ปริพันธ์

ในคณิตศาสตร์ ปริพันธ์ หรือ อินทิกรัล (อังกฤษ: integral) เป็นการกำหนดค่าให้กับฟังก์ชัน ซึ่งอาจมองได้เป็นการรวมปริมาณย่อยขนาดเล็กมาก ๆ ของฟังก์ชันนั้นเข้าด้วยกันในรูปแบบที่คล้ายคลึงกับ การกระจัด พื้นที่ ปริมาตร และแนวคิดอื่นที่เกี่ยวข้อง เรียกกระบวนการหาปริพันธ์ว่า การหาปริพันธ์ หรือ อินทิเกรชัน (อังกฤษ: integration) การหาปริพันธ์และการหาอนุพันธ์ซึ่งเป็นคู่ตรงข้ามของกันและกันต่างเป็นการดำเนินการพื้นฐานของแคลคูลัส

ปริพันธ์ที่หาค่าออกมาแล้วเรียกว่า ปริพันธ์จำกัดเขต (definite integral) ซึ่งสามารถตีความได้ว่าเป็นพื้นที่ใต้กราฟของฟังก์ชันบนระนาบ พร้อมกับกำหนดเครื่องหมายบวก/ลบ ให้กับพื้นที่ หากพื้นที่นั้นอยู่เหนือแกน X หรืออยู่ใต้แกน X ตามลำดับ บางครั้งคำว่าปริพันธ์อาจสื่อุถึงปฏิยานุพันธ์ ซึ่งเป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้เป็นฟังก์ชันที่กำหนด บางครั้งเรียกว่าปริพันธ์ไม่จำกัดเขต (indefinite integral) ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัสอธิบายความเกี่ยวข้องระหว่างแนวคิดทั้งสอง และความเกี่ยวข้องระหว่างปริพันธ์กับอนุพันธ์

แม้ว่าการหาพื้นที่และปริมาตรด้วยการรวมส่วนเล็ก ๆ เข้าด้วยกันจะปรากฏในคณิตศาสตร์สมัยกรีกโบราณ แต่แนวคิดปริพันธ์อย่างในปัจจุบันนั้นกำเนิดขึ้นในศตวรรษที่ 17 โดย ไอแซค นิวตัน และ ก็อทฟรีท วิลเฮ็ล์ม ไลบ์นิทซ์ ต่างค้นพบด้วยตัวของตัวเองทั้งคู่ โดยมองว่าปริพันธ์คือการหาพื้นที่ใต้เส้นโค้งด้วยการรวมพื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผ้าใต้เส้นโค้งที่มีความยาวน้อยมาก ๆ เข้าด้วยกัน แบร์นฮาร์ด รีมันน์เป็นคนแรกที่นิยามแนวคิดดังกล่าวอย่างรัดกุม จึงได้ชื่อว่าเป็นปริพันธ์แบบรีมันน์ ในภายหลังมีการขยายแนวคิดปริพันธ์แบบรีมันน์ออกไปให้สามารถอินทิเกรตฟังก์ชันได้เพิ่มมากขึ้น ตัวอย่างที่สำคัญที่สุดในคณิตศาสตร์สมัยใหม่คือ ปริพันธ์แบบเลอเบก

สัญลักษณ์และศัพท์ที่เกี่ยวข้อง

โดยทั่วไปแล้ว ปริพันธ์ของฟังก์ชันค่าจริง f(x) เทียบกับตัวแปรค่าจริง x บนช่วงปิด [a, b] จะเขียนแทนด้วย

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx$

การหาปริพันธ์ข้างต้นแทนการหาปริพันธ์จำกัดเขต โดยสัญลักษณ์ ∫ หมายถึงการหาปริพันธ์ จุด a และ b หมายถึงขอบเขตของช่วงที่เราจะหา, สัญลักษณ์ f(x) คือฟังก์ชันที่เราต้องการหาปริพันธ์หรือ ปริพัทธ์ (integrand) และสัญลักษณ์ dx ซึ่งเรียกว่า ผลต่างเชิงอนุพันธ์ของ x หรือ ดิฟเฟอเรนเชียลของ x บ่งว่าตัวแปรของการหาปริพันธ์คือ x

