แคลคูลัสกับพหุนาม

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
หัวข้อที่เกี่ยวข้องกับแคลคูลัส

ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัส | ฟังก์ชัน | ลิมิตของฟังก์ชัน | ความต่อเนื่อง | แคลคูลัสกับพหุนาม | ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย | แคลคูลัสเวกเตอร์ | แคลคูลัสเทนเซอร์

อนุพันธ์

กฎผลคูณ | กฎผลหาร | กฎลูกโซ่ | อนุพันธ์โดยปริยาย | ทฤษฎีบทของเทย์เลอร์

ปริพันธ์
การหาปริพันธ์โดยการแทนค่า | การหาปริพันธ์เป็นส่วน | การหาปริพันธ์โดยการแทนที่ฟังก์ชันตรีโกณมิติ | การหาปริพันธ์แบบจาน | การหาปริพันธ์ด้วยเชลล์ | การหาปริพันธ์แบบต่าง ๆ

แคลคูลัสกับพหุนาม ในคณิตศาสตร์ พหุนามอาจเป็นฟังก์ชันที่ง่ายที่สุดในการทำแคลคูลัส อนุพันธ์ และปริพันธ์เป็นไปตามกฎต่อไปนี้

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \sum^n_{k=0} a_k x^k = \sum^n_{k=0} ka_kx^{k-1}
\int \sum^n_{k=0} a_k x^k\;\mathrm{d}x= \sum^n_{k=0} \frac{a_k x^{k+1}}{k+1}  + c.

ดังนั้นอนุพันธ์ของ x^{100} คือ 100x^{99} และปริพันธ์ของ x^{100} คือ \frac{x^{101}}{101}+c

บทพิสูจน์[แก้]

เนื่องจากการหาอนุพันธ์เป็น การแปลงเชิงเส้น จะได้

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left( \sum_{r=0}^n a_r x^r \right) =
\sum_{r=0}^n \frac{\mathrm{d}\left(a_r x^r\right)}{\mathrm{d}x} =
\sum_{r=0}^n a_r \frac{\mathrm{d}\left(x^r\right)}{\mathrm{d}x}.

ดังนั้นจะต้องหา \frac{\mathrm{d}\left(x^r\right)}{\mathrm{d}x} สำหรับ จำนวนธรรมชาติ r ใดๆ ซึ่งมีการพิสูจน์โดยอุปนัย โดยใช้ กฎผลคูณ ซึ่งขึ้นอยู่กับกรณีที่ r=1 เท่านั้น

นัยทั่วไป[แก้]

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left(ax^k\right) = akx^{k-1}

เป็นจริงทุกค่า k ที่ xk มีความหมาย หรือ ทุกค่า k ที่เป็นจำนวนตรรกยะที่ xk มีการนิยามไว้

นัยทั่วไปนี้ก็เป็นจริงสำหรับการหาปริพันธ์ของพนุนามเช่นเดียวกัน

ถ้ามีพนุนามที่ตัวคูณไม่ใช่จำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อน (เช่นอาจเป็น จำนวนเต็ม หรือตัวเลขมอดุโลของจำนวนเฉพาะ) ก็สามารถนิยามอนุพันธ์จากความสัมพันธ์ข้างบน

อ้างอิง[แก้]

  • Larson, Ron; Hostetler, Robert P.; and Edwards, Bruce H. (2003). Calculus of a Single Variable: Early Transcendental Functions (3rd edition). Houghton Mifflin Company. ISBN 0-618-22307-X.