จำนวนเชิงซ้อน

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

จำนวนเชิงซ้อน (อังกฤษ : complex number) ในทางคณิตศาสตร์ คือ เซตที่ต่อเติมจากเซตของจำนวนจริงโดยเพิ่มจำนวน ซึ่งทำให้สมการ เป็นจริง และหลังจากนั้นเพิ่มสมาชิกตัวอื่น ๆ เข้าไปจนกระทั่งเซตที่ได้ใหม่มีสมบัติการปิดภายใต้การบวกและการคูณ จำนวนเชิงซ้อน ทุกตัวสามารถเขียนอยู่ในรูป โดยที่ และ เป็นจำนวนจริง โดยเราเรียก และ ว่าส่วนจริง (real part) และส่วนจินตภาพ (imaginary part) ของ ตามลำดับ

เซตของจำนวนเชิงซ้อนทุกตัวมักถูกแทนด้วยสัญลักษณ์ จากนิยามข้างต้นเราได้ว่าเซตของจำนวนจริงเป็นสับเซตของเซตของจำนวนเชิงซ้อน ดังนั้นจำนวนจริงทุกตัวเป็นจำนวนเชิงซ้อน เราสามารถบวก ลบ คูณ และหารสมาชิกสองตัวใด ๆ ของเซตของจำนวนเชิงซ้อนได้ (เว้นแต่ในกรณีที่ตัวหารคือศูนย์) และผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นจำนวนเชิงซ้อนเสมอ ดังนั้นในทางคณิตศาสตร์เราจึงกล่าวว่าเซตของจำนวนเชิงซ้อนเป็นฟีลด์ นอกจากนี้เซตของจำนวนเชิงซ้อนยังมีสมบัติการปิดทางพีชคณิต (algebraically closed) กล่าวคือ พหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเชิงซ้อนจะมีราก (พหุนาม)เป็นจำนวนเชิงซ้อนด้วย สมบัตินี้เป็นที่รู้จักในชื่อทฤษฎีบทมูลฐานของพีชคณิต

นอกจากนี้ ในทางคณิตศาสตร์แล้วคำว่า "เชิงซ้อน" ถูกใช้เป็นคำคุณศัพท์ที่มีความหมายว่าฟีลด์ของตัวเลขที่เราสนใจคือฟีลด์ของจำนวนเชิงซ้อน ยกตัวอย่างเช่น การวิเคราะห์เชิงซ้อน, พหุนามเชิงซ้อน, แมทริกซ์เชิงซ้อน, และพีชคณิตลีเชิงซ้อน เป็นต้น

นิยาม[แก้]

ฟีลด์ของจำนวนเชิงซ้อน[แก้]

ฟีลด์ของจำนวนเชิงซ้อน ประกอบด้วยเซตของคู่ลำดับ ทั้งหมดโดยที่ และ เป็นจำนวนจริง และปฏิบัติการสองตัวคือ (การบวก) และ (การคูณ) โดยปฏิบัติการทั้งมีนิยามดังต่อไปนี้

ให้ และ เป็นจำนวนเชิงซ้อนใด ๆ

เมื่อการบวก การลบ และการคูณภายในคู่ลำดับคือการบวก การลบ และการคูณจำนวนจริง

เซตของจำนวนเชิงซ้อนและปฏิบัติการทั้งสองมีสมบัติเป็นฟีลด์ กล่าวคือ

  • การบวกและการคูณมีสมบัติการปิด การสลับที่ การเปลี่ยนกลุ่ม และการแจกแจง
  • มีเอกลักษณ์การบวกคือ
  • มีเอกลักษณ์การคูณคือ
  • อินเวอร์สการบวกของ (เขียนแทนด้วย ) คือ (-a, -b)
  • ถ้าหาก อินเวอร์สการคูณของ (เขียนแทนด้วย ) คือ

จำนวนเชิงซ้อนในฐานะปริภูมิเวกเตอร์และฟีลด์ต่อเติม[แก้]

