ทอพอโลยี

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
(เปลี่ยนทางจาก ทอพอลอยี)
ไปยังการนำทาง ไปยังการค้นหา
การเปลี่ยนรูปถ้วยกาแฟเป็นโดนัท ในทางทอพอโลยี วัตถุทั้งสองเป็นวัตถุที่สมาณสัณฐานกัน และสามารถบีบอัดรูปร่างของวัตถุหนึ่งไปยังอีกวัตถุหนึ่งได้ โดยไม่ต้องตัดหรือฉีกรูปทรงให้ขาด

ทอพอโลยี (อังกฤษ: Topology, มาจากภาษากรีก: topos, สถานที่ และ logos, การเรียน) เป็นสาขาหลักทางคณิตศาสตร์ที่สนใจเกี่ยวกับคุณสมบัติทางรูปร่างของวัตถุต่าง ๆ ที่ไม่แปรเปลี่ยนภายใต้การดึง ยืด หด บีบ (โดยไม่มีการฉีก การเจาะ หรือ การเชื่อมติดใหม่) โดยเรียกคุณสมบัติเหล่านี้ว่าความไม่แปรผันทางทอพอโลยี บางครั้งจึงนิยมเรียกทอพอโลยีว่า "เรขาคณิตแผ่นยาง"

นอกจากนี้ ทอพอโลยี ยังหมายความถึงวัตถุทางคณิตศาสตร์ประเภทหนึ่ง ซึ่งในความหมายนี้ ทอพอโลยี เป็นการกำหนดคุณสมบัติของเซตให้สามารถดำเนินการดึง ยืด หด จุดต่าง ๆ ภายในเซตนั้นได้ ซึ่งการกำหนดคุณสมบัติเชิงทอพอโลยีให้กับเซต จะเปลี่ยนเซตดังกล่าวให้เป็น ปริภูมิเชิงทอพอโลยี ทำให้เราสามารถศึกษาฟังก์ชันที่คงสภาพความเป็นทอพอโลยีที่เรากำหนดไว้ได้

ทอพอโลยีในปัจจุบันเป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่ถูกศึกษากันอย่างกว้างขวาง โดยมีการประยุกต์สาขาอื่น ๆ ในคณิตศาสตร์ เช่น พีชคณิตนามธรรม เข้ามาร่วมด้วย และทอพอโลยียังถูกนำไปประยุกต์กับคณิตศาสตร์สาขาอื่น ๆ เช่น ตรรกศาสตร์

ประวัติ[แก้]

แถบโมบิอุสเป็นวัตถุที่มีผิวเดียวและขอบเดียว เป็นตัวอย่างหนึ่งของวัตถุที่ถูกศึกษาในทอพอโลยี

ตัวสาขาทอพอโลยีที่ศึกษากันในปัจจุบันมีจุดเริ่มต้นในช่วงต้นคริสต์ศตวรรษที่ 20 แต่ทฤษฎีบทบางประการเป็นที่รู้กันมาก่อนหน้านี้แล้ว เรอเน เดการ์ต ค้นพบคุณสมบัติพื้นฐานทางทอพอโลยีของทรงหลายหน้าในเรขาคณิต ประมาณปี ค.ศ. 1630 แต่บทความดังกล่าวได้หายสาบสูญไป[1] คุณสมบัติพื้นฐานอย่างเดียวกันนั้นถูกค้นพบใหม่ในภายหลังโดยเลออนฮาร์ด ออยเลอร์ ซึ่งปัจจุบันรู้จักกันในชื่อ สมการของออยเลอร์สำหรับทรงหลายหน้า ซึ่งกล่าวว่า รูปทรงหลายเหลี่ยมนูนที่มีจำนวนจุดยอดเท่ากับ V จำนวนขอบเท่ากับ E และจำนวนหน้าเท่ากับ F จะสอดคล้องกับสมการ

มีผู้ให้ความเห็นว่าทฤษฎีบทข้างต้นเป็นหนึ่งในทฤษฎีบทแรกเริ่มของวิชาทอพอโลยี[2] อีกปัญหาที่ได้รับการยกย่องว่าเป็นทฤษฎีบทแรก ๆ ของวิชาทอพอโลยี คือ ปัญหาสะพานทั้งเจ็ดแห่งเมืองเคอนิชส์แบร์ค ซึ่งเลออนฮาร์ด ออยเลอร์ได้ศึกษาและตีพิมพ์ผลลัพธ์ในปี ค.ศ. 1736

