ฟีลด์

รูปเจ็ดเหลี่ยมด้านเท่าไม่สามารถสร้างได้โดยใช้เพียงแค่สันตรงและวงเวียน การพิสูจน์อาศัยฟีลด์ของจำนวนที่สร้างได้

ในคณิตศาสตร์ ฟีลด์ (อังกฤษ: Field) คือเซตที่สามารถนิยามการบวก ลบ คูณ และหารได้ และสามารถดำเนินการเหล่านั้นได้เหมือนกับจำนวนตรรกยะและจำนวนจริง ฟีลด์จึงมักถือว่าเป็นโครงสร้างเชิงพีชคณิตพื้นฐาน ซึ่งมักจะถูกใช้ในพีชคณิต, ทฤษฎีจำนวน และคณิตศาสตร์สาขาอื่น ๆ

ตัวอย่างฟีลด์ที่รู้จักกันดีที่สุดคือ ฟีลด์ของจำนวนตรรกยะ ฟีลด์ของจำนวนจริง ตลอดจนฟีลด์ของจำนวนเชิงซ้อน นอกจากนี้ยังมีฟีลด์อื่น ๆ อีกมากมาย เช่น ฟีลด์ของฟังก์ชันตรรกยะ ฟีลด์ฟังก์ชันเชิงพีชคณิต ฟีลด์จำนวนเชิงพีชคณิต และฟีลด์ของจำนวนพี-แอดิก ก็มักจะถูกใช้และศึกษาในคณิตศาสตร์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งในทฤษฎีจำนวนและเรขาคณิตเชิงพีชคณิต วิทยาการเข้ารหัสใช้ฟีลด์จำกัดซึ่งก็คือฟีลด์ที่มีสมาชิกจำกัดเป็นสำคัญ

ฟิลด์หนึ่งอาจขยายไปเป็นอีกฟิลด์หนึ่งได้ด้วยแนวคิดเรื่องฟีลด์ภาคขยาย ทฤษฎีกาลัวเป็นเครื่องมือสำคัญในการศึกษาความสมมาตรของฟีลด์ภาคขยายซึ่งริเริ่มโดยเอวาริสต์ กาลัว

นิยาม

โดยสังเขปแล้ว ฟีลด์คือเซตที่มีฟังก์ชันสองตัวถูกกำหนดบนเซตนั้น ฟังก์ชันการบวกเขียนด้วยสัญลักษณ์ a + b ฟังก์ชันการคูณเขียนด้วยสัญลักษณ์ a ⋅ b ฟังก์ชันทั้งสองมีคุณสมบัติเหมือนกับที่อยู่ในจำนวนตรรกยะและจำนวนจริง รวมไปถึงการมีตัวผกผันการบวก −a สำหรับสมาชิก a ทั้งหมด และตัวผกผันการคูณ b⁻¹ สำหรับสมาชิก b ที่ไม่ใช่ศูนย์ทั้งหมด นี่ทำให้เราเห็นสิ่งที่เรียกว่าตัวดำเนินการผกผัน ซึ่งก็คือการลบ a − b และการหาร a / b โดยการนิยามว่า

a − b = a + (−b),

a / b = a · b⁻¹.

ตัวอย่าง

จำนวนตรรกยะ

จำนวนตรรกยะถูกใช้อย่างกว้างขวางก่อนที่จะมีการใช้คำว่าฟีลด์อย่างจริงจัง จำนวนตรรกยะคือจำนวนที่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปของเศษส่วน a/b, โดยที่ a และ b เป็นจำนวนเต็ม และ b ≠ 0. ตัวผกผันการบวกของฟังก์ชันดังกล่าวคือ −a/b, และตัวผกผันการคูณของเศษส่วนดังกล่าวคือ b/a (ถ้า a ≠ 0)

อ้างอิง

• Lang, Serge (2002). Algebra (Revised Third ed.). New York: Springer. ISBN 0-387-95385-X. OCLC 48176673.