อนึ่ง เราอาจมองเซตของจำนวนเชิงซ้อนเป็นปริภูมิเวกเตอร์สองมิติบนเซตของจำนวนจริง เราสามารถใช้การบวกจำนวนเชิงซ้อนแทนการบวกเวกเตอร์ และการคูณด้วยสเกลาร์สามารถนิยามได้ดังต่อไปนี้

เมื่อ เป็นจำนวนจริงและ เป็นจำนวนเชิงซ้อนใด ๆ

ด้วยเหตุนี้เราได้ว่าฐานหลักหนึ่งของเซตของจำนวนเชิงซ้อนประกอบด้วยเวกเตอร์ และ กล่าวคือเราสามารถเขียนจำนวนเชิงซ้อนทุกตัวในรูปของผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์ทั้งสอง:

ตามความนิยม เรามักแปลความหมายของ ว่าเป็นจำนวนจริง (ด้วยเหตุนี้เราจึงกล่าวว่าเซตจำนวนจริงเป็นสับเซตของเซตจำนวนเชิงซ้อน) และมักใช้สัญลักษณ์ แทน จำนวนเชิงซ้อน จึงเขียนได้อีกแบบหนึ่งว่า ซึ่งเป็นที่นิยมใช้มากกว่าแบบคู่ลำดับ

จากนิยามการคูณจำนวนเชิงซ้อนข้างต้น เราได้ว่า นั่นคือ เป็นคำตอบของสมการ ซึ่งไม่สามารถหาคำตอบได้ในเซตของจำนวนจริง ดังนั้น เซตของจำนวนเชิงซ้อนจึงเป็นฟีลด์ต่อเติม (field extension) ของเซตของจำนวนจริงโดยการเพิ่มรากของพหุนาม อีกนัยหนึ่ง เซตของจำนวนเชิงซ้อนคือริงผลหาร (quotient ring) ของริงพหุนาม กับไอดีล เขียนเป็นประโยคสัญลักษณ์ได้ว่า

สัญลักษณ์และคำศัพท์ที่เกี่ยวข้อง[แก้]

ส่วนจริงและส่วนจินตภาพ[แก้]

ถ้า เราเรียก ว่า ส่วนจริง ของ เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ และเราเรียก ว่า ส่วนจินตภาพ ของ เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ เราเรียกจำนวนเชิงซ้อนที่มีส่วนจริงเป็น 0 และส่วนจินตภาพไม่เป็น 0 ว่าจำนวนจินตภาพ (imaginary number)

สังยุคเชิงซ้อน[แก้]

ถ้า เป็นจำนวนเชิงซ้อน สังยุคของ คือ เราเขียนแทนสังยุคของ ด้วย สังยุคของจำนวนเชิงซ้อนมีสมบัติสำคัญ ๆ ดังต่อไปนี้

เมื่อ , , เป็นจำนวนเชิงซ้อนใด ๆ

ขนาดของจำนวนเชิงซ้อน[แก้]

ขนาดของจำนวนเชิงซ้อน เขียนแทนด้วย คือจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบ เราอาจแปลความหมายของขนาดของจำนวนเชิงซ้อนได้ว่าเป็นความยาวของเส้นตรงที่ลากจากจุด (0, 0) ไปยังจุด (a, b) บนระบบพิกัดคาร์ทีเซียน ขนาดของจำนวนเชิงซ้อนมีสมบัติสำคัญ ๆ ดังต่อไปนี้

  1. (อสมการสามเหลี่ยม)
  2. ก็ต่อเมื่อ

เมื่อ , , และ เป็นจำนวนเชิงซ้อนใด ๆ จากสมบัติข้อที่สองและการแทนจำนวนจริง ด้วยจำนวนเชิงซ้อน ทำให้เราได้ว่าถ้า

ระนาบเชิงซ้อน[แก้]

