วิธีกงดอร์แซ

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
ไปยังการนำทาง ไปยังการค้นหา
ตัวอย่างบัตรลงคะแนนที่ใช้ระบบกงดอร์แซ ช่องที่ไม่ได้กาเครื่องหมายนั้นมีค่าเท่ากับลำดับสุดท้าย

วิธีกงดอร์แซ (อังกฤษ: Condorcet method) คือระบบการลงคะแนนที่ใช้เลือกผู้สมัครที่ชนะคะแนนเสียงข้างมากในการเลือกตั้งแบบตัวต่อตัว (head-to-head election) กับผู้สมัครรายอื่นแต่ละรายจนครบ กล่าวคือผู้สมัครรายนั้นได้รับความนิยมจากผู้ลงคะแนนมากกว่าผู้สมัครรายอื่น ๆ ทั้งหมด ซึ่งผู้ชนะที่มีคุณสมบัติตามเกณฑ์ข้างต้นนี้เรียกว่า ผู้ชนะทุกคน (beats-all winner) และเรียกอย่างเป็นทางการว่า ผู้ชนะแบบกงดอร์แซ (Condorcet winner)[1] โดยการเลือกตั้งแบบตัวต่อตัวนั้นไม่จำเป็นจะต้องกระทำแยกเป็นครั้ง ๆ ไป โดยสามารถให้ผู้ลงคะแนนลงคะแนนผู้สมัครเป็นรายคู่โดยใช้ผลลัพธ์จากการจัดลำดับได้[2]

ในการเลือกตั้งบางกรณีไม่อาจหาผู้ชนะแบบกงดอร์แซได้เนื่องจากผลการลงคะแนนนั้นอาจจะเป็นวัฏจักร (cyclic) กล่าวคือมีความเป็นไปได้ (แต่พบได้ยาก) ว่าผู้สมัครทุกคนจะมีคู่แข่งที่แพ้ในการแข่งขันเป็นคู่ ๆ เสมอกัน[3] (คล้ายกับการเป่ายิ้งฉุบที่การเสี่ยงมือแบบหนึ่งจะชนะแบบหนึ่งและแพ้อีกแบบหนึ่งได้) ความเป็นไปได้ของการเกิดวัฏจักรนั้นเรียกว่า ปฏิทรรศน์กงดอร์แซ (Condorcet paradox) อย่างไรก็ตาม ผู้แข่งขันจากกลุ่มที่เล็กที่สุดที่สามารถเอาชนะผู้สมัครทุกรายที่ไม่อยู่ในกลุ่มเดียวกันได้มักจะเกิดขึ้นได้เสมอ ซึ่งเรียกกันว่า กลุ่มสมิธ (Smith set) โดยกลุ่มสมิธหากมีอยู่จะสามารถรับรองว่าจะเลือกผู้ชนะของกงดอร์แซได้

ระบบการลงคะแนนแบบกงดอร์แซนั้นตั้งชื่อตามมารี ฌ็อง อ็องตวน นีกอลา การีตา มาร์กี เดอ กงดอร์แซ นักคณิตศาสตร์และนักปรัชญาชาวฝรั่งเศสซึ่งเป็นผู้คิดค้นระบบนี้ขึ้นในคริสต์ศตวรรษที่ 18 อย่างไรก็ตามระบบคล้ายกันกับกงดอร์แซได้ถูกใช้ครั้งแรกใน ค.ศ. 1299[4] โดยราโมน ยุลย์ นักปรัชญาชาวมาจอร์กา โดยเป็นวิธีเดียวกันกับวิธีของโคปแลนด์ในแบบที่ไม่มีคะแนนเสมอเป็นคู่[5]