นักคณิตศาสตร์ที่ศึกษาทอพอโลยีในสมัยต่อมาดังเช่น โอกุสแต็ง-หลุยส์ โคชี, ลุดวิก ชเลฟลี, โยฮันน์ เบเนดิกต์ ลิสติง, แบร์นฮาร์ท รีมัน และ เอนริโก เบตติ งานของนักคณิตศาสตร์ทั้งหมดที่กล่าวไป ได้รับการตรวจสอบและเพิ่มเติมอย่างมากโดย อ็องรี ปวงกาเร และในปี ค.ศ. 1895 ปวงกาเรได้ตีพิมพ์บทความสำคัญที่ให้กำเนิดสาขาทอพอโลยีชื่อ Analysis Situs หรือ การวิเคราะห์เชิงตำแหน่ง ในวารสารนั้นปวงกาเรได้พัฒนาแนวคิดเรื่อง ฮอมอโทปี, กรุปมูลฐาน และ ฟังก์ชันสมานสัณฐาน ซึ่งเป็นที่มาของวิชา ทอพอโลยีเชิงพีชคณิต

มอริซ เฟรเชต์ ให้นิยาม ปริภูมิเมตริก เป็นครั้งแรกในปี ค.ศ. 1906 และในปี ค.ศ. 1914 เฟลิซ เฮาส์ดอร์ฟ เป็นคนแรกที่ให้ชื่อ ปริภูมิเชิงทอพอโลยี และนิยามปริภูมิที่ในปัจจุบันเราเรียกว่า ปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟ นิยามปริภูมิเชิงทอพอโลยีในปัจจุบันขยายนัยทั่วไปกว่าปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟและนิยามโดย กาซีมีแยช กูราตอฟสกี ในปี ค.ศ. 1922

สาขาย่อยของทอพอโลยี[แก้]

ทอพอโลยีทั่วไป[แก้]

ดูบทความหลักที่: ทอพอโลยีทั่วไป

ทอพอโลยีทั่วไป (General topology) เป็นสาขาหลักของทอพอโลยี ซึ่งให้นิยามวัตถุพื้นฐานในทอพอโลยีผ่านทฤษฎีเซต และเป็นที่ประยุกต์ใช้ในทอพอโลยีสาขาอื่น หัวข้อที่ศึกษาในทอพอโลยีทั่วไปเช่น ปริภูมิเชิงทอพอโลยี ฟังก์ชันสมานสัณฐาน เป็นต้น ส่วนทฤษฎีพื้นฐานเช่น บทตั้งของอูรีซอห์น และ ทฤษฎีบทของไทโคนอฟ

เนื่องจากบทนิยามพื้นฐานของวัตถุในทอพอโลยีนิยามผ่านจุดและเซต จึงนิยมเรียกทอพอโลยีทั่วไปว่า ทอพอโลยีจุด-เซต (Point-set topology)

ทอพอโลยีเชิงพีชคณิต[แก้]

ดูบทความหลักที่: ทอพอโลยีเชิงพีชคณิต

ทอพอโลยีเชิงพีชคณิต (Algebraic topology) เป็นการประยุกต์ใช้เครื่องมือจาก พีชคณิตนามธรรม เพื่อศึกษาปริภูมิเชิงทอพอโลยี แนวคิดสำคัญคือการพยายามหาตัวยืนยง (invariant) สำหรับปริภูมิเชิงทอพอโลยีเพื่อที่จะจำแนกปริภูมิเชิงทอพอโลยี ตัวยืนยงที่สำคัญคือ กรุปหลักมูล และ กรุปโฮโมโลยี

ทอพอโลยีเชิงเรขาคณิต[แก้]