หากไม่ระบุช่วงที่หาอินทิกรัล หรือเขียนเป็น

$\int f(x)\,dx$

ปริพันธ์ข้างต้นเป็นปริพันธ์ไม่จำกัดเขต ซึ่งแทนคลาสของฟังก์ชันทั้งหมดที่หาอนุพันธ์ได้ตัวปริพัทธ์ f(x) เรียกฟังก์ชันที่มีสมบัติดังกล่าวว่า ปฏิยานุพันธ์ของ f(x) ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคุลัสจะเชื่อมโยงปริพันธ์ไม่จำเขตและปริพันธ์จำกัดเขตเข้าด้วยกัน นอกจากนี้ยังมีการดัดแปลงสัญลักษณ์การหาปริพันธ์ข้างต้นไปสำหรับโดเมนอื่น ๆ หรือปริพันธ์ในมิติที่สูงกว่า

ไลบ์นิซเป็นคนแรกที่ใช้เครื่องหมายปริพันธ์เป็น ∫ ซึ่งดัดแปลงมาจากตัว s ยาว (ſ) แทนสัญลักษณ์ของปริพันธ์ ที่มาของ s ยาว นั้นมาจากคำว่า "summa" หรือเขียนว่า ſumma ซึ่งแปลว่าผลบวก สัญลักษณ์ที่ใช้ในปัจจุบันโดยมีการเขียน a และ b ใต้และบนเครื่องหมายของปริพันธ์มาจากฟูเรียร์

วิธีการหาปริพันธ์

• การหาปริพันธ์โดยการแทนค่า
• การหาปริพันธ์เป็นส่วน
• การหาปริพันธ์โดยการแทนที่ฟังก์ชันตรีโกณมิติ
• การหาปริพันธ์โดยใช้เศษส่วนย่อย

ปริพันธ์ที่วนซ้ำ

• สูตรCauchy สำหรับปริพันธ์ที่วนซ้ำ ตั้งชื่อตามAugustin-Louis Cauchyช่วยให้สามารถรวม ปริพันธ์ที่วนซ้ำ ให้เป็นปริพันธ์เดียว

กรณีสเกลาร์

ให้ f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนเส้นจริง จากนั้น ปริพันธ์ซ้ำ "n"ครั้ง ของ f กับจุดฐาน a

$$f^{(-n)}(x)=\int _{a}^{x}\int _{a}^{\sigma _{1}}\cdots \int _{a}^{\sigma _{n-1}}f(\sigma _{n})\,\mathrm {d} \sigma _{n}\cdots \,\mathrm {d} \sigma _{2}\,\mathrm {d} \sigma _{1},$$

ได้รับจากปริพันธ์เพียงครั้งเดียว

$$f^{(-n)}(x)={\frac {1}{(n-1)!}}\int _{a}^{x}\left(x-t\right)^{n-1}f(t)\,\mathrm {d} t.$$

อ้างอิง

• Anton, Howard; Bivens, Irl C.; Davis, Stephen (2016). Calculus : Early Transcendentals (11th ed.). Hoboken, NJ: John Wiley & Sons. ISBN 1-118-88382-9. OCLC 923547502.
• Cajori, Florian (1929), A History Of Mathematical Notations Volume II, Open Court Publishing, ISBN 978-0-486-67766-8
• Fourier, Jean Baptiste Joseph (1822), Théorie analytique de la chaleur, Chez Firmin Didot, père et fils, p. §231 Available in translation as Fourier, Joseph (1878), The analytical theory of heat, Freeman, Alexander (trans.), Cambridge University Press, pp. 200–201