วิธีกงดอร์แซสามารถใช้บัตรลงคะแนนแบบจัดลำดับ แบบคาร์ดินัล หรือใช้การลงคะแนนอย่างง่ายกับผู้สมัครเป็นคู่ ๆ ได้ โดยวิธีส่วนใหญ่มักจะใช้การลงคะแนนแบบจัดลำดับรอบเดียว ซึ่งผู้ลงคะแนนแต่ละคนจะต้องจัดลำดับผู้สมัครทั้งหมดเริ่มตั้งแต่ลำดับที่ชอบมากที่สุด (เริ่มที่ 1) ไปจนถึงลำดับท้ายสุด (เลขจำนวนที่มากขึ้น) การจัดลำดับนี้มักเรียกว่า ลำดับความชอบ (order of preference) ในการนับคะแนนสามารถกระทำได้หลายวิธีเพื่อตัดสินผู้ชนะ ในทุกวิธีของกงดอร์แซจะใช้หาผู้ชนะแบบกงดอร์แซในกรณีที่มีผู้ชนะที่เข้าเกณฑ์ หากไม่มีจะต้องใช้วิธีรองอื่น ๆ ที่สามารถเลือกผู้ชนะคนอื่น ๆ แทนได้ในกรณีที่เกิดผลเป็นวัฏจักร โดยผลลัพธ์จะออกมาแตกต่างกันขึ้นอยู่กับเกณฑ์ที่เลือกใช้

ตามขั้นตอนซึ่งระบุไว้ในข้อบังคับการประชุมของรอเบิร์ต (Robert's Rules of Order) สำหรับการลงมติต่าง ๆ ก็ยังถือเป็นวิธีกงดอร์แซเช่นกันถึงแม้ว่าผู้ลงคะแนนจะไม่ได้ออกเสียงโดยการจัดลำดับก็ตาม[6] โดยในการลงคะแนนจะเกิดขึ้นหลายรอบ และในแต่ละรอบจะมีการลงคะแนนระหว่างตัวเลือกจำนวนเพียงสองตัวเลือก ผู้แพ้ (ตามเกณฑ์เสียงข้างมาก) ในแต่ละคู่จะตกรอบ และผู้ชนะในคู่นั้นจะถูกจับคู่กับผู้ชนะอีกคู่หนึ่งในรอบต่อไป จนสุดท้ายเหลือเพียงผู้ชนะคนสุดท้ายเพียงคนเดียว ระบบนี้จะเหมือนกับการแข่งขันหาผู้ชนะเป็นรอบ ๆ (single-winner tournament) กล่าวคือจำนวนการจับคู่แข่งขั้นทั้งหมดเท่ากับจำนวนของตัวเลือกลบด้วยหนึ่ง เนื่องจากผู้ชนะแบบกงดอร์แซชนะโดยเสียงข้างมากในแต่ละคู่ จึงย่อมไม่เคยตกรอบตามข้อบังคับของรอเบิร์ต แต่ในวิธีนี้ไม่สามารถทำให้เห็นปฏิทรรศน์ของการลงคะแนนซึ่งจะไม่มีผู้ชนะเลย และเสียงส่วนใหญ่ชอบผู้สมัครรายที่แพ้ก่อนมากกว่าผู้ชนะในรอบหลัง (ถึงแม้ว่าจะต้องเลือกผู้ชนะคนใดคนหนึ่งจากชุดสมิธก็ตาม) วรรณกรรมส่วนใหญ่ที่เกี่ยวข้องกับทฤษฎีทางเลือกสังคมล้วนกล่าวถึงลักษณะเฉพาะของระบบนี้เพราะถูกนำมาใช้อย่างกว้างขวางโดยองค์กรสำคัญต่าง ๆ (สภานิติบัญญัติ คณะกรรมาธิการ คณะกรรมการ ฯลฯ) อย่างไรก็ตามระบบนี้ไม่เหมาะสมที่จะทำมาใช้สำหรับการเลือกตั้งในทางปฏิบัติ เนื่องจากการลงคะแนนจำนวนหลายรอบนั้นจะทำให้สิ้นเปลืองต่อผู้ลงคะแนน ผู้สมัครรับเลือกตั้ง และสำหรับรัฐบาลในการกำกับดูแล

โดยสังเขป[แก้]

ในการแข่งขันระหว่างผู้สมัคร A B และ C โดยใช้ระบบการลงคะแนนตามความชอบในวิธีกงดอร์แซ ซึ่งจะต้องมีการแข่งขันแบบตัวต่อตัวทีละคู่ ได้แก่ A กับ B, B กับ C และ C กับ A หากมีผู้สมัครรายใดที่ได้รับความชอบมากที่สุดจะถือเป็นผู้ชนะแบบกงดอร์แซ และชนะการเลือกตั้งไป

