) และ g(t) มีค่าเป็นศูนย์ได้ เมื่อ t < 0
สังยุคของจำนวนเชิงซ้อน (Complex conjugation)	$f^*(t)$	$F^*(s^*)$
สหสัมพันธ์ไขว้ (Cross-correlation)	$f(t)\star g(t)$	$F^*(-s^*)\cdot G(s)$
ฟังก์ชันคาบ (Periodic Function)	$f(t) \$	${1 \over 1 - e^{-Ts}} \int_0^T e^{-st} f(t)\,dt$	$f(t)$ เป็น ฟังก์ชันคาบ ของคาบ $T$ กล่าวคือ $f(t) = f(t + T), \; \forall t\ge 0$ เป็นการรวมการของคุณสมบัติการเลื่อนเชิงเวลาและคุณสมบัติของลำดับเรขาคณิต

เชิงอรรถ

• อาจพบเห็นการสะกดชื่อการแปลงลาปลาสอย่างอื่นเช่น การแปลงลาปลาซ, การแปลงลาพลาส, การแปลงลาพลาซ หรือใช้คำนำหน้าว่า ผลการแปลง–, การแปลงรูป–

อ้างอิง

• Arendt, Wolfgang; Batty, Charles J.K.; Hieber, Matthias; Neubrander, Frank (2002), Vector-Valued Laplace Transforms and Cauchy Problems, Birkhäuser Basel, ISBN 3764365498 .
• Bracewell, R. N. (2000), The Fourier Transform and Its Applications (3rd ed.), Boston: McGraw-Hill, ISBN 0071160434 .