Complex.png

เรายังสามารถมองจำนวนเชิงซ้อนเป็นจุดหรือเวกเตอร์บนระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสองมิติ และมักจะเรียกระนาบนี้ว่าระนาบเชิงซ้อน (complex plane) หรือผังของอาร์กานด์ ตามชื่อของ ชอง-โรแบร์ต อาร์กานด์ ผู้ค้นพบ

พิกัดคาร์ทีเซียนของจำนวนเชิงซ้อน คือ ในขณะที่พิกัดเชิงขั้วคิอ เมื่อ และ เป็นมุมที่เวกเตอร์ ทำกับแกน ในหน่วยเรเดียน เราเรียก ว่า อาร์กิวเมนต์ของ และเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ สังเกตว่าจำนวนเชิงซ้อนที่มีอาร์กิวเมนต์ต่างกันเท่ากับผลคูณของจำนวนเต็มกับ จะมีค่าเท่ากัน

สูตรของออยเลอร์ช่วยแสดงความสัมพันธ์ระหว่างพิกัดคาร์ทีเซียนและพิกัดเชิงขั้ว อีกทั้งยังช่วยให้เราสามารถเขียนจำนวนเชิงซ้อนได้อีกรูปแบบหนึ่งดังต่อไปนี้

และเรายังสามารถพิสูจน์ได้ว่า

และ

เมื่อ ด้วยเหตุนี้เราจึงสามารถมองการคูณจำนวนเชิงซ้อนตัวหนึ่ง ๆ ว่าเป็นการหมุนและการยืด (หรือหด) เวกเตอร์ด้วยอาร์กิวเมนต์และขนาดของจำนวนเชิงซ้อนตัวนั้นตามลำดับ

การคูณด้วย จึงสมมูลกับการหมุนเวกเตอร์ 90 องศาทวนเข็มนาฬิกา สมการ ฉะนั้นเราสามารถเข้าใจความหมายของสมการ ได้อีกนัยหนึ่งว่า "การหมุน 90 องศาสองครั้งมีค่าเท่ากับการหมุน 180 องศา" หรือ "เมื่อหมุนเวกเตอร์ ไป 90 องศา ผลลัพธ์ที่ได้คือเวกเตอร์ (-1, 0) "

สมบัติต่าง ๆ[แก้]

การเรียงลำดับ[แก้]

ไม่เป็นฟีลด์อันดับ กล่าวคือเราไม่สามารถเรียงลำดับจำนวนเชิงซ้อนโดยที่การเรียงลำดับนั้นสอดคล้องกับการบวกและการคูณจำนวนเชิงซ้อนได้เลย

ปริภูมิเวกเตอร์[แก้]

อย่างที่ได้กล่าวไว้ข้างต้น เป็นปริภูมิเวกเตอร์สองมิติบน เราได้ว่าการแปลงเชิงเส้นบน (-linear map) ทุกตัวจะสามารถเขียนได้ในรูป

เมื่อ และ เป็นจำนวนเชิงซ้อนใด ๆ เราได้ว่าฟังก์ชัน เป็นการหมุนและการยืดเวกเตอร์ ส่วนฟังก์ชัน นั้นประกอบด้วยการหมุน การพลิก และการยืดเวกเตอร์ในฟังก์ชันเดียว สังเกตว่า เท่านั้นที่เป็นการแปลงเชิงเส้นบน และเป็นฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิก เราสามารถหาอนุพันธ์ของ ได้ในเซตของจำนวนจริง แต่อนุพันธ์นั้นไม่สอดคล้องกับสมการโคชี-รีมันน์

สมบัติเชิงพีชคณิต[แก้]

(หรือฟีลด์อื่นที่สมสัณฐานกับ ) จะมีลักษณะจำเพาะสามประการ ดังนี้

ด้วยเหตุนี้ จึงมีฟีลด์ย่อยแท้ที่สมสัณฐานกับตัวมันเองอยู่เป็นจำนวนมาก นอกจากนี้กาลอยด์กรุปของ บนเชตของจำนวนตรรกยะมีขนาดเท่ากับเซตกำลังของเซตของจำนวนจริง