เนื่องจากยังมีความเป็นไปได้อยู่ที่จะเกิดปฏิทรรศน์ของการลงคะแนน (แต่น้อย)[7] ซึ่งจะทำให้ไม่สามารถหาผู้ชนะกงดอร์แซในการเลือกตั้งบางประเภท โดยในบางครั้งเรียกว่า วัฏจักรกงดอร์แซ หรือ วัฏจักร โดยอธิบายอย่างง่ายเหมือนการเป่ายิ้งฉุบ ซึ่งค้อนชนะกรรไกร กรรไกรชนะกระดาษ และกระดาษชนะค้อน ระบบย่อยของกงดอร์แซหลายแบบแตกต่างกันในการแก้ปัญหาวัฏจักร (ในการเลือกตั้งส่วนใหญ่นั้นไม่ค่อยเกิดเหตุการณ์วัฏจักรขึ้น) หากกรณีไม่พบวัฏจักรขึ้น ทุกวิธีย่อยของกงดอร์แซจะเลือกผู้ชนะคนเดียวกัน และให้ผลเหมือนกันในทางปฏิบัติ

  • ผู้ลงคะแนนแต่ละรายจัดลำดับคะแนนแก่ผู้สมัครตามลำดับ (จากบนลงล่าง หรือดีสุดถึงแย่สุด หรืออันดับ 1 2 3 เป็นต้น) ผู้ลงคะแนนอาจสามารถให้จัดอันดับผู้สมัครในอันดับเดียวกันหรือเสมอกันได้ หรือแม้แต่จะไม่ออกความเห็นในระหว่างผู้สมัครแต่ละรายก็ได้ โดยผู้สมัครที่ไม่ได้รับการจัดลำดับอาจแปลความหมายได้ว่าผู้ลงคะแนนจัดลำดับล่างสุดให้แทน[8]
  • สำหรับการแข่งขันในแต่ละคู่ (แบบเดียวกับในการแข่งขันแบบพบกันหมด) จะทำการนับคะแนนตามอันดับของผู้สมัครรายหนึ่งเทียบกับอีกรายหนึ่ง ดังนั้นในละคู่จะได้ผลรวมสองอย่าง คือ ผลรวมของเสียงข้างมากและผลรวมของเสียงข้างน้อย[9] (หรือ อาจจะมีเสียงเสมอก็ได้)

ในวิธีกงดอร์แซส่วนใหญ่นั้นผลการนับเพียงเท่านี้มากพอที่จะนับสรุปคะแนนได้จนจบ (เช่น ผู้ใดชนะ ผู้ใดมาอันดับสอง เป็นต้น) ซึ่งพอเพียงที่จะหาตัวผู้ชนะแบบกงดอร์แซ

ในกรณีคะแนนเสียงเสมอกันจะต้องใช้ข้อมูลบางส่วนเพิ่มเติม โดยเสมอกันอาจจะมาจากเหตุผลที่ไม่มีผู้ใดได้เสียงข้างมาก หรืออาจะเป็นเสียงข้างมากที่มีขนาดเท่ากัน แต่การเสมอนั้นเกิดขึ้นได้ยากมากถ้ามีผู้ลงคะแนนจำนวนมาก ในวิธีกงดอร์แซบางวิธีอาจมีคะแนนเสมอได้หลายประเภท ตัวอย่างเช่น ในวิธีของโคปแลนด์จะเกิดขึ้นได้เมื่อผู้สมัครสองคนขึ้นไปชนะจำนวนคู่เท่ากันซึ่งหมายความว่ากรณีจะไม่เจอผู้ชนะแบบกงดอร์แซ

คำจำกัดความ[แก้]

ขั้นตอนเบื้องต้น[แก้]

การลงคะแนน[แก้]

