แคลคูลัสกับพหุนาม

ใน คณิตศาสตร์ พหุนามอาจเป็นฟังก์ชันที่ง่ายที่สุดในการทำแคลคูลัส อนุพันธ์ และปริพันธ์เป็นไปตามกฎต่อไปนี้

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \sum^n_{k=0} a_k x^k = \sum^n_{k=0} ka_kx^{k-1}$

$\int \sum^n_{k=0} a_k x^k\;\mathrm{d}x= \sum^n_{k=0} \frac{a_k x^{k+1}}{k+1} + c.$

ดังนั้นอนุพันธ์ของ $x^{100}$ คือ $100x^{99}$ และปริพันธ์ของ $x^{100}$ คือ $\frac{x^{101}}{101}+c$

บทพิสูจน์

เนื่องจากการหาอนุพันธ์เป็น การแปลงเชิงเส้น จะได้

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left( \sum_{r=0}^n a_r x^r \right) = \sum_{r=0}^n \frac{\mathrm{d}\left(a_r x^r\right)}{\mathrm{d}x} = \sum_{r=0}^n a_r \frac{\mathrm{d}\left(x^r\right)}{\mathrm{d}x}.$

ดังนั้นจะต้องหา $\frac{\mathrm{d}\left(x^r\right)}{\mathrm{d}x}$ สำหรับ จำนวนธรรมชาติ $r$ ใดๆ ซึ่งมีการพิสูจน์โดยอุปนัย โดยใช้ กฎผลคูณ ซึ่งขึ้นอยู่กับกรณีที่ $r=1$ เท่านั้น

นัยทั่วไป

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left(ax^k\right) = akx^{k-1}$

เป็นจริงทุกค่า k ที่ x^k มีความหมาย หรือ ทุกค่า k ที่เป็นจำนวนตรรกยะที่ x^k มีการนิยามไว้

นัยทั่วไปนี้ก็เป็นจริงสำหรับการหาปริพันธ์ของพนุนามเช่นเดียวกัน

ถ้ามีพนุนามที่ตัวคูณไม่ใช่จำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อน (เช่นอาจเป็น จำนวนเต็ม หรือตัวเลขมอดุโลของจำนวนเฉพาะ) ก็สามารถนิยามอนุพันธ์จากความสัมพันธ์ข้างบน

อ้างอิง

• Larson, Ron; Hostetler, Robert P.; and Edwards, Bruce H. (2003). Calculus of a Single Variable: Early Transcendental Functions (3rd edition). Houghton Mifflin Company. ISBN 0-618-22307-X.

ดูเพิ่ม

• การพิสูจน์โดยอุปนัย