ดูบทความหลักที่: ทอพอโลยีเชิงเรขาคณิต

ทอพอโลยีเชิงเรขาคณิต (Geometric topology) เป็นการศึกษา แมนิโฟลด์ และการส่งระหว่างแมนิโฟลด์ สาขาหนึ่งของทอพอโลยีเชิงเรขาคณิตที่เป็นที่สนใจคือ ทอพอโลยีในมิติต่ำ (Low-dimensional topology) ซึ่งรวมหัวข้อย่อยเช่น ทฤษฎีเงื่อน

ทอพอโลยีเชิงอนุพันธ์[แก้]

ดูบทความหลักที่: ทอพอโลยีเชิงอนุพันธ์

ทอพอโลยีเชิงอนุพันธ์ (Differential topology) ศึกษาโครงสร้างเชิงทอพอโลยีของแมนิโฟลด์หาอนุพันธ์ได้

แนวคิดสำคัญในทอพอโลยี[แก้]

ปริภูมิเชิงทอพอโลยี[แก้]

ดูบทความหลักที่: ปริภูมิเชิงทอพอโลยี

คำว่า ทอพอโลยี ในความหมายว่า ทอพอโลยีบน ยังหมายถึงแฟมิลีของสับเซตของเซต ที่ถูกกำหนดให้เป็นเซตเปิด

ให้ เป็นเซต และ เป็นแฟมิลีของสับเซตของ เราจะกล่าวว่า เป็นทอพอโลยีบน เมื่อ

  1. เซตว่าง และ เซต เป็นสมาชิกของ
  2. ยูเนียนใด ๆ ของเซตใน จะเป็นสมาชิกของ หรือกล่าวอีกอย่างว่า มีคุณสมบัติปิดภายใต้ยูเนียน
  3. อินเตอร์เซกชันของสองเซตใน เป็นสมาชิกของ

ถ้า เป็นทอพอโลยีบน เราจะเรียก ว่าเป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยี (ในหลายครั้งเราจะละ ไว้แล้วกล่าวว่า เป็นปริภมิเชิงทอพอโลยี) สมาชิกใน จะเรียกว่าเป็น เซตเปิด (open set) ใน เซตที่เป็นคอมพลิเมนต์ของเซตเปิดใน จะเรียกว่า เซตปิด (closed set) สังเกตว่าสับเซตของ ตัวใดอาจเป็นเซตเปิด, เซตปิด, เซตเปิดและปิด หรือไม่เป็นทั้งสองอย่างพร้อมกัน สมบัติความเป็นเซตเปิดและความเป็นเซตปิดไม่ได้เป็นนิเสธของกันและกัน

ฟังก์ชันต่อเนื่องและฟังก์ชันสมานสัณฐาน[แก้]

ฟังก์ชัน ระหว่างปริภูมิเชิงทอพอโลยี และ จะเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง (continuous function) ก็ต่อเมื่อบุพภาพ ของเซตเปิด ใด ๆ เป็นเซตเปิดด้วย (นั่นคือ ) นิยามข้างต้นสมมูลกับนิยามฟังก์ชันต่อเนื่องทั่ว ๆ ไปบนเซตของจำนวนจริง เมื่อ และทอพอโลยีที่กำหนดให้บน เป็นทอพอโลยีมาตรฐาน

ในกรณีที่ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องและหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง และอินเวอร์สของมันเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องด้วย จะเรียก ว่าเป็นฟังก์ชันสมานสัณฐาน (homeomorphism) ปริภูมิเชิงทอพอโลยีสองอันใด ๆ ที่มีฟังก์ชันสมาณสัณฐานระหว่างกัน จะมีคุณสมบัติทางทอพอโลยีเหมือนกัน

อ้างอิง[แก้]

  1. Stillwell, p. 469
  2. Richeson 2008, p. 63; Aleksandrov 1969, p. 204
  • Stillwell, John. Mathematics and Its history (3. ed.). New York: Springer. ISBN 978-1-4614-2632-5.
  • Aleksandrov, P.S. (1969) [1956], "Chapter XVIII Topology", ใน Aleksandrov, A.D.; Kolmogorov, A.N.; Lavrent'ev, M.A. (บ.ก.), Mathematics / Its Content, Methods and Meaning (2nd ed.), The M.I.T. Press
  • Richeson, D. (2008), Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topology, Princeton University Press

แหล่งข้อมูลอื่น[แก้]