ในการเลือกตั้งแบบกงดอร์แซผู้ลงคะแนนทำการจัดลำดับผู้สมัครแต่ละรายตามลำดับความชอบ หากใช้บัตรลงคะแนนแบบจัดลำดับ ผู้ลงคะแนนจะใส่หมายเลข "1" ให้กับผู้สมัครอันดับแรกที่ชอบ และ "2" ให้กับผู้สมัครอันดับที่สอง เป็นต้น ในวิธีกงดอร์แซแบบอื่นอาจยอมให้ผู้ลงคะแนนจัดลำดับผู้สมัครเท่ากันได้ซึ่งดังนั้นผู้ลงคะแนนอาจออกเสียงเลือกสองคนเท่า ๆ กันแทนที่จะชอบคนใดคนหนึ่งมากกว่า[10] หากใช้บัตรลงคะแนนแบบให้คะแนน ผู้ลงคะแนนทำการให้คะแนนผู้สมัครตามมาตรคะแนน ตัวอย่างเดียวกับระบบการลงคะแนนแบบคะแนนรวมซึ่งผู้สมัครรายใดได้คะแนนมากกว่าจะเท่ากับได้รับความพึงพอใจมากกว่า[11]

เมื่อใดที่ผู้ลงคะแนนไม่ได้ทำการจัดลำดับให้ครบผู้สมัครทุกราย จะตีความว่าผู้ลงคะแนนเลือกผู้สมัครรายที่จัดลำดับมากกว่าผู้สมัครที่ไม่ถูกจัดลำดับ และถือว่าไม่ได้เลือกผู้ใดเลยหากผู้สมัครทั้งคู่ไม่ได้รับการจัดอันดับเลย ในการเลือกตั้งวิธีกงดอร์แซบางวิธีสามารถให้ผู้ลงคะแนนเลือกเขียนชื่อผู้สมัครได้เอง

การหาผู้ชนะ[แก้]

การนับคะแนนจะทำโดยจับผู้สมัครเป็นคู่ ๆ แข่งขันกันแบบตัวต่อตัวจนครบทุกคู่ ผู้ชนะในแต่ละคู่จะเป็นผู้สมัครที่ถูกเลือกโดยผู้ลงคะแนนเสียงข้างมาก โดยสามารถหาผู้ที่ได้เสียงข้างมากได้ง่ายเนื่องจากมีเพียงสองตัวเลือกโดยยกเว้นในกรณีที่คะแนนเสมอ ผู้สมัครที่ได้รับเลือกโดยแต่ละผู้ลงคะแนนจะถือเป็นผู้สมัครที่ได้คะแนนสูงกว่า (หรือลำดับสูงกว่า) ในบัตรลงคะแนนของคู่นั้น ๆ ตัวอย่างเช่น หาก A จับแข่งขันคู่กับ B จะต้องนับคะแนนเสียงของผู้ลงคะแนนที่ให้อันดับ A สูงกว่า B และจำนวนคะแนนเสียงของผู้ที่ให้อันดับ B สูงกว่า A ซึ่งเมื่อ A ได้คะแนนจากผู้ลงคะแนนมากกว่าดังนั้น A จะเป็นผู้ชนะในคู่นี้ เมื่อนำการจับคู่ทั้งหมดมาแข่งขันกันจนครบ หากมีผู้สมัครรายใดที่สามารถเอาชนะรายอื่น ๆ ที่เหลือได้ จะถือว่าผู้นั้นเป็นผู้ชนะแบบกงดอร์แซ

ตามที่กล่าวไปข้างต้น หากไม่สามารถระบุผู้ชนะแบบกงดอร์แซได้ จะต้องใช้วิธีการเพิ่มเติมเพื่อหาตัวผู้ชนะ ซึ่งกลไกนั้นย่อมแตกต่างกันตามแต่ละลักษณะของแต่ละวิธี[12] ในวิธีกงดอร์แซใด ๆ ที่ผ่านเกณฑ์ความอิสระของตัวเลือกของสมิธ ในบางครั้งจะสามารถระบุตัวชุดสมิธจากในการแข่งขันแบบตัวต่อตัวได้ และจะสามารถกำจัดผู้สมัครรายอื่น ๆ ที่ไม่ได้อยู่ในชุดก่อนการเข้ากระบวนการหาผู้ชนะตามวิธีกงดอร์แซ

การนับคะแนนเป็นคู่และเมตริกซ์[แก้]

