ฟีลด์
ในคณิตศาสตร์ ฟีลด์คือเซตที่สามารถนิยามการบวก ลบ คูณ และหารได้ และสามารถดำเนินการเหล่านั้นได้เหมือนกับจำนวนตรรกยะและจำนวนจริง ฟีลด์จึงมักถือว่าเป็นโครงสร้างเชิงพีชคณิตพื้นฐาน ซึ่งมักจะถูกใช้ในพีชคณิต, ทฤษฎีจำนวน และคณิตศาสตร์สาขาอื่น ๆ
ฟีลด์ที่รู้จักกันดีที่สุดคือ ฟีลด์จำนวนตรรกยะและฟีลด์จำนวนจริง ฟีลด์จำนวนเชิงซ้อนก็ใช้กันมากเช่นกัน ไม่เฉพาะแค่ในคณิตศาสตร์ แต่ในวิทยาศาสตร์และวิศวกรรมหลายสาขาเช่นกัน ฟีลด์อื่น ๆ มากมาย เช่น ฟีลด์ของฟังก์ชันตรรกยะ ฟีลด์ฟังก์ชันพีชคณิต ฟีลด์ตัวเลขพีชคณิต ก็มักจะถูกใช้และศึกษาในคณิตศาสตร์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งในทฤษฎีจำนวนและเรขาคณิตเชิงพีชคณิต
นิยาม[แก้]
โดยสังเขปแล้ว ฟีลด์คือเซตที่มีฟังก์ชันสองตัวถูกกำหนดบนเซตนั้น ฟังก์ชันการบวกเขียนด้วยสัญลักษณ์ a + b ฟังก์ชันการคูณเขียนด้วยสัญลักษณ์ a ⋅ b ฟังก์ชันทั้งสองมีคุณสมบัติเหมือนกับที่อยู่ในจำนวนตรรกยะและจำนวนจริง รวมไปถึงการมีตัวผกผันการบวก −a สำหรับสมาชิก a ทั้งหมด และตัวผกผันการคูณ b−1 สำหรับสมาชิก b ที่ไม่ใช่ศูนย์ทั้งหมด นี่ทำให้เราเห็นสิ่งที่เรียกว่าตัวดำเนินการผกผัน ซึ่งก็คือการลบ a − b และการหาร a / b โดยการนิยามว่า
- a − b = a + (−b),
- a / b = a · b−1.
ตัวอย่าง[แก้]
จำนวนตรรกยะ[แก้]
จำนวนตรรกยะถูกใช้อย่างกว้างขวางก่อนที่จะมีการใช้คำว่าฟีลด์อย่างจริงจัง จำนวนตรรกยะคือจำนวนที่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปของเศษส่วน a/b, โดยที่ a และ b เป็นจำนวนเต็ม และ b ≠ 0. ตัวผกผันการบวกของฟังก์ชันดังกล่าวคือ −a/b, และตัวผกผันการคูณของเศษส่วนดังกล่าวคือ b/a (ถ้า a ≠ 0)
