ทฤษฎีบทของกรีน

ทฤษฎีบทของกรีน (อังกฤษ: Green's theorem) ในทางฟิสิกส์และคณิตศาสตร์ ทฤษฎีบทของกรีนเป็นกรณีพิเศษใน 2 มิติของ ทฤษฎีของสโตกส์ (Stokes ' theorem) ซึ่งแสดงความสัมพันธ์ระหว่างอินทิกรัลแบบเส้น (line integral) รอบเส้นโค้งปิด(simple closed curve) C กับอินทิกรัลสองชั้น (double integral) บนระนาบ D ที่ถูกล้อมรอบด้วยเส้นโค้ง C นี้

ให้ C เป็นเส้นโค้งปิดใดๆ(a positively oriented, piecewise smooth, simple closed curve) ในระนาบ $R^{2}$ และให้ D เป็นระนาบที่ถูกล้อมรอบด้วยเส้นโค้งปิด C นี้ ถ้า L และ M เป็นฟังก์ชันของ (x,y) ซึ่งถูกนิยามบนระนาบเปิดใดๆที่ประกอบด้วยระนาบ D และอนุพันธ์ย่อยของทั้งสองฟังก์ชันนี้ต่อเนื่องแล้ว

$\oint_{C}Ldx + Mdy$ = $\iint \left( \frac{\partial M}{\partial x}-\frac{\partial L}{\partial y}\right) dA$

สัญลักษณ์วงกลมที่อยู่บนเครื่องหมายอินทิกรัล $\oint_{C}$ จะหมายถึงว่าเส้นโค้ง C นี้เป็นเส้นโค้งปิด ซึ่งกำหนดว่าถ้าลูกศรวนในทิศทวนเข็มนาฬิกาให้มีเครื่องหมายเป็นบวก

ในทางฟิสิกส์ ทฤษฎีบทของกรีนจะใช้ในการแก้ปัญหา two-dimensional flow integrals

หมายเหตุ

• ในหนังสือบางเล่ม จะใช้คำว่า "ปริพันธ์" แทนคำว่า "อินทิกรัล" หรือ "ปฏิยานุพันธ์"