วิธีกงดอร์แซใช้การนับคะแนนทีละคู่ โดยในผู้สมัครแต่ละคู่นั้น การนับคะแนนของคู่จะแสดงให้เห็นถึงจำนวนผู้ลงคะแนนที่พอใจผู้สมัครรายหนึ่งในคู่นั้นมากกว่าอีกรายหนึ่ง และยังแสดงให้เห็นถึงคะแนนเสียงของผู้ที่สนับสนุนผู้สมัครรายที่คะแนนน้อยกว่าด้วย การนับคะแนนทั้งหมดจากทุกคู่จะสามารถสรุปให้เห็นถึงความชอบของผู้สมัครจากการจับคู่ที่ละคู่

การนับคะแนนทีละคู่มักจะแสดงเป็น เมตริกซ์การเปรียบเทียบเป็นคู่ (pairwise comparison matrix)[13] หรือ เมตริกซ์ที่เหนือกว่า (outranking matrix)[14] ดังตัวอย่างข้างล่าง โดยในเมตริกซ์ ข้อมูลในแต่ละแถวประกอบด้วยชื่อผู้สมัคร "Runner" ในขณะที่แต่ละสดมภ์นั้นประกอบด้วยคู่แข่งขัน โดยในแต่ละช่องที่ตัดกันระหว่างแถวและสดมภ์นั้นแสดงผลลัพธ์ของแต่ละการแข่งขันในคู่นั้น ๆ ส่วนช่องที่จับคู่กับชื่อของตนนั้นจะถูกเว้นว่างไว้[15][16]

สมมติให้ว่ามีการแข่งขันระหว่างผู้สมัครสี่คน: A B C และ D ในเมตริกซ์แรกนั้นแสดงให้เห็นความชอบผ่านการลงคะแนนด้วยบัตรลงคะแนนเดี่ยว ซึ่งความชอบของผู้ลงคะแนนแต่ละคนได้แก่ B C A D ซึ่งหมายความผู้ลงคะแนนเลือก B ก่อนเป็นอันดับแรก ตามด้วย C เป็นอันดับสอง A เป็นอันดับสาม และ D เป็นอันดับสี่ ในเมตริกซ์ '1' ระบุว่าผู้แข่งขันนั้นได้ถูกเลือกกว่า "คู่แข่ง" ในขณะที่ '0' นั้นหมายถึงเมื่อผู้แข่งขันนั้นแพ้[15][13]

        คู่แข่ง
ผู้สมัคร
A B C D
A 0 0 1
B 1 1 1
C 1 0 1
D 0 0 0
เลข '1' คือเมื่อผู้สมัครได้รับเลือกแทนคู่แข่ง; ในขณะที่ '0' หมายถึงเมื่อผู้สมัครแพ้แก่คู่แข่ง

ตัวอย่างในการลงคะแนนเพื่อเลือกเมืองหลวงของรัฐเทนเนสซี[แก้]

Tennessee and its four major cities: Memphis in the south-west; Nashville in the centre, Chattanooga in the south, and Knoxville in the east

สมมติว่ารัฐเทนเนสซีกำลังจะจัดการเลือกตั้งเพื่อเลือกเมืองหลวงของรัฐ โดยประชากรในรัฐเทนเนสซีนั้นกระจุกตัวอยู่ในเมืองหลักทั้งสี่เมืองซึ่งตั้งอยู่ในแต่ละฝั่งของรัฐ ในตัวอย่างนี้ให้สมมติว่าเขตเลือกตั้งทั้งเขตนั้นอยู่ในเขตเมืองทั้งสี่นี้ และประชาชนทุกคนต้องการเลือกให้อาศัยอยู่ใกล้เมืองหลวงมากที่สุด

รายชื่อเมืองผู้สมัครเข้ารับตำแหน่งเมืองหลวงได้แก่

  • เมมฟิส ซึ่งเป็นเมืองที่ใหญ่ที่สุดในรัฐ มีผู้ลงคะแนนมากถึงร้อยละ 42 แต่ตั้งอยู่ไกลจากเมืองอื่นๆ
  • แนชวิลล์ มีผู้ลงคะแนนร้อยละ 26 ตั้งอยู่ใจกลางรัฐ
  • น็อกซ์วิลล์ มีผู้ลงคะแนนร้อยละ 17
  • แชตตานูกา มีผู้ลงคะแนนร้อยละ 15

การแบ่งจำนวนเสียงข้อผู้ลงคะแนนสามารถจำแนกได้ดังนี้

42% ของคะแนนเสียง
(ใกล้กับเมมฟิส)
26% ของคะแนนเสียง
(ใกล้กับแนชวิลล์)
15% ของคะแนนเสียง
(ใกล้กับแชตตานูกา)
17% ของคะแนนเสียง
(ใกล้กับน็อกซ์วิลล์)
  1. เมมฟิส
  2. แนชวิลล์
  3. แชตตานูกา
  4. น็อกซ์วิลล์
  1. แนชวิลล์
  2. แชตตานูกา
  3. น็อกซ์วิลล์
  4. เมมฟิส
  1. แชตตานูกา
  2. น็อกซ์วิลล์
  3. แนชวิลล์
  4. เมมฟิส
  1. น็อกซ์วิลล์
  2. แชตตานูกา
  3. แนชวิลล์
  4. เมมฟิส

ในการหาผู้ชนะแบบกงดอร์แซนั้นผู้สมัครแต่ละรายจะต้องแข่งขันตัวต่อตัวเป็นคู่ ๆ จนครบ โดยในแต่ละคู่ผู้ชนะจะเป็นผู้ที่ได้คะแนนความชอบตามเสียงส่วนมากของผู้ลงคะแนน โดยหลังจากการนับคะแนนในแต่ละคู่แล้วได้ผลลัพธ์ดังนี้

คู่ ผู้ชนะ
เมมฟิส (42%) vs. แนชวิลล์ (58%) แนชวิลล์
เมมฟิส (42%) vs. แชตตานูกา (58%) แชตตานูกา
เมมฟิส (42%) vs. น็อกซ์วิลล์ (58%) น็อกซ์วิลล์
แนชวิลล์ (68%) vs. แชตตานูกา (32%) แนชวิลล์
แนชวิลล์ (68%) vs. น็อกซ์วิลล์ (32%) แนชวิลล์
แชตตานูกา (83%) vs. น็อกซ์วิลล์ (17%) แชตตานูกา

โดยผลลัพธ์ตามเมตริกซ์เป็นดังนี้

ลำดับ 1 แนชวิลล์ [N] ชนะ 3 ↓
ลำดับ 2 แชตตานูกา [C] แพ้ 1 →

↓ ชนะ 2

[N] 68%
[C] 32%
ลำดับ 3 น็อกซ์วิลล์ [K] แพ้ 2 →

↓ ชนะ 1

[C] 83%
[K] 17%
[N] 68%
[K] 32%
ลำดับ 4 เมมฟิส [M] แพ้ 3 → [K] 58%
[M] 42%
[C] 58%
[M] 42%
[N] 58%
[M] 42%

ซึ่งเมื่อพิจารณาจากข้อมูลในตารางข้างต้นแล้ว แนชวิลล์สามารถเอาชนะผู้สมัครรายอื่นได้ทุกราย ซึ่งหมายความว่าแนชวิลล์เป็นผู้ชนะแบบกงดอร์แซ แนชวิลล์จะสามารถเอาชนะการเลือกตั้งที่ใช้วิธีกงดอร์แซได้ทั้งหมด

หากในการเลือกตั้งนั้นใช้ระบบแบ่งเขตคะแนนสูงสุดหรือระบบคะแนนเสียงเผื่อเลือก จะได้ผู้ชนะคือเมมฟิสและน็อกซ์วิลล์ตามลำดับ ซึ่งจะเกิดขึ้นได้แม้ว่าตามหลักความจริงแล้วผู้ลงคะแนนส่วนใหญ่ย่อมจะเลือกแนชวิลล์มากกว่าอีกสองรายดังกล่าว วิธีกงดอร์แซนั้นแสดงให้เห็นชัดเจนถึงลำดับความชอบมากกว่าที่จะเพิกเฉยหรือแม้แต่ไม่นับมาพิจารณา

อ้างอิง[แก้]

  1. Gehrlein, William V.; Valognes, Fabrice (2001). "Condorcet efficiency: A preference for indifference". Social Choice and Welfare. 18: 193–205. doi:10.1007/s003550000071. S2CID 10493112. The Condorcet winner in an election is the candidate who would be able to defeat all other candidates in a series of pairwise elections.
  2. https://www.semanticscholar.org/paper/Four-Condorcet-Hare-Hybrid-Methods-for-Elections-Green-Armytage/49dba225741582cae5aabec6f1b5ff722f6fedf1 "Pairwise comparison: An imaginary head-to-head contest between two candidates, in which each voter is assumed to vote for the candidate whom he gives a better ranking to."
  3. Gehrlein, William V.; Fishburn, Peter C. (1976). "Condorcet's Paradox and Anonymous Preference Profiles". Public Choice. 26: 1–18. doi:10.1007/BF01725789. JSTOR 30022874?seq=1. S2CID 153482816. Condorcet's paradox [6] of simple majority voting occurs in a voting situation [...] if for every alternative there is a second alternative which more voters prefer to the first alternative than conversely.
  4. G. Hägele and F. Pukelsheim (2001). "Llull's writings on electoral systems". Studia Lulliana. 41: 3–38. คลังข้อมูลเก่า เก็บจาก แหล่งเดิม เมื่อ 2006-02-07.
  5. Colomer, Josep (2013). "Ramon Llull: From Ars Electionis to Social Choice Theory". Social Choice and Welfare. 40 (2): 317–328. doi:10.1007/s00355-011-0598-2. hdl:10261/125715. S2CID 43015882.
  6. McLean, Iain; Urken, Arnold B. (1992). "Did Jefferson or Madison understand Condorcet's theory of social choice?". Public Choice. 73 (4): 445–457. doi:10.1007/BF01789561. S2CID 145167169. Binary procedures of the Jefferson/Robert variety will select the Condorcet winner if one exists
  7. Gehrlein, William V. (2011). Voting paradoxes and group coherence : the condorcet efficiency of voting rules. Lepelley, Dominique. Berlin: Springer. ISBN 9783642031076. OCLC 695387286. empirical studies ... indicate that some of the most common paradoxes are relatively unlikely to be observed in actual elections. ... it is easily concluded that Condorcet’s Paradox should very rarely be observed in any real elections on a small number of candidates with large electorates, as long as voters’ preferences reflect any reasonable degree of group mutual coherence
  8. Darlington, Richard B. (2018). "Are Condorcet and minimax voting systems the best?". arΧiv:1807.01366 [physics.soc-ph]. "CC [Condorcet] systems typically allow tied ranks. If a voter fails to rank a candidate, they are typically presumed to rank them below anyone whom they did rank explicitly.". 
  9. Hazewinkel, Michiel (2007-11-23). Encyclopaedia of Mathematics, Supplement III (ภาษาอังกฤษ). Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-306-48373-8. Briefly, one can say candidate A defeats candidate B if a majority of the voters prefer A to B. With only two candidates [...] barring ties [...] one of the two candidates will defeat the other.
  10. "Condorcet". Equal Vote Coalition. สืบค้นเมื่อ 2021-04-25.
  11. https://halshs.archives-ouvertes.fr/halshs-01972097/document
  12. อ้างอิงผิดพลาด: ป้ายระบุ <ref> ไม่ถูกต้อง ไม่มีการกำหนดข้อความสำหรับอ้างอิงชื่อ :2
  13. 13.0 13.1 Mackie, Gerry. (2003). Democracy defended. Cambridge, UK: Cambridge University Press. p. 6. ISBN 0511062648. OCLC 252507400.
  14. Nurmi, Hannu (2012), "On the Relevance of Theoretical Results to Voting System Choice", ใน Felsenthal, Dan S.; Machover, Moshé (บ.ก.), Electoral Systems, Studies in Choice and Welfare, Springer Berlin Heidelberg, pp. 255–274, doi:10.1007/978-3-642-20441-8_10, ISBN 9783642204401, S2CID 12562825
  15. 15.0 15.1 อ้างอิงผิดพลาด: ป้ายระบุ <ref> ไม่ถูกต้อง ไม่มีการกำหนดข้อความสำหรับอ้างอิงชื่อ :1
  16. Hogben, G. (1913). "Preferential Voting in Single-member Constituencies, with Special Reference to the Counting of Votes". Transactions and Proceedings of the Royal Society of New Zealand. 46: 304–308.

อ่านเพิ่มเติม[แก้]

แหล่งข้อมูลอื่น[แก้]